Sólidos de revolución

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UNIDAD 2: SEMANA 5
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDAD. VOLUMENES DE SOLIDOS 
REVOLUCIÓN, LONGITUD DE ARCO, CENTRO DE MASA, CENTROIDES, OTRAS
PROFESOR: RONALD BARRIOS GARIZAO
Volúmenes de Solidos en revolución
Método del disco
Si una región plana se hace girar entorno a una recta, el solido
resultante es un solido de revolución y esa recta se llama eje de revolución (eje de 
giro).
Eje de revolución horizontal
𝑉 = 𝜋 𝑎׬
𝑏
𝑅 𝑥 2𝑑𝑥
Volúmenes de Solidos en revolución
Volúmenes de Solidos en revolución
Método del disco
Si una región plana se hace girar entorno a una recta, el solido
resultante es un solido de revolución y esa recta se llama eje de revolución (eje de 
giro).
Eje de revolución vertical
𝑉 = 𝜋 𝑎׬
𝑏
𝑅 𝑦 2𝑑𝑦
Ejemplo
Encontrar el volumen del solido formado al girar la región acotada por 
la gráfica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , la recta 𝑥 = 2 y el eje x (0 ≤ 𝑥 ≤
2) alrededor del eje 𝑥.
Solución
Se tiene que 𝑅 𝑥 = 2𝑥 para 𝑥 ∈ [0,2], entonces
𝑉 = 𝜋න
0
2
2𝑥
2
𝑑𝑥 = 𝜋න
0
2
2𝑥𝑑𝑥 = 𝜋𝑥2 ቚ
0
2
= 𝜋 2 2 = 4𝜋 𝑢𝑛𝑑3
Método de arandela
Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones continuas en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 tales que 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 para
todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , entonces el volumen del solido en revolución generado al girar alrededor la recta 𝑦 =
𝑐 la región acotada por curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦 = 𝑔(𝑥) y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 está dado
por
𝑉 = 𝜋න
𝑎
𝑏
𝑅𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
2
− 𝑟𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
2 𝑑𝑥
Ejemplo
Método de Capas
Método de Capas
.
Método de Capas
Método de Capas
Eje de rotación horizontal
𝑉 = 2𝜋න
𝑐
𝑑
𝑝 𝑦 ℎ 𝑦 𝑑𝑦
Eje de rotación vertical
𝑉 = 2𝜋න
𝑎
𝑏
𝑝 𝑥 ℎ 𝑥 𝑑𝑥
Comparación método del disco y capas
Método del disco Método de capas
Comparación método del disco y capas
Método del disco Método de capas
Longitud de Arco
Longitud de Arco
Longitud de Arco
Centro de masa