ARIT - Guia 5 - Multiplicación en Z

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LA OPERACIÓN DE MULTIPLICAR 
 
 
 Antiguamente resultaba muy trabajosa la operación de 
multiplicar, debido sobre todo al poco o ningún 
conocimiento o uso del valor de posición en la escritura 
de los números; y hasta tal punto era engorrosa que los 
romanos, por ejemplo, la mandaban hacer con los 
esclavos. 
 
 
 LOS EGIPCIOS 
 Para efectuar la multiplicación recurrieron ellos a las 
duplicaciones sucesivas, las cuales eran adecuadamente 
seleccionadas y sumadas después. 
 
 
Así, para multiplicar 32 por 27, operaban de la manera siguiente: 
 
 DUPLICACIONES SUCESIVAS DUPLICACIONES ESCOGIDAS 
* 1 ……………………… 3 2 1 6 ………………………….. 5 1 2 
* 2 ……………………… 6 4 8 ………………………….. 2 5 6 
* 4 ………………… 1 2 8 2 ………………………………. 6 4 
* 8 ………………… 2 5 6 1 ………………………………. 3 2 
* 1 6 ………………… 5 1 2 2 7 Veces 32 8 6 4 
 
 
El resultado de la multiplicación es 864 
 
 
OBSERVACIONES: 
 
I. En el ejemplo dado, las duplicaciones escogidas se han indicado con una asterisco 
II. Después de duplicar sucesivamente el multiplicando 32, hasta un límite prudente, se escogen aquellas 
duplicaciones cuya suma de su número de veces, sea igual al multiplicador 27. 
 
 
 LOS BABILONIOS 
Simplificaron un tanto, porque tenían tablas de multiplicar grabadas en arcilla cocida. 
 
 LOS GRIEGOS 
Tuvieron un gran auxiliar en la tabla de doble entrada desde la época de Pitágoras, a quien se le considera su 
inventor; fue ésta la razón por la cual se le bautizó con su nombre. 
 
 COMO MULTIPLICABAN LOS ROMANOS 
Damos a continuación un ejemplo de como los romanos efectuaban la siguiente multiplicación: 
 
123 x 165 = 20,295 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 
3 6 9 12 15 18 21 24 27 
4 8 12 16 20 24 28 32 36 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 
6 12 18 24 30 36 42 48 54 
7 18 21 28 35 42 49 56 63 
8 16 24 32 40 48 56 64 72 
9 18 27 36 45 54 63 72 81 
 
 
 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: El resultado final que aparece en la última fila, pero escrito en la forma moderna que nosotros 
 conocemos, es CCXCVXX . 
 
 Se podría aclarar la anterior multiplicación, de la siguiente manera: 
1) Se escriben los factores. 
2) Se escriben unos debajo de otros los respectivos productos 
que resultan de multiplicar las cifra V, X, L, C del 
multiplicador, por una de las cifras del multiplicando, ubicando 
adecuadamente en columna los numerales iguales. 
3) Se escriben todos los resultados parciales en una sola fila. 
4) Dos V se convierten en X; cuatro L en dos C (paso 4); cinco C 
en D (paso 5); cuatro D en dos M (paso 6). 
5) El resultado final, escrito ordenadamente, es CCXCVXX . 
 
 
 COMO MULTIPLICABAN EN LA EDAD MEDIA 
Daremos a continuación, un ejemplo de cómo efectuaban la multiplicación 
en Europa durante la Edad Media, empleando un procedimiento hindú 
bastante perfeccionado por los árabes. 
 
Sea la multiplicación: 845 x 326 = 275,470 
 
Multiplicación en la Edad Media: 845 x 326 = 275,470 
 
 Como se puede observar, ya multiplicaban cada cifra del multiplicador por cada una de las cifras del 
multiplicando, escribiendo íntegramente cada uno de los productos de las cifras. Para obtener el resultado 
final sumaban oblicuamente los resultados parciales, tal como lo indican las flechas del grabado, y comenzando 
por la parte inferior derecha (donde dice 1º). 
 
 
 NUESTROS ACTUAL MÉTODO DE MULTIPLICAR 
En un tratado de PACIOLI y con una disposición 
que casi no difiere de la actual, ya se encontraba 
la multiplicación en la forma que se da a 
continuación. 
 
Método actual 
3849 x 963 = 3’706.587 
 
 
 
 
M 
MMMMM 
MMMMMMMMMMMM 
MMMMMMMMMMMMMMMMMM 
 
 
MMMMMMMMMMMMMMMMMM 
MMMMMMMMMMMMMMMMMM 
 
 
 CXXIII 
 CLXV 
D LL VVV 
 CC XXX 
DD LLL 
 CCC 
DDD CCCCC LLLLL XXX VVV 
 CCCCCCC L XXXX V 
DDDD 
MM 
MM CC L XXXX V 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
6a 
8 
5a 
4 
4a 
5 
3 
2 
6 
3a 
2a 
1a 
2 
7 
5 
2 
4 
1 
6 
4 
8 
1 
2 
 
8 
2 
4 
1 
5 
1 
0 
3 
0 
4 7 0 
 
 3 8 4 9 x 
 9 6 3 
 1 1 5 4 7 
 2 3 0 9 4 
 3 4 6 4 1 
 3 7 0 6 5 8 7 
2 4 5 x 
 1 2 
4 9 0 
- - 
 0 
 
 61 
MULTIPLICACIÓN EN Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concepto: Operación aritmética 
directa que consiste en repetir 
una cantidad denominada 
multiplicando tantas veces como 
lo indique otra, llamada 
multiplicador. 
 
 
 
P = a + a + a + … + a + a 
 
 
P = a x n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P = 5 + 5 + 5 + … + 5 + 5 
 
 
P = 5 x 8 = 40 
 
 
 
 
 
M = 7 + 7 + 7 + … + 7 + 7 
 
 
M = ( ) x ( ) = 
 
 
M = 6 + 6 + 6 + … + 6 + 6 
 
 
N = ( ) x ( ) = 66 
 
 
 
 
 
 
 LEY DE SIGNOS: 
 
Resolver: 
(4) x (-6) x (2) 
 
PASO 1: 
Se multiplican los valores numéricos 
normalmente. 
4 x 6 x 2 = 48 
 
PASO 2: 
Se cuentan los signos negativos, si es un 
número par el resultado es positivo, si es impar 
es negativo. 
 
 
 
(4) x (-6) x (2) = 480  resultado = -480 
 final 
 
 Para la división se procede igual  
 
 
NO CONFUNDIR: 
 
 
 
 
“n” veces 
multiplicando 
producto multiplicador 
“8” veces 
“12” veces 
“ " veces 
¡Qué fácil! 
Un solo signo 
negativo 
1 es impar 
 
 62 
 
-6 – 7 + 5  -6 x – 7 x 5 = (-6) (-7) (5) 
 
 
 
 
 
 RESUELVE: 
 
 
i) (-5) x (-3) x (-2) x (7) = 
ii) (5) x (3) x (2) x (4) = 
iii) (-9) (-4) (-3) (2) = 
iv) (-3) (-6) (-7) = 
 
OBSERVACIÓN: 
1) Par x Par = Par 
2) Par x Impar = Par 
3) Impar x Impar = Impar 
4) Inverso multiplicativo de un número entero ‘a’ 
es: 
a
1
 
 
 
 PROPIEDADES: 
 
1) Clausura: Si a  Z  b  Z → (a x b)  Z 
2) Conmutativa: Si a Z  b  Z → a x b = b x a 
3) Asociativa: Si a, b  c  Z → (a x b) x c = a x (b x c) 
4) Elemento neutro: Si a  Z → a x 1 = a 
5) Inverso: Si a  Z →  





a
1
Z / (a) 





a
1
 = 1 
multiplicativo 
 
 
Lenguaje Lenguaje 
Escrito simbólico 
 
El duplo de 
un número ………………………… 
 
El doble de 
un número ………………………… 
aumentado en 5 
 
Cinco veces 
un número ………………………… 
 
El recíproco 
de x + 4 ………………………… 
 
 
 
 
 
1. Multiplica: 
a) (-8) x (-7) x (6) = 
b) (-5) x (-2) x (-3) x (2) = 
c) (4) x (9) x (-6) x (-1) = 
d) (3) x (8) x (4) x (-1) = 
e) (7) x (-3) x (5) x (2) = 
 
2. Escribe en el cuadrado el número que hace 
verdadera la igualdad y la propiedad utilizada. 
 
a) (-8) x (+12) = x (-8) ………………………………… 
b) (-24) x = -24 ………………………………… 
c) [(-5) x (-4)] x (-6) = (-5) x [ x (-6)] 
………………………………… 
 
3. La diferencia de un número y el triple de -4 es 
-8. ¿Cuál es el número? 
 
a) -20 b) 12 c) -12 
d) 4 e) -4 
 
4. La suma de 2 números es -12 y su producto es 
+35. Hallar el mayor. 
 
a) -7 b) 7 c) -5 
d) 5 e) N.A. 
 
5. El triple de un número aumentado en 8 es igual a 
-10. ¿Cuál es el número? 
 
a) 6 b) -18 c) 18 
d) -12 e) -6 
 
6. El domingo nevó en la ciudad de Puno, se formó 
una capa de 78 cm. de nieve y si la capa de nieve 
disminuye en promedio 5 cm. Cada día. ¿Cuál 
será el espesor de la capa de nieve 6 días 
después? 
 
a) 48 cm. b) 38 c) 108 
d) 58 e) 68 
 
 
 
 
Adición y 
sustracción 
multiplicación 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
 63 
7. Desde hace 6 minutos, José esta cargando 
Gasolina en el tanque de un auto, a razón de 7  
por minuto. En este momento el tanque tiene 31 
litros, indicar la cantidad de gasolina que tendrá 
dentro de 2 minutos. 
 
a) 73 lts. b) 45 c) 38 
d) 49 e) 56 
 
8. La fábrica Rylos tiene un gastódiario de 
S/. 2300, el gasto acumulado hasta hoy S/. 18 
500. Calcular el gasto acumulado que tuvo hace 
4 días. 
 
a) S/. 16 200 b) 9 300 c) 14 900 
d) 10 300 e) 9 200 
 
9. Tom ahorra S/. 18 semanalmente, ¿Cuánto más 
tendrá en 5 semanas a partir de ahora? 
 
a) S/. 90 b) 72 c) 108 
d) 81 e) 54 
 
10. Se tiene una regla de 60 cm. que luego se parte 
en 2 pedazos. Si un pedazo es el doble del otro. 
¿Cuánto mide el pedazo menor? 
 
a) 10 cm. b) 20 c) 30 
d) 30 e) 50 
 
11. Las edades de un padre y su hijo suman 95 años. 
Si la edad del hijo es la cuarta parte de la de su 
padre. ¿Cuál es la edad del hijo? 
 
a) 19 b) 76 c) 38 
d) 57 e) 48 
 
12. La suma de 2 números es -144, uno de ellos es 
igual a 5 veces el otro. ¿Cuál es el mayor? 
 
a) -24 b) 24 c) -12 
d) -120 e) 120 
 
13. Si Tito vende cada lápiz en S/. 6, ganaría S/. 48 
en todos los lápices que tiene. Si cada lápiz le 
costo S/. 3. ¿Cuántos lápices vendió? 
 
a) 16 b) 48 c) 32 
d) 96 e) 30 
 
 
14. Pepita y Rosita tienen juntas S/. 240. Si lo que 
tiene Rosita es 5 veces lo que tiene Pepita. 
¿Cuánto tiene Rosita? 
 
a) S/. 40 b) 200 c) 160 
d) 120 e) 100 
 
15. Jorge y Lucho tienen que llenar un depósito de 
agua de 360  de capacidad, con baldes de 8 y 3 
litros respectivamente. En cada viaje, ¿Cuántos 
litros faltarán por llenar en el depósito, después 
de 20 viajes? 
 
a) 220 lts. b) 140 c) 160 
d) 100 e) 150 
 
 
 
 
 
 
1. Efectuar: 
A = (2 + 2 + 2 + 2 + … + 2) (3 + 3 + … + 3) 
 
 
a) 200 b) 240 c) 100 
d) 150 e) 120 
 
2. Efectuar: 
B = [(-3) + (-3) + (-3) + … + (-3)] x [(-2) (5)] 
 
 
a) -33 b) -10 c) 330 
d) -330 e) -110 
 
3. Entre Toño y Jorge tienen S/. 126. Si la 
cantidad que tiene Toño es 17 veces la que 
tiene Jorge. ¿Cuánto más tiene Toño que 
Jorge? 
 
a) 129 b) 112 c) 17 
d) 34 e) 68 
 
4. Las edades de Olinda y Manuela suman 78 años. 
Si la edad de Olinda es el doble que la de 
Manuela. ¿Cuál es la edad de Olinda? 
 
a) 26 años b) 52 c) 13 
d) 39 e) 42 
 
 
TAREA DOMICILIARIA Nº 5 
8 veces 5 veces 
11 veces 
 
 64 
5. Entre dos personas tienen S/. 400 si la 
cantidad que tiene una de ellas es el triple de lo 
que tiene la otra. Hallar la cantidad mayor. 
 
a) S/. 100 b) 200 c) 150 
d) 250 e) 300 
 
6. Alberto tiene 10 años y Lucho tiene el triple de 
su edad. ¿En cuánto se diferencian sus edades? 
 
a) 20 años b) 40 c) 15 
d) 25 e) 30 
 
7. Cecilia va de compras, y gasta el triple de lo que 
gastó Paco más S/. 10. Si Paco gasto S/. 30, 
¿Cuánto gastó Cecilia? 
 
a) S/. 60 b) 70 c) 80 
d) 100 e) 80 
 
8. Carola compra 6 polos y Susan la tercera parte 
de la que compró Paula que fueron el doble de 
las que compró Carola. ¿Cuántos polos 
compraron en total? 
 
a) 20 b) 16 c) 12 
d) 14 e) 22 
 
9. Francisco tiene S/. 30 y Lucía tiene el doble de 
lo que tiene el menos S/. 10. Calcular la 
diferencia de dinero que tienen. 
 
a) S/. 60 b) 70 c) 50 
d) 20 e) 30 
 
10. Le preguntan a Juan Pablo por su edad y este 
responde si el doble de mi edad le suman 8, 
obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Juan 
Pablo? 
 
a) 48 años b) 50 c) 32 
d) 24 e) 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Un teniente quiere formar a sus soldados en 6 
filas de 7 cada, pero observa que le faltarían 4 
soldados, entonces la forma en 7 filas de 5. 
¿Cuántos soldados le sobran ahora? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
12. Se tiene una multiplicación de 2 factores. Si se 
triplica uno de ellos y se duplica el otro. ¿En 
cuánto varía el producto inicial? 
 
a) 5 veces b) 6 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
13. El producto de 2 números es 396, si se añaden 
3 unidades al multiplicador, el producto 
aumenta en 66 unidades. Hallar el factor 
mayor. 
 
a) 25 b) 18 c) 7 
d) 22 e) 66 
 
14. Si a 2 números enteros se le aumenta y 
disminuye 6 unidades respectivamente. El 
producto de ellos aumenta en 204 unidades. 
Hallar la diferencia de los números. 
 
a) 60 b) 80 c) 40 
d) 50 e) 100 
 
15. En qué cifra termina el resultado de multiplicar: 
E = 2(2 + 1) (22 + 1) (23 + 1) (24 + 1) … (224 + 1) 
 
a) 1 b) 4 c) 2 
d) 5 e) 0