Fundamentos de la probabilidad

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Unidad II
Fundamentos
de la teoría de
probabilidad
MTRO. RODRIGO MAZUN CRUZ
Lance Edward Armstrong (nacido Lance Edward Gunderson, en Austin, Texas, 18 de septiembre de 1971) es un exciclista profesional estadounidense.
1. PROBABILIDAD.
1.1. Leyes de la probabilidad.
1.2. Probabilidad de ocurrencia de eventos.
1.3. Esperanza de ocurrencia de eventos.
Introducción a la probabilidad
INVESTIGACIÓN:
Conocer el desarrollo histórico de la probabilidad y sus conceptos básicos.
Encontrar 3 artículos en revistas, periódicos o noticias en línea el uso de probabilidades en la vida real. El artículo se puede recortar, imprimir, etc. para pegarlo en la libreta.
3. Incluir fuente de la información.
Entregar en la libreta próxima sesión de clase
EJEMPLOS DE NOTICIAS DONDE SE USA LA PROBABILIDAD
Fuente: https://www.elmundo.es/f5/descubre/2018/11/05/5be06ab6e2704e4b9a8b4592.html
Fuente: https://acbstats.wordpress.com/2014/12/10/la-probabilidad-en-el-baloncesto/
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Rama de las matemáticas que se encarga de estudiar los fenómenos aleatorios.
La probabilidad mide el grado de posibilidad de ocurrencia de un determinado evento. Este grado de ocurrencia varía desde la certeza total de que el evento ocurra (evento seguro) hasta la posibilidad de que no ocurra (evento imposible).
Probabilidad
P. Clásica (a priori)
P. Como frecuencia relativa (a posteriori)
P. subjetiva
P. axiomática
Definiciones básicas
EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO: Experimento que al repetirse bajo las mismas condiciones produce resultados iguales. Se puede predecir lo que va a ocurrir. Ejemplo: Saber que día será mañana.
EXPERIMENTO ALEATORIO: Experimento que al repetirse bajo las mismas condiciones produce resultados diferentes y, además, no predecibles. Ejemplo: La calificación que obtendrás en una asignatura.
ESPACIO MUESTRAL (E o S): Conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento.
Por ejemplo: Dos puntos de soldadura de amarre sobre una tablilla de circuito impreso se inspeccionan electrónica y visualmente, y cada una de ellas se cataloga como buena, G, o defectuosa, D, si requiere volver a soldarse.
S = {GG, GD, DG, DD}
DIAGRAMAS DE VENN
Mutuamente excluyentes o disjuntos
(A y B)
(A ó B)
ANÁLISIS DE ALEATORIEDAD EN EVENTOS CLÁSICOS
	Número de tiradas	Número de veces que sale sol	Porcentaje
	10		
	20		
	…		
	n		
	Número de tiradas	Número de veces que sale 4 puntos	Porcentaje
	10		
	20		
	…		
	n		
Uso del programa R para simular el lanzamiento de una moneda n veces
1.1. Leyes de la probabilidad.
S: espacio muestral
P: función con valores reales, función de probabilidad
P(A): probabilidad del suceso A
P(A)  0
Evento seguro, P(S) = 1
0  P(A)  1
Para dos eventos A y B mutuamente excluyentes P(A ó B) = P (A  B)= P(A) + P(B)
Complemento de A, P(Ac) = 1 – P(A)
EJERCICIO 1. ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes?
	Evento A	Evento B
	Lluvia	No lluvia
	b. B en el examen de química	C en el mismo examen
	c. Conducir un auto	Caminar
	d. Conducir un auto	Hablar
	e. Nadar	Sentir frío
	f. Ganar un juego	Perder un juego
	g. Vencer en un juego	Empatar en un juego
	h. Sacar una reina de un mazo de naipes	Sacar una carta roja
Juego de naipes
Q	Q	Q	Q
J	J	J	J
K	K	K	K
3	3	3	3
4	4	4	4
5	5	5	5
6	6	6	6
10101010
9	9	9	9
8	8	8	8
7	7	7	7
A	A	A	A
2	2	2	2
MODELO CLÁSICO DE PROBABILIDAD (A priori)
Ejemplo: Obtener una cara en un solo lanzamiento de una moneda
MODELO DE FRECUENCIA RELATIVA DE PROBABILIDAD (A posteriori)
Ejemplo: Durante el año anterior hubo 50 nacimientos en un hospital de los cuales 32 de los recién nacidos eran niñas, que probabilidad hay de que el siguiente nacimiento sea una niña
Otro ejemplo: Un importador de cristal irlandés de Nueva York recibe envíos de cajas de tres artículos. Los datos para las últimas 100 cajas indicaron el número de artículos dañados que había en cada caja como se muestra en la tabla
	Resultados (E1) (Número de defectos)	Número de cajas	P(E1)
	0	40	40/100 = 0.40
	1	27	27/100 = 0.27
	2	21	21/100 = 0.21
	3	12	12/100 = 0.12
	suma	100	1.00
En el pasado 21 de las 100 cajas totales contenían exactamente 2 artículos dañados: P(2) = 21/100 = 0.21
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Regla general de la adición
EJEMPLOS:
Una bolsa contiene 10 esferas marcadas con los números 1, 2, 3, .., 10, sean los eventos:
A = extraer una esfera marcada con el número 3 ó menor
B = extraer una esfera marcada con el número 6 ó mayor
Determinar si A y B son eventos mutuamente excluyentes
Calcular P(A  B)
Una bolsa contiene 10 esferas marcadas con los números 1, 2, 3, .., 10, sean los eventos:
A = extraer una esfera marcada con un número par
B = extraer una esfera marcada con el número 7 ó menor
Determinar si A y B son eventos mutuamente excluyentes
Calcular P(A  B)
EJEMPLOS..:
EJERCICIOS:
Sacar una sola carta de un mazo de 52 naipes
Sacar un naipe de corazones
Sacar un naipe de cinco
La carta es roja
Supongamos que los eventos A y B no son mutuamente excluyentes y que sabemos que P(A)=0.20, P(B)=0.30, y P(A  B)=0.10. Calcule: P(A’), P(B’), P(A  B), P(A  B), P([A  B]’)
REGLA BÁSICA DE LA MULTIPLICACIÓN P(A y B) = P(A  B)
Dos eventos A y B son independientes si y sólo si 
P(A y B) = P(A) P(B)
P (el suceso A ocurre en un primer ensayo y el suceso B ocurre en un segundo ensayo)
 
Ejemplo: Una ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia. La probabilidad de que el carro de bomberos esté disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia esté disponible es de o.92. Calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles, suponiendo que operan de manera independiente.
P(A  B) = P(A) P(B) = (0.98) (0.92) = 0.9016 
Ejemplo…
Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se retiran de la caja, uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos? (eventos dependientes)
SOLUCIÓN:
A = el primer fusible está defectuoso
B = el segundo fusible está defectuoso
Se interpreta A  B como el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que haya ocurrido A. 
P(A) = 5/20 = 1 / 4		P(B) = 4 / 19 (ya que salió un fusible de los 5 y solo 						quedan 19 en la caja)
P(A  B) = (1 / 4) ( 4 / 19) = 1 / 19
EJERCICIO:
En la inspección visual de un lugar dado en las obleas de un proceso de fabricación de semiconductores se obtuvo la tabla siguiente:
	Número de partículas de contaminación	Proporción de obleas
	0	0.40
	1	0.20
	2	0.15
	3	0.10
	4	0.05
	5 o más	0.10
Si se selecciona una oblea al azar y se inspecciona en el mismo lugar, ¿Cuál es la probabilidad …?
de que no contengan partículas de contaminación?
de que una oblea contenga tres o más partículas en el lugar inspeccionado?
de que una oblea contenga 0 o más de tres partículas en el lugar inspeccionado?
EJERCICIO PARA USO DE TIC’S
Realice una encuesta de al menos 15 individuos sobre alguna característica de interés y calcule la probabilidad relativa empleando el software R. Presente sus conclusiones del tema. Esta actividad puede ser realizada en equipo.
ESPERANZA DE OCURRENCIA DE EVENTOS
ESPERANZA MATEMÁTICA o Valor esperado es la media de una variable aleatoria discreta que representa el resultado medio teórico de un número infinito de ensayos.
X = variable discreta
f(x) = distribución de probabilidad
x = valores que toma X (0, 1, 2, …, n)
Ejemplo.
Un vendedor de automóviles muestra la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado
 
	Cantidad de automóviles vendidos, x	Probabilidad, f(x)
	0	0.1
	1	0.2
	2	0.3
	3	0.3
	4	0.1
	Total	1.0
Espera vender 2.1 autos por sábado
Ejemplo…
Va a hacerse la comparación del diseño de dos productos nuevos con base en la ganancia potencial.El departamento de comercialización considera que la ganancia del Diseño A puede predecirse con bastante precisión como $3 millones. La ganancia potencial del Diseño B es más difícil de determinar. El departamento de comercialización concluye que hay una probabilidad de 0.3 de que la ganancia del Diseño B sea de $7 millones, pero hay una probabilidad de 0.7 de que la ganancia sea de sólo $2 millones. ¿Por cuál diseño se inclinaría?
 
Sea X la ganancia del Diseño A E(x) = 1 ($3) = $3 millones 
Sea Y la ganancia del Diseño B E(Y) = $7(0.3) + $2(0.7) = $3.5 millones 
Se inclinaría por el Diseño B
Probabilidad 1
EJERCICIO .
El número de mensajes por hora enviados en una red de computadoras tiene la siguiente distribución
	Número de mensajes, x	10	11	12	13	14	15
	f(x)	0.08	0.15	0.30	0.20	0.20	0.07
Calcule la media (esperanza matemática)
2. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.
2.1. Series de eventos.