Matemáticas Simplificadas 30

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CAPÍTULO 7
 ARITMÉTICA • Notación científi ca y logaritmos
119
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
2 Efectúa 
3 5 10
5
6. × −
.
Solución
Se realiza la división de 3.5 entre 5 mientras que la base 10 y su exponente no se alteran.
3 5 10
5
3 5
5
10 0 7 10 7 10
6
6 6 7. . .
× = × = × = ×
−
− − −
⁄ Para multiplicar o dividir números escritos en notación científi ca, se efectúa la multiplicación o división en las 
primeras partes y para la base 10 se aplican las leyes de los exponentes.
(a × 10 m) (b × 10 n ) = (a × b) × 10 m + n a
b
m
n
×
×
10
10
 = a ÷ b × 10 m − n
1 Efectúa la siguiente operación (8.2 × 10−5) (4.1 × 10−3).
Solución
Se multiplican 8.2 por 4.1 y los exponentes de la base 10 se suman.
(8.2 × 10−5) (4.1 × 10−3) = (8.2 × 4.1) × 10−5+(−3) = 33.62 × 10−8 = 3.362 × 10−7
2 Determina el resultado de 
4 25 10 2 01 10
2 5 10
6 2
8
. .
.
×( ) ×( )
×
−
.
Solución
Se realiza la multiplicación y posteriormente la división para obtener el resultado.
( . )( . )
.
. .4 25 10 2 01 10
2 5 10
4 25 2 01 106 2
8
6× ×
×
=
×( )− ××( )
×
= ×
×
=
−10
2 5 10
8 5425 10
2 5 10
8 5425
2 5
2
8
4
8.
.
.
.
.
×× −104 8
 = × −3 417 10 4.
Por tanto, el resultado de la operación es 3 417 10 4. × −
3 ¿Cuál es el resultado de 
3 2 10 4 1 10 21 10
2 3 10 0 27 10
5 7 8
13
. .
. .
× × − ×( )
× + ×
− − −
− −−12 ?
Solución
Se realizan las sumas y restas, posteriormente la multiplicación y la división para obtener el resultado fi nal.
3 2 10 4 1 10 21 10
2 3 10 0 27 10
5 7 8
13
. .
. .
× × − ×( )
× + ×
− − −
− −−
− − −
−=
× × − ×( )
× +12
5 7 7
13
3 2 10 4 1 10 2 1 10
2 3 10 2
. . .
. ..
.
7 10
3 2 10 2 10
5 1013
5 7
13×
=
×( ) ×( )
×−
− −
−
 = ( )( ) ×
×
= ×
×
− + −( )
−
−
−
3 2 2 10
5 10
6 4 10
5 10
5 7
13
12
13
. . == × − − −( )6 4
5
10 12 13
.
 = × =1 28 10 12 81. .
Por consiguiente, el resultado de la operación es 12.8
 7 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
120
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
EJERCICIO 71
Efectúa las siguientes operaciones:
 1. 3 7 2 10 6. ×( )−
 2. 4 2 3 52 108. . ×( )
 3. 
1 13 10
2
5. ×
 4. 
1
4
4 83 10 6. ×( )−
 5. 
3 27 10
3
8. ×
 6. 5 3 10 2 6 104 5× + ×( )− −.
 7. 3 8 6 25 10 42 1013 12. . × − ×( )
 8. 2 73 10 1 16 102 4. .×( ) ×( )−
 9. 4 25 10 1 2 108 6. .×( ) ×( )− −
 10. 3 1 10 2 3 105 6. .×( ) ×( )
 11. 1 25 10 7 10 1 2 106 9 10. .× × + ×( )−
 12. 5 4 10 1 3 10 5 108 11 12. .× × − ×( )− −
 13. 
1 16 10
2 10
5
3
. ×
×
−
−
 14. 
4 25 10
5 10
2
3
. ×
×
−
 15. 
1 32 10 2 5 10
3 10
4 3
12
. .×( ) ×( )
×
− −
−
 16. 
3 78 10 4 26 10
2 7 10
3 5
3
. .
.
×( ) ×( )
×
− −
−
 17. 
3 5 10 2 3 10
5 9 10 30 10
7 7
5 4
. .
.
× + ×
× − ×
 18. 
1 73 10 0 3 10
2 10
2 3
6
. .× − ×
×
− −
−
 19. 
1 26 10 1 04 10
2 73 10 1 2 10
5 3
3 4
. .
. .
×( ) ×( )
×( ) ×( )
− −
− −
 20. 
4 2 10 1 7 10 0 003 10
8 4 10
5 4 2
1
. . .
.
× × + ×( )
×
− −
−
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Potencias y raíces
Potencia de un número en notación científi ca. Al elevar un número en notación científi ca a un exponente dado, se 
elevan cada una de sus partes, como se ilustra a continuación:
(a × 10 m)n = a n × 10 m × n
1 Realiza 1 2 10 6 2. ×( )− .
Solución
Se elevan ambas partes del número al exponente 2
1 2 10 1 2 10 1 44 106
2 2 6 2 12. . .×( ) = ( ) × ( ) = ×− − −
El resultado de la operación es 1 44 10 12. × −
2 ¿Cuál es el resultado de 4 4 105 3. ×( ) ?
Solución
Se elevan ambas partes del número.
4 4 10 4 4 10 85 184 10 8 51845
3 3 5 3 15. . . .×( ) = ( ) × ( ) = × = ×× 1016
Por tanto, el resultado es: 8 5184 1016. ×
 CAPÍTULO 7
 ARITMÉTICA • Notación científi ca y logaritmos
121
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Raíz de un número en notación científi ca. Para obtener la raíz de un número en notación científi ca se escribe el 
exponente de la base 10 como múltiplo del índice del radical, luego se extrae la raíz de ambas partes.
1 Halla el resultado de 1 69 10 4. × − .
Solución
El exponente de la base 10 es múltiplo de 2, entonces se procede a extraer la raíz del número.
1 69 10 1 69 10 1 3 10 1 3 104 4
4
2 2. . . .× = × = × = ×− −
− −
El resultado de la raíz es: 1 3 10 2. × −
2 Efectúa 8 10143 × .
Solución
Debido a que el exponente de la base 10 no es múltiplo de 3, se transforma el exponente de la siguiente manera:
8 10 0 8 1014 15× = ×.
Por tanto,
8 10 0 8 10 0 8 10 0 92831 10 9143 153 3 153 5× = × = × = × =. . . .22831 104×
Por consiguiente, el resultado es: 9 2831 104. ×
3 ¿Cuál es el resultado de 
3 2 10 0 43 10
1 2 10
7 6
3
. .
.
× + ×
×
− −
− ?
Solución
Se efectúan las operaciones dentro del radical y se extrae la raíz.
3 2 10 0 43 10
1 2 10
3 2 10 4 3 107 6
3
7. .
.
. .× + ×
×
= × + ×
− −
−
− − 77
3
7
3
7 3
1 2 10
7 5 10
1 2 10
6 25 10
.
.
.
.
×
= ×
×
= ×−
−
−
− − −( )
 = × = × = ×− − −6 25 10 6 25 10 2 5 104 4 2. . .
EJERCICIO 72
Realiza las siguientes operaciones.
 1. 1 7 10 2
2
. ×( )−
 2. 8 10 6
2
×( )− −
 3. 2 5 10 1 3 106 6
2
. .× + ×( )− −
 4. 4 3 10 25 108 7
3
. × − ×( )
 5. 
1 3 10 4 10 3 5 10
2 0 10
5 5 5 2
4
. .
.
× − × + ×( )
×
−
−
 6. 
2 3 10 5 7 10
3 24 10 1 64 10
4 4
6 6
2
. .
. .
× + ×
× − ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −
− −
 7. 9 61 10
8. × −
 8. 2 16 1083 . ×
 9. 32 4 10 9. × −
 10. 1 6 10 1 1 107 73 . .× + ×
 11. 5 26 10 2 06 1014 145 . .× − ×− −
 12. 1 2 10 1 331 103
3 63. .×( ) ⋅ ×− −
 13. 
4 10 1 9 10
3 5 10 1 625 10
7 7
9 9
5
.1 × + ×
× − ×− −
.
. .
 14. 
9 91 10 36 6 10
3 25 10 1 75 10
3 2
10 10
3
. – .
. .
× ×
× + ×
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
 7 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
122
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Logaritmo de un número
El logaritmo con base b de un número N, es el exponente a, al cual se eleva la base b para obtener el resultado o 
argumento N.
logb N = a ⇔ N = b
a con N > 0
Ejemplos
Utiliza la defi nición de logaritmo para transformar a su forma exponencial los siguientes logaritmos:
 1. log3 243 = 5 ⇒ 243 = 3
5
 2. log10 10 000 = 4 ⇒ 10 000 = 10
4
 3. log2 64 = 6 ⇒ 64 = 2
6
 4. log
5
25 4= ⇒ 25 5
4
= ( )
Logaritmos comunes o de Briggs. Son logaritmos cuya base es 10, el logaritmo de cualquier número está formado por 
una parte que corresponde a un número entero llamado característica y otro decimal que recibe el nombre de mantisa. 
Estos logaritmos se representan de la siguiente manera:
log10 N = log N
Cálculo del logaritmo de un número. La característica del logaritmo de un número se obtiene de la siguiente 
manera:
⁄ Si la parte entera del número es mayor que cero, la característica es el número de cifras enteras menos uno.
⁄ Si la parte entera del número es cero, la característica es negativa y resulta de contar el número de lugares que 
existe del punto decimal hasta el lugar que ocupa la primera cifra signifi cativa.
⁄ Para obtener la mantisa se buscan las 2 primeras cifras del número en la primera columna de las tablas, se sigue 
sobre el mismo renglón hasta llegar al cruce con la columna encabezada por la tercera cifra; si es necesario se 
sumará la parte proporcional que corresponde a la cuarta cifra, que se encuentra sobre el mismo renglón en el 
cruce con la columna correspondiente.
1 Obtén el log 7.
Solución
La característica = número de cifras enteras − 1 = 1 − 1 = 0
Se toma 70 en vez de 7 y para calcular la mantisa se ubica 70 en la primera columna y se toma la cifra que se 
encuentra sobre el renglón y la intersección con la columna 0
N 0 1 2 3................................................... 9 1 2 3
≈
70
 ≈ ≈ ≈ ≈ ≈
 8451 8457 8463 8470................................................8506
≈ ≈ ≈
1 1 2
Por tanto, log 7 = 0.8451