11-DESCARGAR-FACTORIZACIÓN-ÁLGEBRA-SEGUNDO-DE-SECUNDARIA

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Factorización I 
 
 
 
 
Piensa en un número par mayor que 10 ... ¿lo tienes? 
... ok!! 
 
Bueno, ahora ese número escríbelo al lado izquierdo 
sobre la línea punteada y al lado derecho completa el número 
que falta: 
 
 
... = 7 + ... 
A estos números se 
les llama SUMANDOS. 
 
Ahora, el número pensado, escríbelo nuevamente al lado 
izquierdo, sobre la línea punteada y al lado derecho 
completa de acuerdo a la operación indicada: 
Ejemplos: 
 
• P(x) = (x - 7) (x + 5)  (x - 7); (x + 5) factores primos 
 
• Q(x) = 5x (x2 + 3)  x; (x2 + 3) factores primos 
 
 
Métodos de factorización 
 
Factor común.- Dado un polinomio se extrae el MCD de 
los coeficientes, luego la(s) variable(s) común(es) a todos 
los términos es extraída con el menor exponente. Estos 
dos resultados se multiplican y son colocados al exterior de 
un par de paréntesis, en cuyo interior queda el cociente de 
dividir cada término con el producto hallado. 
 
... = ... x ... 
 
 
A estos números se 
les llama FACTORES. 
¿Parece difícil? ... no es así ... observa. 
 
Factorizar: 
 
• 7x2 + 5x3y  MCD (7; 5) = 1 
Notarás que el número que pensaste puede ser escrito 
de dos maneras: el primer caso con SUMANDOS y el 
segundo con FACTORES. Cuando un número se escribe 
como en el último caso, se dice que está FACTORIZADO y 
esto nos interesa muchísimo, pues vamos a aplicar esta 
idea ya no a los números, sino a los polinomios. 
 
¡Ah! ... lo olvidaba ... en Álgebra, al indicar el PRODUCTO 
de polinomios, no se utiliza el símbolo “X”, sino los signos 
de colección: ( ); [ ]; { } o a veces se colocan las 
variables una al lado de otra. Observa: 
 
• Multiplicar: 7x2 + 5 por 3x - 7  (7x2 + 5)(3x - 7) 
• Multiplicar: 3a2 por b5  3a2b5 
 
 
Parte teórica 
 
Factorización de polinomios.- Es un proceso mediante 
el cual un polinomio es escrito como un producto de factores 
primos. 
 
¿Qué es un factor primo? 
 
Es otro polinomio de grado positivo que es divisible por 
sí mismo y la unidad. 
 
Recuerda: 3; 5 y 7 son números primos (divisible por sí 
mismos y la unidad) 
 
De igual modo: (x+1); (x - 5) factores primos (divisibles 
por sí mismos y por la unidad) 
 variable común = x2 
 
luego: 7x2 + 5x3y = x2(7 + 5xy) 
 
 
• 12x4y3 - 18x2y5 + 6x3y2  MCD (12; 18; 6) = 6 
 
 variables comunes = x2y2 
 
luego: 6x2y2 (2x2y - 3y3 + x) 
 
Agrupación de términos.- Consiste en agrupar 
convenientemente los términos del polinomio para aplicar 
luego el factor común. Generalmente las agrupaciones son 
de 2 en 2 ó de 3 en 3. 
 
Observa: 
 
Factorizar: 
 
• E = am - bm + an - bn 
E = m(a - b) + n(a - b) 
E = (a - b)(m + n) 
 
• P = ax + bx + cx + ay + by + cy 
P = x(a + b + c) + y(a + b + c) 
P = (a + b + c)(x + y) 
 
Identidades.- En este método se hará uso directo de los 
Productos Notables: Trinomio cuadrado perfecto, diferencia 
de cuadrados, trinomio al cubo, etc. 
 
Factorizar: 
 
• 4x2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5) 
 
 
 
 
se utilizó DIFERENCIA DE CUADRADOS. 
 
 
• 9 + x2 + 6x = (x + 3)2 
 
 
 
se utilizó el trinomio cuadrado perfecto. 
 
Existen otros métodos de factorización, sin embargo hoy 
veremos únicamente éstos dos. 
 
 
 Problemas resueltos 
 
1. Factorizar: P(a) = (a + 1)(a - 2) + 8(a + 1) 
 
Resolución: 
 
El factor común es el binomio: (a + 1) 
Luego se tiene: 
 
P(a) = (a + 1)(a - 2 + 8) 
P(a) = (a + 1)(a + 6) 
 
El polinomio tiene dos factores primos. 
 
 
2. Factorizar: (x + y)(z - 2) - (x - y)(2 - z) 
Indicar los factores primos. 
 
Resolución: 
 
Cambiando de signo al segundo factor del último término 
resulta: 
 
 
(x + y)(z - 2) - (x - y)-[(z - 2) ] 
 
+ 
(x + y)(z - 2) + (x - y)(z - 2) 
 
extraemos el factor común: (z - 2) 
 
3. Factorizar: (a + b - 1)(r + 2) - r - 2 
e indicar la suma de sus factores primos. 
 
Resolución: 
 
Agrupando los dos últimos términos en un paréntesis la 
expresión se convierte en: 
 
(a + b - 1)(r + 2) - (r + 2) 
el factor común es el binomio: (r + 2) 
(r + 2)(a + b - 1 - 1) 
(r + 2)(a + b - 2) 
 
se observa que los factores primos son: 
(r + 2) y (a + b - 2) 
Luego la suma de sus factores primos será: 
 
 
(r + 2) + (a + b - 2) 
 
r + a + b 
 
4. Factorizar: mn4 - 5m2n3 + 4m3n2 - 20m4n 
indicar el número de factores primos. 
 
Resolución: 
 
El factor común es "mn". 
Luego: 
mn[n3 - 5mn2 + 4m2n - 20m3] 
 
Agrupando de dos en dos: 
 
mn[(n3 - 5mn2) + (4m2n - 20m3)] 
 
común: n2 común: 4m2 
 
mn[n2(n - 5m) + 4m2(n - 5m)] 
 
ahora el factor común es el binomio: n - 5m 
m.n (n - 5m)(n2 + 4m2) 
Luego: 
 
m 
n 
(z - 2)[x + y + x - y] 
 
(z - 2)(2x) = 2x (z - 2) 
Los factores primos son: n - 5m 
2 2 
n + 4m 
 
Luego los factores primos son: x; (z - 2)  el número de factores primos es 4. 
 
 
5. Factorizar: 25x2 - 81y2 
 
Resolución: 
 
Recordando: a2 - b2 = (a + b)(a - b) 
 
25x2 - 81y2 = (5x)2 - (9y)2 
 
= (5x + 9y)(5x - 9y) 
 
 
6. Factorizar: x2 + 10x + 25 - y2 
 
Resolución: 
 
Recordando: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
 
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 
 
Luego: 
 
(x + 5)2 - y2 = (x + 5 + y)(x + 5 - y) 
 
 
7. Factorizar: ab2 + ac2 + bc2 + ba2 
 
Resolución: 
 
Agrupando de dos en dos convenientemente: 
 
 
ab
2 
+ ac 
2 
+ bc 
2 
+ ba
2
 
 
 
(ab2 + bc2) + (ac2 + ba2) 
 
 
b[ab + c2 ] + a[c2 + ab] 
 
común 
3. 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
10. 
 
 
 
 
11. 
 
 
 
 
12. 
 
 
• x2 + 3x5 = 
• 7x5 - 2x3 = 
 
 
• 6x + 6y + 6 = 
• a2x + a3y + a4 = 
 
 
• -3x2a - 6x5a = 
• -21xy4 - 3xy5 = 
 
 
• -5x2y + 10x7y = 
• 6xa4 - 9xa6 = 
 
 
• 8x2 + 4x = 
• 24x3 - 16x2 + 8x = 
 
 
• 5xn+5 + 10xn+8 - 15xn+4 = 
• an-1bn+5 - 2an-8bn = 
 
 
• 2(a + b) + x(a + b) = 
• x2(a - b) + 7(a - b) = 
 
 
• m3(a + b) + 2m(a + b) = 
• 7a5(x + y) - 3a2(x + y) = 
 
 
• 3b(2x + 3) + 2x + 3 = 
• x2 +y2 - 5y(x2 + y2) = 
 
 
• y2(a2 + b2) - a2 - b2 = 
• - a - b + 2(a + b) = 
 
Luego: (ab + c2)(b + a) 
 
Bloque II 
 
1. Factorizar los siguientes polinomios: 
 
 
 
 
Bloque I 
Problemas para la clase • 5x2(a - b) + 3(b - a) = 
• x(a + b - c) - y(c - a - b) = 
• 4x7(a - b) - 8x5(b - a) = 
 
Factorizar lo indicado en cada ejercicio aplicando "FACTOR 
COMÚN". 
 
1. 
• 7m + 7n = 
• ax + ay = 
 
2. 
• 12x + 4 = 
• 15m + 5 = 
 
2. Factorizar las siguientes expresiones: 
 
• (2x + 3)(a + b) + (x - 7)(a + b) = 
• (x - 1)(a - b) + (2x - 5)(a - b) = 
• (3x - 5)(a - b) - (2x + 7)(b - a) = 
 
3. Factorizar lo siguiente: 
 
• xy + xz + y + z = 
• ab + ac + b2 + bc = 
• ab + bx - ay - xy = 
 
4. Factorizar: 
 
• 2p2 + 3ap + 4p + 6a = 
• xy + 2ay - 2bx - 4ab = 
• a2x2 + b2x2 + a2y2 + b2y2 = 
 
En los siguientes ejercicios aplicar el método de 
"IDENTIDADES". 
4. Indicar el número de factores primos luego de factorizar: 
P(x) = x
2(x + y) - y2(x + y) 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
5. Factorizar: P
(x ; y) 
= 25x2 - 100y2 
 
5. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
 
10. 
 
• a2 - 25 = 
• 36 - x2 = 
• n4 - 16 = 
 
 
• 9x2 - 16 = 
• 25a2 - 36b2 = 
• 4a10 - 9 = 
 
 
• 49x8 - 25 = 
• x8 - 16 = 
• (a + b)2 - c2 = 
 
 
• (m +n)2 - x2 = 
• 144 - (a + b)2 = 
• 16x2 - (3x + 1)2 = 
 
 
• x2 + 2x + 1 = 
• x2 + 10x + 25 = 
• x2 - 14x + 49 = 
 
 
• n2 - 4n + 4 = 
• 25a2 - 10b + 1 = 
• 36x2 - 60xy + 25y2 = 
a) 25(x + 2y)(x - 2y) 
b) (25x + 100y)(25x - 100y) 
c) (x + 10y)(25x - 10y) 
d) 25(x + y)(x - y) 
e) (x + y)(x - 5y) 
 
6. Factorizar: P(x) = x
4 - 1 
 
a) (x + 1)(x3 - 1) b) (x3 + 1)(x - 1) 
c) (x2 + 1)(x + 1)(x - 1) d) (x2)(x + 1)(x - 1) 
e) (x2 - 1)(x + 1)(x - 1) 
 
7. Factorizar: P
(x ; y ; z) 
= x2 + 4xy + 4y2 - z2 
Indicar la suma de sus factores primos. 
 
a) x + 4y b) 2x + y c) x + 2y 
d) 2x + 4y e) 2x - 4y 
 
8. Factorizar: 
 
P(x) = acx
2 +adx + bcx + bd + cx + d 
e indicar un factor primo. 
 
a) ax + b + 1 b) ax + b c) a + x 
d) x + b e) ax 
 
9. Factorizar: 
 
P(x) = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 
 
Bloque III 
 
1. Indicar el número de factores primos de: 
P(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 6) 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
2. El número de factores primos del polinomio: 
P(x) = 2
3(x + 1)4(x - 6)5(x - 2)3, es: 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
3. Factorizar: P
(x ; y) 
= ax + ay + bx + by 
 
a) (x + y)(a + b) b) (x + a)(y + b) 
c) (xa + 1)(xb + 1) d) (x + 1)(y + a + b) 
e) (x + y + 1)(a + b) 
a) (x4 + 1)(x + 1)(x2 + 1) 
b) (x2 + 1)(x5 + 1) 
c) (x4 + 1)(x2 - 1)x 
d) (x + 1)(x6 + 1) 
e) (x4 + 1)(x3 + 1) 
 
10.Factorizar: 
 
P(x, y) = x
2 + 6x + 9 - 4y2, e indicar el número de 
factores primos. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
 
Autoevaluación 
4. Factorizar: P
(x) 
= 4x2 - 49 
 
1. Al factorizar: P
(x ; y) 
= ax + ay - a, se obtiene: 
 
a) a(x + y) b) a(x + y - a) 
c) a(x + y + 1) d) a(x + y - 1) 
 
a) (2x + 7)(2x - 7) b) (7 + 2x)(7 - 2x) 
c) (4x + 49)(4x - 49) d) (4x + 7)(4x - 7) 
e) (2x2 + 7)(2x2 - 7) 
e) a(x - y) 5. Factorizar: P 
 
(x) 
= x2 - 6x + 9 
2. Cuando se factoriza: P
(x ; y) 
= 6x2 + 15x3 - 9x4, se obtiene: 
 
a) 3x2(2x + 5x2 - 3x3) b) 3x(2 + 5x2 - 3x3) 
c) 3x2(2 + 5x - 3x2) d) 3x(2 + 5x + 3x2) 
e) 3x2(2 + 5x + 3x2) 
 
3. Factorizar: P
(x) 
= 3x(2 + 5b) + 2 + 5b 
 
a) (2 + 5b)(3x + 1) b) (2 + 5b)3x 
c) (3b + 5)2x d) (5 + 3x)(2b + 1) 
e) (2b + 5)3x 
 
a) (x + 3)(x - 3) b) (x + 3)2 
c) (x - 9)2 d) (x - 6)(x + 6) 
e) (x - 3)2 
 
 
 
 
 
Claves 
 
1. d 
2. c 
3. a 
4. a 
5. e 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS CURIOSAS 
 
A continuación, y también en el próximo capítulo, podrás encontrar algunos efectos ópticos o también llamadas 
"ILUSIONES", cuyos orígenes se deben individualmente a las particularidades anatómicas y fisiológicas del ojo. Estas 
ilusiones son debidas a efectos como el "punto ciego", la "irradiación", el "astigmatismo", "el cansancio de la retina", 
etc. 
 
 
 
ILUSIÓN ÓPTICA 1: IRRADIACIÓN 
 
Observa a una distancia de 30 cm la figura izquierda y 
verás qué lados del cuadrado parece que tienen un rebajo 
en el centro como el de la figura derecha. 
ILUSIÓN ÓPTICA 2: PUNTO CIEGO 
 
Esta ilusión es conocida como "el experimento de 
Mariotté". Cierra el ojo derecho y mira fijamente (sin 
parpadear) con el izquierdo la crucesita superior a una 
distancia de 20 a 25 cm, durante 30 segundos. Notarás 
que el gran círculo blanco que hay en medio desaparece 
por completo. 
 
 
 
 
ILUSIÓN ÓPTICA 3: ASTIGMATISMO 
 
Mira estas letras con un ojo, ¿son todas iguales de 
negras? Por lo general una de ellas parece más negra que 
las demás. Pero si giras la figura 45º ó 90º, otra letra 
parecerá más negra que las demás. 
ILUSIÓN ÓPTICA 4: CANSANCIO DE RETINA 
 
Ahora, concentra la vista en el cuadradito blanco que 
está arriba; al cabo de medio minuto aproximadamente, 
notarás que desaparece la franja blanca que hay debajo. 
 
 
 
 
2 
AÑO 
Factorización II 
 
 
 
 
 
Con el transcurrir de los años, el hombre ha tratado de 
mejorar su estilo de vida, creando cosas para su comodidad, 
su beneficio o para su ahorro (sea de tiempo o económico). 
 
Por ejemplo, Leibnitz creó una pequeña "máquina de 
cálculos aritméticos" (ahora conocida como calculadora) 
con la cual, su trabajo se volvió más sencillo y breve. 
Posterior a esto, (a inicios del siglo XX) se desarrolla la 
 
 
 
• Si tenemos el polinomio: P(x) = x
2 - 5x - 14 
y queremos hallar: P(7) 
 
Entonces reemplazamos: x = 7 
 
Así: P(7) = 7
2 - 5(7) - 14 
 
Entonces: 
 
2 
primera computadora llamada ENIAC, la cual facilitaba el 
trabajo científico al realizar muchos cálculos en segundos; 
pero aún así, poseía un sistema de manejo complejo y 
laborioso (se utilizaban tarjetas perforadas por cada 
operación), motivo por el cual este invento fue cambiando 
poco a poco. Imagínate, que esta primera computadora 
tenía las dimensiones de dos salones juntos!! 
P(7) = 7 - 5(7) - 14 
 
1 2 
 
= 49 - 35 - 14 
3 
 
= 49 - 49 
4 
 
= 0 
 
 
Cuenta el 
número de 
operaciones 
para obtener el 
resultado. 
 
 
 
• Por otro lado, utilizando la factorización tenemos: 
x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) 
Así: P(x) = (x - 7)(x + 2) 
 
Reemplazando el valor indicado se tiene: 
 
 
Luego, durante las últimas tres décadas del siglo pasado 
y hasta la fecha, la evolución de las computadoras ha sido 
tremenda. Ahora hay computadoras del tamaño de un 
portafolio, del tamaño de un cuaderno, en el celular o hasta 
en el reloj!!... 
 
¡¡Imagina eso!! 
P(7) = (7 - 7)(7 + 2) 
1 2 
 
= 0 . 9 
3 
 
= 0 
 
Cuenta el 
número de 
operaciones 
para obtener el 
resultado. 
 
 
En resumen, el hombre ha logrado muchísimo en busca 
de su comodidad, beneficio y ahorro. 
 
Con respecto a esta última palabrita: AHORRO quiero 
contarte que, aunque no lo creas, la FACTORIZACIÓN nos 
permite ahorrar tiempo al hacer cálculos aritméticos. "¿Y 
cómo así?"... dirás tú; observa: 
En el primer caso fueron necesarias cuatro operaciones 
para obtener el resultado, mientras que en el segundo caso 
se hicieron sólo tres. 
 
“RECUERDA”- En una expresión factorizada se ahorra 
tiempo al calcular su valor numérico. 
 
3. = 18x2 
Parte teórica 
 
Nos falta completar un par de métodos para finalizar el 
tema de factorización. 
 
ASPA SIMPLE. Se utiliza para factorizar trinomios de la 
forma: 
 
 
Ax2m  Bxm yn  Cy2n 
 Problemas resueltos 
 
1. Factorizar: x2y2 + xy - 12 
 
Resolución: 
 
Utilizando el aspa simple: 
 
 
x2 y2 + xy - 12 
 
Nótese que los exponentes centrales son la mitad que los 
extremos. 
xy + 4 
xy - 3 
4xy 
-3xy 
xy 
Procedimiento: 
 
1. Se descompone los extremos en factores. 
2. La suma del producto en aspa debe dar el término central. 
3. Los factores se toman en forma horizontal. 
Observa: 
Factorizar: 
 
x 2 + 7x + 12 
 
Luego la respuesta es: (xy + 4)(xy - 3) 
 
 
2. Factorizar: -10 - 3y + y2 
 
Resolución: 
 
Ordenando y aplicando el aspa simple: 
 
 
y 2 - 3y - 10 
x +4 
x +3 
4x + 
3x 
7x 
y - 5 
y + 2 
-5y 
2y 
-3y 
Luego la respuesta es: (x + 4)(x + 3) 
 
ASPA DOBLE.- Se utiliza para factorizar polinomios de 
seis términos de la forma: 
 
 
Luego la respuesta es: (y - 5)(y + 2) 
 
 
Ax2m  Bxm yn  Cy2n  Dxm  Eyn  F 
 
F a c t o r i z a r : P (x; y) 
 
Resolución: 
- 3xy - 10y2 
 
Procedimiento: 
 
1. Aplicar aspa simple 1°, 2° y 3° términos 
 
Por el aspa simple se tiene: 
 
18x 2 - 3xy - 10y 2 
2. Aplicar aspa simple 3°, 5° y 6° términos 
3. Aspa simple de verificación 1°, 4° y 6° términos 
4. Los factores se toman en forma horizontal. 
 
NOTA: Antes de factorizar asegurarse que el polinomio 
esté ordenado según la forma general. 
6x 
3x 
 
 
La respuesta es: 
- 5y 
+ 2y 
-15xy 
12xy 
-3xy 
 
Observa: 
P(x; y) = (6x - 5y)(3x + 2y) 
 
Factorizar: 
 
x 2 + 3xy + 2y 2 + 4x + 7y + 3 
4. Factorizar: (m - 1)4 - 5(m - 1)2 + 4 
Indicando la suma de sus factores primos. 
x +2y 
x +y 
+1 Resolución: 
+3 
(m - 1)4 - 5(m - 1)2 + 4 
I. xy + 
2xy 
3xy 
II. 6y + 
y 
7y 
III. 3x + 
x 
4x 
(m - 1)2 
(m - 1)2 
- 4 - 4(m - 1)2 
- 1 - (m - 1)2 
 
Luego la respuesta: (x + 2y +1)(x + y + 3) 
- 5(m - 1)2 
 
Luego: [(m - 1)2 - 4][(m - 1)2 - 1] 
 
Recordando: 
 
 
 
Bloque I 
 
Problemas para la clase 
 
a2 - b2 = (a + b)(a - b) 
 
[(m - 1)2 - 22][(m - 1)2 - 12] 
 
(m - 1 + 2)(m - 1 - 2)(m - 1 + 1 )(m - 1 - 1) 
(m + 1)(m - 3)(m)(m - 2) 
Finalmente la suma de sus factores primos es: 
 
m + 1 + m - 3 + m + m - 2 
 
4m - 4 
 
5. Factorizar: 2x2 - xy - y2 - x - 5y - 6 
 
Resolución: 
 
Aplicando el aspa doble: 
 
2x 
2 
- xy - y 
2 
- x - 5y - 6 
 
Aplicando el método del aspa simple, factorizar los 
siguientes polinomios: 
 
1. 
• x2 + 9x + 20 = 
•a2 + 12a + 32 = 
• x2 + 7x + 10 = 
 
2. 
• m2 + 4m + 3 = 
• x2 - 11x + 24 = 
• x2 - 5x - 14 = 
 
3. 
• a2 - 3a - 70 = 
• x2 - 3x - 40 = 
• x2 - 30 - 7x = 
 
4. 
• -2 + x2 + x = 
• 8 + a2 - 9a = 
• -4y + 3 + y2 = 
2x +y 
I III II 
x - y 
+3 
 
- 2 
verificación 
 
5. 
• 7x - 60 + x2 = 
• -15 + 2x + x2 = 
• -60 + y2 + 7y = 
I. -2xy + 
xy 
-xy 
II. -3y + 
-2y 
-5y 
III. -4x + 
3x 
-x 
 
6. 
• m8 - m4 - 12 = 
• a4 + 12a2 + 27 = 
La respuesta es: 
 
(2x + y + 3)(x - y - 2) 
 
 
6. Factorizar: 14x2 - 7xy - 3x - 2y - 2 
 
Resolución: 
 
Completando el polinomio con “0y2” 
• x10 - 3x5 - 10 = 
 
Aplicando el método del aspa doble, factorizar: 
 
7. x2 + 3xy - 4y2 + 4x + y + 3 
8. x2 + 6xy + 5y2 + 3x + 7y + 2 
9. x2 + 3xy + 2y2 + 5y + 4x + 3 
10. x2 + 5xy + 6y2 + 9x + 25y + 14 
11. x2 + 3xy - 10y2 + x + 19y - 6 
 
14x
2 
- 7xy + 0y
2
 
 
- 3x - 2y - 2 
12. x2 + 2xy - 3y2 - 2x + 10y - 8 
 
7x 0y 
I III 
2x - y 
 
2 
II 
-1 
 
verificación 
Bloque II 
 
1. Factorizar el polinomio: 
 
2x2 + 13x + 15 
I. -7xy + 
0xy 
-7xy 
II. 0y + 
-2y 
-2y 
III. -7x + 
4x 
-3x 
 
a) (x + 3)(x + 5) 
b) (x + 3)(x - 5) 
c) (x + 5)(3x + 2) 
La respuesta es: 
 
(7x + 0y + 2)(2x - y - 1) 
(7x + 2)(2x - y - 1) 
d) (2x + 5)(x + 3) 
e) (2x + 3)(x + 5) 
 
2. Indicar el resultado al factorizar: 
3x2 + 10x + 3 
a) (3x + 3)(x + 1) 
b) (3x + 1)(x + 3) 
c) (x + 1)(x + 3) 
d) (x - 3)(x - 1) 
e) (3x + 3)(3x + 1) 
 
3. Factorizar el polinomio: 
9. Aplicando el método del aspa doble, factorizar: 
x2 + 9xy + 14y2 - 3x - 11y + 2 
Indicar uno de sus factores. 
 
a) (x - 7y + 2) b) (x + 2y - 1) 
c) (x - 7y - 2) d) (x + 2y + 1) 
e) (x + 7y + 2) 
 
10.Utilizar "aspa doble" para indicar uno de los factores 
de: 
 
4y2 - 22y + 10 
 
a) (4y - 2)(y - 5) b) (2y + 2)(2y + 5) 
c) (4y - 5)(y - 2) d) (y + 20)(y + 2) 
e) (4y + 2) 
 
4. Indicar el resultado al factorizar: 
 
54x2 - 15x - 50 
 
a) (6x - 5)(9x + 10) 
b) (6x - 10)(9x + 5) 
c) (6x + 5)(9x - 10) 
d) (18x + 5)(3x - 10) 
e) (18x - 10)(3x + 5) 
 
5. Aplicar "aspa simple" para factorizar: 
(x + 1)2 + 5(x + 1) + 6 
a) (x + 3)(x + 2) b) (x + 4)(x + 3) 
c) (x + 1)(x + 6) d) (x + 2)(x + 1) 
e) (x + 5)(x + 1) 
 
6. Factorizar: 
(x + y)2 + (x + y) - 110 
a) (x + y - 11)(x + y + 10) 
b) (x - y - 10)(x - y - 11) 
c) (x - y + 10)(x - y + 11) 
d) (x + y + 11)(x + y - 10) 
e) (x + y + 10)(x - y - 11) 
 
7. Factorizar la expresión: 
 
(a + 3)2 - 14(a + 3) + 48 
 
a) (a - 6)(a - 8) b) (a + 3)(a - 5) 
c) (a - 3)(a + 5) d) (a - 3)(a - 5) 
e) (a + 6)(a + 8) 
 
8. Factorizar: 
 
(x - 2)2 - 12 + 4(x - 2) 
 
a) (x + 4)(x - 4) b) (x + 3)(x + 2) 
c) (x - 2)(x + 1) d) (x - 2)(x - 1) 
e) (x + 7)x 
2x2 - xy - y2 + 13x + 2y + 15 
 
a) 2x + y + 3 b) x + y - 5 
c) 2x - y + 3 d) x - y - 5 
e) 2x - y - 3 
 
Bloque III 
 
1. Factorizar: 
 
F(x; y) = x
2 + 6xy + 9y2 + 2x + 6y - 15 
la suma de sus factores primos es: 
a) 2x + 6y + 3 b) 2x + 6y + 2 
c) 2x + 10y + 2 d) 2x + 5y - 14 
e) 2x + 10y - 1 
 
2. Factorizar: 
 
F(x; y) = 4x
2 - 13xy + 10y2 + 12x - 15y 
 
Señalar un factor primo. 
 
a) x + 2y + 3 b) 4x + 5y 
c) 4x + 2y + 3 d) 4x - 5y 
e) 4x - 2y + 3 
 
3. Factorizar: 
 
P(x; y) = 5x
2 - xy - 7x + 2y - 6 
 
Indicar el factor primo binomio. 
 
a) x - 2 b) x + 2 c) y - 3 
d) y + 2 e) x + 6 
 
4. Factorizar: 
 
Q(x; y) = x
2 + 2xy - 15y2 + 2x + 34y - 15 
la suma de sus factores primos es: 
a) 2(x + y + 1) b) x + y + 1 
c) 2x + y - 4 d) 2x - y - 14 
e) 2x + 2y - 11 
 
a) x - 9 b) x5 + 9 c) x - 2 
d) x5 + 2 e) x5 + 3 
 
) 
5. Factorizar: F(x) = (x
2 + 2x)2 + (x2 + 2x) - 12 
Indique un factor primo. 
 
a) x2 + x + 1 b) x2 + 2x - 4 
c) x2 + 2x - 3 d) x + 3 
e) x + 1 
 
6. Factorizar: 
 
(a + 5)2 - 8(a + 5) + 12 
 
a) (a - 1)(a + 3) b) (a - 1)(a - 3) 
c) (a + 1)(a - 3) d) (a + 2)(a - 6) 
e) (a + 6)(a + 2) 
 
7. Factorizar: 18a2 + 27a + 4 
 
a) (9a + 2)(2a + 2) b) (6a + 4)(3a + 1) 
c) (6a + 1)(3a + 4) d) (3a + 2)(6a + 3) 
e) (9a + 1)(2a + 4) 
 
Autoevaluación 
 
 
1. Factorizar el polinomio: 
 
P
(x) 
= x2 + 2x - 24 
 
a) (x + 2)(x - 6) b) (x + 6)(x - 4) 
c) (x + 8)(x - 3) d) (x - 6)(x + 4) 
e) (x + 4)(x - 2) 
 
2. Indicar los factores del polinomio: 
P
(m) 
= m2 - 3m - 10 
 
a) (m + 5)(m - 2) b) (m - 5)(m - 2) 
c) (m - 5)(m + 2) d) (m + 5)(m + 2) 
e) (m - 10)(m - 3) 
 
8. Factorizar: x10 - x5 - 2 3. Factorizar: 
 
P
(a) 
= a2 + 5a + 6 
a) (x5  6 
 
x5  
1 

 3 
 
b) (x5 + 1)(x5 + 3) 
 
a) (a + 6)(a + 1) b) (a + 5)(a + 1) 
c) (a + 3)(a + 2) d) (a + 5)(a + 6) 
c) (x4 + 2)(x6 - 1) d) (x5 + 2)(x5 - 1) 
 
e) (x5 - 2)(x5 + 1) 
 
9. Factorizar: P(x) = x4n - 5x2n + 4; n  ZZ + de grado “n”. 
e) (a + 4)(a + 2) 
 
 
4. Indicar uno de los factores de: 
Indicar la suma de sus factores primos. Con “n” par. 
 
a) 3xn b) 2xn c) 4xn 
d) xn e) 1 
 
10.Factorizar: x4 - 2x3 + x2 
P
(x) = x
10 - 7x5 - 18 
Indicar el número de factores primos. 5. Factorizar el polinomio: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
P
(x ; y) 
 
= x2 + 2xy + y2 + 3x + 3y + 2 
Indicar uno de sus factores. 
 
a) x + 2y + 2 b) x + 3y + 2 
c) x + y + 3 d) x + y + 1 
e) x + 2y + 3 
 
 
 
 
Claves 
 
1. b 
2. c 
3. c 
4. d 
5. d 
 
NOTAS CURIOSAS 
 
 
Como ya se había mencionado, en este capítulo veremos 
algunas ilusiones ópticas: 
 
 
¡Observa bien! Aparentemente las curvas de esta figura 
son espirales, sin embargo son circunferencias. Esto puedes 
comprobarlo con un compás. 
 
 
 
 
Ahora verás que estas curvas aparentan ser figuras 
ovaladas, sin embargo, son nuevamente, circunferencias. 
¡Compruébalo con un compás! 
Lo que observas a continuación, es la denominada 
"Ilusión de Hering", a cierta distancia, las dos líneas 
horizontales aparentan estar curvas, sin embargo no lo 
están. ¡Compruébalo con una regla! 
 
 
 
 
 
Y en esta última ilusión, las líneas de las letras parecen 
estar quebradas, sin embargo, no lo están. ¡Compruébalo 
con una regla!