ECUACION DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN

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ECUACIÓN DIFERENCIAL SE SEGUNDO ORDEN
	 Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las aplicaciones, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la economía, y la biología. En el caso de las ecuaciones diferenciales se describen por su orden, determinado por el término con derivadas de mayor orden. Una ecuación que contiene solo derivadas simples es una ecuación diferencial de primer orden, una ecuación que contiene hasta derivadas segundas es una ecuación diferencial de segundo orden, y así sucesivamente
	A partir de la temática en referencia, la presente producción escrita planteó como objetivo general describir determinadas características del tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden, así como, de manera general, esquematizar las soluciones al tipo de ecuación en cuestión, considerando para ello, la consulta de fuentes documentales especializadas en la materia, conformando un cuerpo teórico para el entendimiento del tema en el ámbito de las ciencias. De igual manera, se presenta ejemplo del tipo de solución a las ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Definición de Ecuación
	
	Una ecuación diferencial, en términos de Quintana (2008) “es una ecuación en la que interviene una función incógnita y una o varias de sus derivadas” (p. 9). De igual manera, explica el citado autor, las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar, básicamente, atendiendo a dos criterios: el tipo y el orden. Para el citado autor, una ecuación diferencial establece una relación entre la variable independiente x, la función buscada y = y (x) y sus derivadas y, y´, y´´,…, yn). La notación sería:
	En este sentido, se denomina integrar a la ecuación diferencial al proceso por el que se encuentra, a partir de la ecuación diferencial dada, la relación directa entre x e y. Por su parte, una ecuación diferencial de segundo orden, en palabras de Figueroa (2010) “es aquella lineal con coeficientes constantes y no homogénea” (p. 3). Es una expresión matemática en la que se relaciona una función con sus derivadas primera y segunda. Para el citado autor, este tipo de ecuación es de la forma: 
y´´+ p (x) y´ + q (x) y = g (x)
	Si g(x)= 0, se denomina ecuación homogénea; en caso opuesto, si g(x) ≠ 0, se llama ecuación no homogénea. Por su parte, una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:
ay´´+ by´+ cy = g (x) donde a, b y c ϵ IR y a ≠ 0
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial. Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
 = 2x
La variable independiente (v. i) es x
La variable dependiente (v. d) es y
Las ecuaciones diferenciales se describen por su orden, determinado por el término con derivadas de mayor orden. Una ecuación que contiene solo derivadas simples es una ecuación diferencial de primer orden, una ecuación que contiene hasta derivadas segundas es una ecuación diferencial de segundo orden, y así sucesivamente. Ejemplos de orden en ecuaciones:
· Ecuación diferencial de primer orden: y´ + y (x) = f (x) 
· Ecuación diferencial de segundo orden: y´´+ 4y = 0
· Ecuación diferencial de tercer orden: xy´´´ - 2xy´´+ 4y´ = 0
Las ecuaciones diferenciales, según el tipo de clasifican en: (a) ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente; (b) ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes. El orden de una ecuación diferencial es la derivada superior que interviene en la ecuación. En el caso de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, se distinguen por el grado que poseen, es decir, por la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial, por ejemplo:
y´= x2 + 5y
Ecuación Diferencial de Segundo Orden
Se dice que las funciones y1, y2,… … … yn son linealmente independientes si la única solución de la ecuación c1c1 + c2y2 +… cnyn = 0; donde c1 =c2 =…cn= 0. En caso contrario, las funciones son linealmente dependientes. 
Ejemplos: 
1.- Las funciones y1 = - sen. y2 = x2 para ser linealmente independiente debe cumplir: c1y1 + c2y2 +…cnyn = 0. Reemplazando los valores de las funciones se obtiene: c1 (-senx) + c2 (x2) = 0. Como los únicos valores posibles de c1 y c2 para que cumpla la igualdad es c1 = c2 = 0, entonces las funciones y1 =senx; y2 =x2 son linealmente independientes.
2.- Las funciones y1 = x;y2 = 4x para ser linealmente independientes debe cumplir c1y1 + c2y2 + …cnyn = 0. Reemplazando los valores de las funciones se obtiene: c1(x) + c2 (4x) = 0. Como uno de los posibles valores de c1 y c2 para que cumpla la igualdad pueden ser c1=-4 y c2, entonces las funciones y1 = x; y2 = 4x, son linealmente dependientes
Si y y1 y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y´´ + ay´+ by=0, entonces, la solución general es: y=c1 y1 + c2y2, donde c1 y c2 son las constantes. Además por ser una ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la forma y=cemx. Entonces y´=cmemx; y´´=cm2emx; 
Reemplazando en y´´ + ay´+ by=0 se tiene cm2emx+camemx+cbemx=0
Factorando: cemx(m2 + am + b)=0; como cemx nunca se anula, y=cemx es una solución si y sólo si m2+am+b=0
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial y´´-4y=0
Solución:
Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituye y´´ por m2, y´ por m, y por 1 para obtener una ecuación de la forma m2 + am + b=0
Por lo tanto la ecuación característica de y´´-4y=0 es m2-4=0
Resolviendo la ecuación se tiene m=±2
Entonces:
y1=c1em1x=c1e2x
y2=c2em2x=c2e-2x
Son las soluciones particulares de la ecuación diferencial. Estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es: y=c1e2x+c2e-2x
CONCLUSIÓN
	Una ecuación diferencial de segundo grado puede resolverse de tres maneras: una, la elaboración de una segunda solución a partir de una solución conocida, ésta se centra en el producto de una función nueva por la función conocida (y=u(x)y1(x)) que introducida en la ecuación de segundo orden la reduce a una ecuación de primer orden para obtener una fórmula explícita y así obtener dicha segunda solución. Para el caso de las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, se necesita la metodología de álgebra básica como resolver una ecuación cuadrática (ax2+bx+c=0).
	Por su parte el método de coeficientes indeterminados consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular. Este es un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, éste sólo se aplica a una clase restringida de ecuaciones. No obstante, la ventaja consiste en que, cuando este método es el pertinente, por lo general es más fácil de emplear que los otros métodos. El método de variación de parámetros es un método general para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. La variación de parámetros extiende de ecuaciones diferenciales parciales, específicamente de problemas con ecuaciones diferenciales no homogéneas hasta la evolución de ecuaciones diferenciales lineales.
	Existen diferentes tipos de ecuaciones y metodologías para resolverlas. En el caso de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, se tienen fundamentalmente tres métodos, cuya metodología concluye que para resolver una ecuación diferencial de segundo orden se emplea convenientemente el de coeficientes constantes para el caso homogéneo y el de coeficientesindeterminados para el caso no-homogéneo.
BIBLIOGRAFÍA
Quintana, F. (2008). Ecuaciones. Bogotá: Trillas
Figueroa, L. (2010). Ecuaciones diferenciales. México: McGraw-Hill
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