matematicas 65

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El área total será:
ATotal = Ac + Al = 78,54 cm
2 + 314,16 cm2 = 389,9
El volumen será:
Vc = ( π • r
2) h = (3,1416 • (5 cm)2) • 10 cm = 785,4 cm3
Relaciones entre pirámide y cono
Ya hemos visto que en la medida en que aumenta el número de lados de un polígono 
regular, la apotema se asemeja más al radio de la circunferencia que lo circunscribe y 
el perímetro del polígono al perímetro de la circunferencia. (Ver figura Relación entre 
polígonos y la circunferencia que lo circunscribe). Esto nos permite establecer ana-
logías entre conos y pirámides tal como se muestra en la tabla Relaciones de períme-
tro, área y volumen en pirámides y conos y en la siguiente figura.
Similitud entre pirámide y cono
r
h
r
h
Cono inscrito en un cilindro
h
r
g
219
Guía 19 • Postprimaria Rural
Como se observa en la figura anterior, se inscribe un cono en el cilindro y se determina 
una distancia entre el vértice del cono y la circunferencia de la base que se denomina 
generatriz. El vértice del cono se parece al ápice de la pirámide.
Para hallar el valor de la generatriz se dibuja un triángulo rectángulo con las respecti-
vas distancias. El valor de la medida de la generatriz g se determina mediante la apli-
cación del teorema de Pitágoras así:
h
r
g
Generatriz
Radio de 
la base
Altura 
del cono
g2 = h2 + r2
h2 + r2g = 
En la siguiente tabla, se muestran las relaciones encontradas de las pirámides y los conos.
Relaciones de perímetro, área y volumen en pirámides y conos
Pirámide Cono
Área de la base
Área del polígono 
AP =
Pp • ab
2
Área del círculo
AC =
Pc • r
2
AC =
(2 • π •r)•r
2
AC = π • r
2
Área lateral
ALP =
Pp•ab
2
ALC =
Pc • g
2
ALC =
(2 • π •r) • g
2
ALC = π • r • g
Volumen
VP =
Ap • h
3
Donde h es la altura de la 
pirámide.
VC =
Ac • h
3
VC =
(π •r2) • h
3
Donde h es la altura del cono.
220
Matemáticas • Grado 8
Consideremos el caso de la vela de parafina que hemos estudiado. Recordemos que 
sus dimensiones son: lado l = 5 cm, altura h = 10 cm, apotema de la base ab = 4,33 cm 
y apotema de la pirámide ap = 10,9 cm, radio de la circunferencia que circunscribe al 
polígono base r = 5 cm.
La pirámide está inscrita en un cono de radio r = 5 cm y altura h = 10 cm. Averigüemos 
ahora el valor de la generatriz g, el área del círculo Ac, área latera AL, área total ATotal y 
volumen del cono Vc.
Generatriz
De acuerdo con el teorema de Pitágoras: 
g = 11,18 cm
h2 + r2g = 
(10 cm)2 + (5 cm)2g = 
Área del círculo
Ac = π • r
2 = 3,1416 • (5 cm)2 = 78,54 cm2
Área lateral del cono
ALC = π • r • g = 3,1416 • 5 cm • 11.18 cm
2 = 175,62 cm2 aproximadamente. 
Área total del cono
Atotal=78,54cm
2 + 175,62 cm2 = 254,16 cm2
Volumen del cono
VC =
(π • r2) • h
3
VC = = 261,80 cm
3
3,1416 • (5 cm)2 • 10cm
3
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Guía 19 • Postprimaria Rural
Ejercitemos
lo aprendido
1. Calcula la superficie y el volumen de las pirámides de la siguiente figura.
Pirámides regulares rectas
15 cm
12 cm
10 cm
7 cm
14 cm
12 cm
6 cm
Responde:
a. ¿Cuál es la pirámide que tiene mayor volumen?
b. ¿Cuál es la diferencia entre la pirámide de mayor volumen y la de menor?
c. Calcula las áreas totales y las áreas laterales de cada una de las pirámides.
2. Calcula el perímetro de las circunferencias y las áreas de los círculos de la figura.
Círculos de diferentes diámetros
5cm 7cm 10cm
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Matemáticas • Grado 8