guia inecuaciones

Vista previa del material en texto

Clase 11, Desigualdades e Inecuaciones
Definición: 
El conjunto de los reales es un conjunto ordenado: por lo tanto, podemos comparar sus elementos mediante una relación de orden y podemos decir que:
Para a, b € R se tiene:
a < b <-> a – b < 0 
a > b <-> a – b > 0 
a = b <-> a – b = 0 
El signo “<” se lee menor que. El signo “>” se lee mayor que.
También se puede unir un signo de desigualdad con el igual.
Son desigualdades entre números, o letras que representan números en que se usan los signos <, >, , , se llama desigualdad.
Son desigualdades númericas o literales las siguientes:
1. 3 + 2 < 7
2. x + 5 2
3. (x -1 )2 > 0 
4. 2 – 5 4 
Una desigualdad puede ser verdadera o falsa
1.- verdadera
2.- verdadera para x = 2 y falsa para x = -5
3.- es verdadera para x > 1 y falsa para x = 1
4.- es falsa
Cuando una desigualdad presenta una incógnita se denomina inecuación y su valor de verdad (verdadero o falso ) dependerá del valor que le asignemos a la incógnita.
Propiedades de las desigualdades
1) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
a < b a + c < b + c 
Ejemplo: 
Si -3 < 5 -3 + 4 < 5 + 4 
2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número positivo se obtiene otra desigualdad equivalente a la primera.
a < b y c > 0 ac < bc
Ejemplo: 
Si -2 < 8 -2 x 3 < 8 x 3 -6 < 24
3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo la desigualdad cambia de sentido.
a < b y c < 0 ac > bc
Ejemplo: 
Si -10 < 1 -10(-2) > 1(-2) 20 > -2
Intervalos en R:
Valor Absoluto
Sea x perteneciente a los números reales, se define el valor absoluto como:
En consecuencia:
Sabiendo la propiedad anterior resolvamos la ecuación
Solución
Teorema
Sea a, b 
Análisis del discriminante en una inecuación
Si bien en este curso trabajamos en los números reales, existen situaciones en inecuaciones donde el análisis del discriminante de parte de una inecuación nos dará un discriminante negativo. Cuando esto ocurre en ecuaciones el ejercicio termina indicando que hay dos soluciones imaginarias. En el caso de inecuaciones debemos ver el valor de a en la expresión . Si a es positivo, entonces la expresión será siempre positiva. Si a es negativo, entonces la expresión será siempre negativa. Esto se debe a que la expresión representa una parábola que no corta al eje x. por lo que o está arriba (y va hacia arriba) o está abajo (y va hacia abajo).
Ejemplos en clase
Resuelva las siguientes inecuaciones
1) 
2) 
Ejercicios Inecuaciones
1) Inecuaciones de primer grado
	a) ( x - 2 )2 (x + 2) ( x - 2) + 8 
	R. ] - , 0 [
	b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8
	R. ] - , 7/2 [
	c) 3 - ( x - 6) 4x - 5
	R. [ 14/5 , + [
	d) 3x - 5 - x - 6 < 1
 4 12
	R. ] - , 21/8 [
	e) 
	R. ] -67/10 , + [
	f) 
	R. [ 120/11 , + [
g) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada 
expresión represente un número real.
	
i)
R. [ -5 , + [
	ii) 
R. ] - 6 , + [
	
2) Inecuaciones de segundo grado
	a) x2 16
	R. IR - ] -4 , 4[
	b) 9x2 25
	R. [- 5/3 , 5/3 ]
	c) 36 > ( x - 1) 2
	R. ] - 5 , 7 [
	d) (x + 5)2 ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2
	R. IR - ] 0 , 8 [ 
	e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)
	R. ] - 2 , 6 [
	f) x2 - 3x > 3x - 9 
	R. IR - 3
	g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 
	R. 
	h) 2x2 + 25 x ( x + 10 )
	R. 5
	
	
	i) 3 > x ( 2x + 1)
	R. ] -3/2 , 1 [
	j) x ( x + 1) 15(1 - x2 )
	R. IR - ] -1 , 15/16 [
	k) ( x - 2 ) 2 > 0
	R. IR - 2
	l) ( x - 2)2 0
	R. IR
	m) ( x - 2)2 < 0
	R. 
	n) ( x - 2)2 0
	R. 2
3) Inecuaciones fraccionarias
	
a) 
	R. IR - [ 0 , 1 ]
	
b) 
	R. IR - [ -6 , 3 ]
	
c) 
	R. ] 5 , 10 ]
	
d) 
	R. ] - , -5 [
	
e) 
	R. ] -11 , -5 [
	
f) 
	
R. ] - , 3 [
	
g) 
	R. IR - [ -1 , 1 [
	
h) 
	R. ] - 1/2 , 0 [
	
i) 
	
	
j) 
	R. ]- 3 , 2/3 [
	
k) 
	
	
l) 
	R. ] - 6, -2 ] [ 2 , + [ 	
	m) 
	R. ] -7, -3 [ ] -1 , 1 [ ] 6 , + [ 
	
n) 
	R. IR - ] -2 , 2 [ 
	
ñ) 
	R. ] - , 5 [
	
o) 
	R. [ -2 , -1/3 ] ] 0, + [
	
p) 
	R. ] - , -1 [ ] 0. 5 [ 
	
q) 
	R. ] 0 , 3 [ [5 , + [ 
	
r) 
	R. ] 0 , + [
	
s) 
	R. ] - , -3 [ ] 0 , 1/5 [
	
t) 
	R. ] - , - 1[ ] 0 , 1 [
	
u) 
	R. ] -12 , -7 [ ] 0 , + [
	
v) 
	R. ] - , 0 [
	
	
	
	
4) Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones con valor absoluto:
	a) 2x - 1 > 3
	R. IR - [ -1 , 2 ]
	
	
	
b) 
	R. IR - ] -45/2 , 55/2 [
	
c) 
	R. ] 0 , 6 [
	d) x - 3 > -1
	R. ] - , + [
	e) 3 - 2x < 0
	R. 
	
f) 
	R. [ - 2/3 , 4 ]
	g) 3 - 2x < x + 4
	R. ] - 1/3 , 7 [
	
h) 
	R. ] 1 , 2 [ ] 2 , 5 [
	
i) 
	R. ] - , - 5 ] [-1 , 0 [ ] 0 , + [
	
j) 
	R. ] - 10/3 , + [ 
	
k) 
	R. ] - 1 , -1/2 [ ] -1/2 , -1/4 [
	
l) 
	R. IR - ] -3 , -1 [
	
m) 
	R. ] - , 1 [ ] 1 , 11/7 ] [ 9/5 , + [
	
	
6
2
+
x
0
1
>
-
x
x
0
3
6
<
-
+
x
x
0
2
5
³
-
-
x
x
2
5
1
2
>
+
-
x
x
2
5
1
>
+
-
x
x
0
3
1
£
-
x
0
1
1
³
+
-
x
x
2
1
>
-
x
1
3
+
£
-
x
x
x
x
x
x
x
>
+
+
3
2
2
1
3
2
+
³
-
x
x
x
0
6
4
2
³
+
-
x
x
1
4
2
£
x
0
5
1
2
<
-
+
x
x
)
1
1
(
2
)
3
(
3
x
x
-
³
+
x
x
5
4
<
-
8
15
³
+
x
x
1
1
2
³
+
x
x
)
1
(
5
3
1
3
+
>
ú
û
ù
ê
ë
é
-
x
x
0
1
2
<
-
x
x
x
x
84
1
20
-
>
+
10
25
<
+
x
x
5
2
1
5
³
-
x
1
3
1
<
-
x
1
3
1
2
£
+
-
x
x
2
2
1
>
-
+
x
x
2
5
3
³
+
x
x
3
7
1
3
<
+
-
x
x
3
2
1
1
2
>
+
-
x
x
4
5
2
+
³
+
x
x
2
1
1
5
3
³
-
-
x
x
5
+
x