UNIDAD 04-Guía de Res Parte A

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MATERIA: Estadística Aplicada 
 UNIDAD 04: Guía de Resolución hasta Distribuciones Discretas 
 
1.-Sea X la variable aleatoria: “número de veces que apareció cara al arrojar una moneda 
(no cargada) tres veces. 
a) ¿Qué tipo de variable aleatoria es? , ¿por qué?.Discreta porque toma valores naturales. 
b) Elabore un cuadro donde figuren el número de caras posibles con sus correspondientes 
probabilidades. 
 N° de caras 
Prob. 
0 1 2 3 
pi 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
c)Calcule E(X) y V(X) e interprete . 
E(X)= 0.1/8 +1. 3/8 +2 . 3/8 +3.1/8 →E(X)= 1,5 y 
V(X)=(0-1,5)
2
. 1/8 + (1-1,5)
2
. 3/8 + (2-1,5)
2
. 3/8 + (3-1,5)
2
. 1/8→ 𝑽 𝑿 =0,75 
La E(X) es el centro de gravedad de la función de probabilidad. Se espera que en tres 
tiradas, el número de caras sea alrededor de 2. 
V(X) da una dispersión del número de caras, respecto de la media o valor esperado, 
alrededor de 1. 
 
2.- La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X (nro. de 
focos incendios, en determinado período del año, de cierta población): 
 1°) Completar la tabla donde corresponde. 
 xi 1 2 3 4 5 
 f(xi) 0,10 0,15 0,50 0,15 ? 
2°)Marque con una cruz la o las opciones incorrectas: 
a)El valor que toma la función de probabilidad en x=5 es f(x=5)=0,10 
b)La esperanza es E(X)=3 , c)La varianza es V(X)=1,1 , 
 d) La probabilidad p(x=5)=1,00 (X) 
3.- El siguiente gráfico corresponde a una distribución de probabilidad de una variable 
aleatoria X: 
 
a) Dar los valores de dicha variable. X: 10,12,14,15,17 y 20 
b) Calcular E(X) e interprete. 
E(X)=10 x 0,10 + 12 x 0,30+ 14 x 0,25 + 15 x 0,14 +17 x 0,025 + 20 x 0,15 = 1 
+ 3.6+ 3.5 + 2.28+ 0.425 + 3= 13.805 
 La E(X) es el centro de gravedad de la función de probabilidad. 
c) Calcular V(X). 
Planteo: V(X)= (10-13.805)
2
x 0,10 +(12- 13.805)
2
 x 0,3+ ……..+(20-13.805)
2
 x 
0,15 
5.- Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por 
 
a) Represente gráficamente. 
b) Calcule la media y desviación típica de esta distribución. 
c) Calcule P(X≥3), P(X≤ 4) , P(3< X < 6). 
P(X≥3)=0,05 + 0,3+0,3 entonces P(X≥3)=0,65 
P(3 < X < 6) = 0,6 
6.- Si un experimento consiste en lanzar al aire una moneda, no cargada, al aire. Si la 
variable aleatoria asociada al mismo, cuenta el número de lanzamientos de la moneda hasta 
que aparezca una cara, entonces: 
a) ¿Cuáles son los posibles valores de dicha variable aleatoria?. 
1, 2, 3, 4,……..n………. (n ∈ N) 
b) Cuál es el valor de que la probabilidad del número de lanzamientos sea 3?. 
X=3 significa que recién en el tercer lanzamiento salió cara, en consecuencia, cruz en 
los dos anteriores. Luego P(X=3)= ½ . ½ . ½ = 1/8 
c) ¿Cuál es el valor de que la probabilidad del número de lanzamientos sea por lo menos 
3?. 
Teniendo en cuenta que P( X ≥3) = 1- P(X <3), entonces P( X ≥3) = 1- ( ½ + ¼ )= ¼ 
 
7.-Para una empresa de 10 empleados, se considera el evento: “concurrencia al trabajo, de 
un empleado, en un día laborable “. Si la probabilidad de asistir al trabajo es, para cualquier 
empleado, igual a 0,25, se pide: 
a) El experimento o ensayo, donde para cada empleado, los posibles resultados son : 
concurre al trabajo en un día laborable o no concurre al trabajo en un día laborable : 
 ¿qué nombre recibe?, ¿por qué?, 
Es un experimento Bernoulli porque consiste en observar una sola vez la 
ocurrencia del evento: “concurrencia al trabajo, de un empleado, en un día 
laborable “. 
Siendo p: probabilidad de concurrir en un día laborable, o sea p=0,25, resulta 
q = 0,75. 
 
 ¿cuál es la distribución de la variable aleatoria? 𝑿~𝑩𝒆𝒓(𝟎,𝟐𝟓) 
X= 
𝟎 𝒔𝒊 𝒆𝒍 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒅𝒐 𝒏𝒐 𝒂𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒂𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 
𝟏 𝒔𝒊 𝒆𝒍 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒂𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 
 
 
b) Para los ensayos sobre los 10 empleados: 
 ¿qué nombre recibe el modelo de probabilidad que se obtiene?, 
Binomial, ya que al realizarse los ensayos sobre los 10 empleados, la variable 
aleatoria X es la suma de 10 variables independientes de Bernoulli ( donde la 
concurrencia de cualquier empleado es independiente de otro). Además, todas 
las variables tienen el mismo parámetro p=0,25. 
 
 ¿cuál es la variable aleatoria asociada al mismo?, ¿cuáles son sus valores?. 
X= número de empleados, que concurren al trabajo, un día laborable. 
 Sus valores son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 . 
 
c) Calcule: 
 La probabilidad de que concurran 6 de los 10 empleados. 
P(X=6) es la probabilidad de que concurran exactamente 6. Entonces: 
P(X=6)= 𝟏𝟎
𝟔
 . 𝟎, 𝟐𝟓𝟔. 𝟎, 𝟕𝟓𝟒 ≅ 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 
 La probabilidad de que al menos 3 de los 10 empleados concurran. 
P(X≥ 𝟑)=𝟏 − 𝑷 𝑿 < 3 = 𝟏 − 𝑷 𝑿 = 𝟎 + 𝑷 𝑿 = 𝟏 + 𝑷 𝑿 = 𝟐 = 
𝟏 − [𝟎, 𝟎𝟓𝟔𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟕 + 𝟎, 𝟐𝟖𝟏𝟔]= 0,4744 
 La probabilidad de que concurran a los sumo 5 empleados. 
P(X≤ 𝟓)= 𝑷 𝑿 = 𝟎 + 𝑷 𝑿 = 𝟏 + 𝑷 𝑿 = 𝟐 + 𝑷 𝑿 = 𝟑 + 𝑷 𝑿 = 𝟒 +
𝑷(𝑿 = 𝟓) = 0,9803 
 La esperanza y varianza de esta variable aleatoria. 
 𝑬 𝑿 = 𝒏. 𝒑 → 𝑬 𝑿 =10 . 0,25→ 𝑬 𝑿 = 𝟐, 𝟓 
𝑽 𝑿 = 𝒏.𝒑. 𝒒 → 𝑽 𝑿 = 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟐𝟓. 𝟎,𝟕𝟓 → 𝑽 𝑿 = 𝟏, 𝟖𝟕𝟓 
 
8.-Un examen consta de veinte preguntas (de verdadero o falso) . El examen se aprueba 
contestando por lo menos 16 preguntas. Si se lanza una moneda para decidir el valor de 
verdad de cada pregunta, la probabilidad de aprobar el examen es igual a: Opción b) 
a)0,0013 b)0,0059 c)0,9945 d) 0,9985 
 
11.-La probabilidad que un individuo tenga una reacción alérgica al inyectarle un suero es 
de 0,001.Halle la probabilidad que, entre 2000 individuos, tengan reacción alérgica: 
Tengamos en cuenta que : 
 El suceso es A: individuo que tiene reacción alérgica, entonces p=P(A)= 0,001. 
 La variable aleatoria discreta asociada a la distribución Binomial es : 
X: número de individuos, que tienen reacción alérgica, con parámetros 
𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 y n=2000. 
 El valor de n es 2000 y , como n.p=2<10 usamos la distribución de Poisson 
como aproximación a la Binomial. De ese modo, el parámetro de la Poisson es 
𝝀 = 𝟐. 
a)exactamente tres, P0(X=3)= 0,1804 
b)más de 2. 
 P0(X > 2)= 1-P0(X≤ 𝟐)= 1- 𝑷 𝑿 = 𝟎 + 𝑷 𝑿 = 𝟏 + 𝑷 𝑿 = 𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟕𝟔𝟕 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟑𝟑 
Nota: P0 indica, en este caso, la probabilidad de una variable con distribución de 
Poisson. 
 
12.-Un canal de comunicación recibe impulsos independientes a razón de 200 impulsos por 
microsegundo .La probabilidad de un error de transmisión es de 0,001 para cada impulso. 
Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: 
a) No hay ningún error en un microsegundo. . P(X=0)= 0,8187 
 
b) Hay exactamente un error en un microsegundo. P(X=1)= 0,1637 
c) Hay al menos un error en un microsegundo. P(X≥ 𝟏) = 𝟎, 𝟏𝟖𝟖𝟑 
d) Hay exactamente dos errores en un microsegundo. P(X=2)= 0,0164