GEOMETRIA - GUIA N2 - BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

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Este hecho ya fue constatado por Papus 
de Alejandria; matemático griego. Su 
información se basaba en la forma 
hexagonal que las abejas imprimen a sus 
celdillas para guardar la miel. Las abejas 
cuando guardan la miel, tienen que 
resolver varios problemas. Necesitan 
guardar la miel en celdillas individuales, 
de tal manera que formen un mosaico 
sin huecos ni salientes entre las celdillas, 
ya que hay que aprovechar el espacio al 
máximo. Solo podrían hacerlo con 
triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por 
qué eligieron entonces los hexágonos, si 
son más difíciles de construir? 
La respuesta es de carácter isoperimétrico (Igual perímetro) Pappus demostró que, entre todos 
los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más áreas aquellos que tienen mayor 
número de lados. Por, eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es 
el círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de 
forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor 
superficie para guardar su miel. La pregunta es ¿Y quién le enseño esto a las abejas? 
 
 158 
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Verdad que a lo largo de tu vida vas a conocer una 
cantidad indefinida de personas? Ahora bien, 
coincidirás conmigo que, de todas ellas, una llegará a 
ser muy especial, ¿correcto? 
 
Algo así ocurre con el ángulo. De todos los rayos que 
se pueden trazar por su vértice (cantidad indefinida 
de rayos) solo uno será muy especial: “Aquel que lo 
divida en dos ángulos congruentes (iguales)” A ese rayo 
especial, queridos alumnos, se le llama bisectriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Construcción de la Bisectriz mediante la regla y el 
compás. 
 
 
Método # 1 
 
 Paso # 1 : Dibuja el ángulo al que deseas 
trazar su bisectriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Paso # 2 : Tomando como centro el 
vértice del ángulo utiliza tu 
compás para hacer un arco de 
radio arbitrario que 
intersecte a los lados del 
ángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Paso # 3: tomando como centros los 
puntos de intersección 
obtenidos, utiliza nuevamente 
tu compás para hacer dos 
circunferencias congruentes 
(mismo radio), con la condición 
de que se intersecten. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Paso # 4: Ahora, traza el segmento que 
une el vértice del ángulo con 
los puntos de intersección de 
las circunferencias. Dicho 
trazo será la bisectriz del 
ángulo considerado. 
 
 
 
 
 
La bisectriz es el rayo que biseca al 
ángulo 
O 
M 
A 
B 
 
 
OM : Bisectriz del ∢AOB 
O 
O 
centro 
O 
centro 
 
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Método # 2 
 
 Paso # 1 : Dibuja el ángulo al que deseas 
trazar su bisectriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Paso # 2: Tomando como centro el 
vértice del ángulo, utiliza tu 
compás para trazar dos arcos 
de radios arbitrarios que 
intersecten a los lados del 
ángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Paso # 3: Los puntos de intersección 
obtenidos únelos dos a dos en 
aspa y marca el punto donde 
se intersectan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Paso #4: Traza el rayo que une el 
vértice del ángulo con este 
último punto de intersección. 
Dicho trazo será la bisectriz 
del ángulo considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Queridos alumnos, prescindiendo del método que 
utilicemos para trazar la bisectriz de un ángulo, 
siempre podemos verificar la calidad de nuestro 
trabajo mediante el uso del transportador. 
 
 
 
 
 
 
 
Desde hace quinientos años antes 
de Jesucristo, muchos geómetras 
han pasado gran parte del tiempo 
en buscar una manera de combinar 
rectas y circunferencias para trisecar al ángulo, 
es decir, dividirlo en tres ángulos congruentes. 
La verdad, cuesta creer que no se pueda trisecar 
el ángulo utilizando reglas y compás. Y es que si 
bisecarlo fue muy sencillo ¿por qué ha de ser 
imposible trisecarlo?. Amiguitos, la verdad a veces 
es dura y cruel: “No hay un método general que 
permita trisecar a cualquier ángulo con solo regla no 
graduada y compás”. 
 
Fue P.L. Wantzel quien en 1837 publicó por 
primera vez en una revista matemática, la prueba 
completamente rigurosa de la imposibilidad de 
trisecar un ángulo 
 
 
 
 
 
O 
Bisectriz  
 
O 
O 
O 
O 
Bisectriz 
 
 
 
 160 
 
 
 
 
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) donde 
corresponda. 
 La bisectriz de un ángulo recto formará dos 
ángulos de 55º. ( ) 
 El transportador es el instrumento que nos 
permite medir los ángulos. ( ) 
 Se puede trisecar el ángulo mediante el 
transportador. 
 
a) VVV b) FVF c) FFF 
d) VVF e) FVV 
 
2. Complete de manera adecuada: 
 
 La bisectriz es ________________ que 
_____________ el ángulo. 
 La bisectriz de un ángulo _____________ 
determinará dos ______________ rectos. 
 Es ____________________ bisecar al 
ángulo con solo regla y compás. 
 
3. Relacione de manera adecuada ambas columnas. 
 
a) Bisecar ( ) Instrumento que 
 hace arcos. 
b) Compás ( ) Dividir en tres partes 
 iguales. 
c) Transportador ( ) Instrumento que 
 mide los ángulos. 
d) Trisecar ( ) Dividir en dos partes 
 iguales. 
 
4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda. 
 
 Si divido al ángulo en dos partes entonces lo 
he bisecado. ( ) 
 Si divido al ángulo en tres partes entonces 
lo he trisecado. ( ) 
 Es imprescindible el transportador para 
bisecar al ángulo ( ) 
 
a) FFF b) VVF c) VVV 
d) FVV e) VFF 
 
5. En el gráfico OM es la bisectriz del ∢AOB. 
Calcular “x” 
 
a) 10º 
b) 20º 
c) 30º 
d) 25º 
e) 15º 
 
 
 
 
6. En el gráfico OR es la bisectriz del ∢MON. 
Calcular “”. 
 
a) 5º 
b) 10º 
c) 15º 
d) 20º 
e) 30º 
 
 
7. Calcular “x”, si OB es bisectriz del ∢AOC. 
 
a) 45º 
b) 35º 
c) 55º 
d) 65º 
e) 70º 
 
8. Del gráfico, hallar “” si es bisectriz del ∢COE. 
 
a) 100º 
b) 110º 
c) 120º 
d) 130º 
e) 140º 
 
9. Del gráfico, calcular “x” si: OC OD 
Además OB: Bisectriz del ∢AOC. 
 
a) 10º 
b) 15º 
c) 18º 
d) 20º 
e) 25º 
 
10. Del gráfico, calcule “x” si: OB: bisectriz del 
∢AOC y OE: Bisectriz del ∢DOF. 
 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 25º 
e) 30º 
 
11. Calcular la medida del ángulo formado por las 
bisectrices de los ángulos AOB y BOC. 
 
a) 35º 
b) 40º 
c) 45º 
d) 50º 
e) 55º 
 
x+20º 
 30º 
O 
A 
m 
B 
 + 10º 
2 R 
M 
N 
O 
x 70º 
A D O 
B C 
B 
C 
D 
E O A 
100º 
 
30º 
E O A 
x 3x 
B 
C 
D 
F O A 
x x+10º 
B 
C 
E 
D 
4x 
A B 
C 
O 
 
 161 
 
12. Del gráfico, calcular la medida del ∢AOD, si el 
rayo opuesto de OA es bisectriz del ∢BOC. 
 
a) 100º 
b) 110º 
c) 120º 
d) 130º 
e) 140º 
 
13. Del gráfico, OB bisectriz del ∢AOC. Calcular 
m∢COD. 
 
a) 45º 
b) 55º 
c) 35º 
d) 40º 
e) 50º 
 
14. Calcular el ángulo formado por las bisectrices 
de AOB y BOC. 
 
a) 80º 
b) 90º 
c) 100º 
d) 110º 
e) 70º 
 
15. Del gráfico OB: bisectriz del ∢AOD; 
OC: bisectriz del ∢BOD. 
Calcular: m∢AOC 
 
a) 20º 
b) 40º 
c) 60º 
d) 80º 
e) 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Indicar verdadero (V) o falso (F): 
 
 La bisectriz de un ángulo es un rayo que lo 
biseca. ( ) 
 La bisectriz de un ángulo lo divide en dos 
ángulos congruentes. ( ) 
 La bisectriz de 78º determinará dos ángulos 
de 39º. ( ) 
 
a) FFF b) VVV c) FVF 
d) VVF e) VFF 
 
2. Completar de manera adecuada. 
 
 _________________ publicó por primera 
vez la imposibilidad de trisecar al ángulo con 
solo regla y compás. 
 El _________________ sirve para 
medir la abertura de los ángulos.El ____________ sirve para hacer 
curvas, arcos de circunferencia. 
 
3. Hallar “x”, si OM es bisectriz del ∢AOB. 
 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 25º 
e) 30º 
 
 
4. Hallar “x” si ON es bisectriz del ∢AOB 
 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 12º 
e) 25º 
 
 
5. Calcular la m∢AOM si OM es bisectriz del 
∢AOB. 
 
a) 5º 
b) 10º 
c) 15º 
d) 20º 
e) 25º 
 
 
140º 
A 
D 
C 
20º 
B 
70º 
A 
B 
C 
O D 
O A C 
B 
100º 
A 
B 
C 
D O 
2x 
3x−10 
A 
M 
B 
6x−20º 
2x+40º 
B 
N 
A O 
5x−5º 
7x−15º 
A 
M 
B 
O 
 
 162 
 
6. Hallar “x” si; OB es bisectriz del ∢AOC; OE es 
bisectriz del ∢DOE. 
 
 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 25º 
e) 30º 
 
7. Hallar “x”, si: OC: Bisectriz del ∢AOE. 
OB: Bisectriz del ∢AOC. 
 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 25º 
e) 30º 
 
 
8. Los ángulos AOB, BOC y COD están en la relación 
2, 3, 7 respectivamente. Hallar el ángulo menor. 
 
a) 30º 
b) 45º 
c) 24º 
d) 20º 
e) 35º 
 
9. Del problema anterior: Calcular el ángulo 
formado por las bisectrices del ∢BOD con el 
rayo OC. 
 
a) 20º b) 30º c) 15º 
d) 25º e) 35º 
 
10. Hallar: m∢AOP si OP es bisectriz del ∢AOB. 
 
a) 50º 
b) 40º 
c) 30º 
d) 20º 
e) 10º 
 
11. OB OC. Hallar “x” si OD es bisectriz del ∢COE. 
 
a) 15º 
b) 20º 
c) 30º 
d) 45º 
e) 60º 
 
 
 
12. Hallar el ángulo formado por el ∢AOB y el rayo 
OC. 
 
a) 15º 
b) 20º 
c) 25º 
d) 30º 
e) 35º 
 
13. Del gráfico, hallar el ángulo formado por las 
bisectrices es AOB y BOC: m∢AOC = 140º y 
m∢BOC = 30º 
 
a) 60º 
b) 70º 
c) 75º 
d) 80º 
e) 85º 
 
14. En el gráfico: 
 
❖ Medida del ∢AOB es la décima parte del 
ángulo de una vuelta. 
❖ Medida del BOC es la tercera parte de un 
ángulo llano. 
 
Hallar la medida del ángulo formado por las 
bisectrices de AOB y BOC. 
 
a) 40º 
b) 45º 
c) 48º 
d) 49º 
e) 50º 
 
15. En el gráfico: 
OM : Bisectriz del ∢BOC 
Calcular: “x” 
 
a) 50º 
b) 70º 
c) 60º 
d) 40º 
e) 55º 
 
 
 
 
 
60º 
x+10º 
x 
B 
C 
D 
A 
E 
F 
f 
O 
f 
30º 
10º 
x+10º 
O 
D 
E 
C 
B A 
O D A 
B 
C 
O 
A 
P 
B 
x−20º 
 
3x−120º 
 
A 
x 
O E 
D 
C 
B 
120º 
O 
30º 
20º 
A A 
A 
O 
A 
B 
C 
O 
C 
B 
A 
A 
B 
M 
C 
30º 
20º 
 x