Suponiendo que la probabilidad de que un bebé nazca varón o mujer es la misma, ¿cuál es la probabilidad de que un matrimonio tenga dos hombres y...

¿Sabes que si una pareja tiene cuatro hijos de distinto sexo lo más probable es que tenga tres de un sexo y uno del otro?

Una pareja con cuatro hijos tiene las siguientes posibilidades:

1. 4 varones y ninguna hembra
2. 3 varones y 1 hembra
3. 2 varones y 2 hembras
4. 1 varón y 3 hembras
5. Ningún varón y 4 hembras

Este es un ejemplo del experimento de Bernoulli, en el cual se hacen varios intentos con resultados favorables o desfavorables, que tienen una probabilidad de ocurrencia igual a p y a q respectivamente.

Usamos la distribución binomial. La probabilidad de obtener x éxitos en n intentos viene dada por la fórmula

P(x)=Cnxpxqn−xP(x)=Cxnpxqn−x

donde

Cnx=n!x!(n−x)!Cxn=n!x!(n−x)!

es el número de combinaciones de xx elementos tomados de un conjunto de nn elementos.

nn es el número de intentos

pp es la probabilidad de éxito

qq es la probabilidad de fracaso

En el caso de los hijos de la pareja, queremos saber la probabilidad de obtener las diferentes combinaciones de varones y hembras en cuatro intentos. Por lo tanto,n=4n=4.

La probabilidad de obtener un varon en cada intento es

p=0,5p=0,5

La probabilidad de obtener una hembra en cada intento es

q=1−p=0,5q=1−p=0,5

La expresión

pxqn−xpxqn−x

se reduce a:

(12)x(12)n−x=(12)n=(12)4=116(12)x(12)n−x=(12)n=(12)4=116

La fórmula sería:

P(x)=n!x!(n−x)!116P(x)=n!x!(n−x)!116

El cálculo de las probabilidades en cada caso daría:

1. 4 varones y ninguna hembra: P(4)=4!4!(4−4)!116=1161. 4 varones y ninguna hembra: P(4)=4!4!(4−4)!116=116

2. 3 varones y 1 hembra: P(3)=4!3!(4−3)!116=4162. 3 varones y 1 hembra: P(3)=4!3!(4−3)!116=416

3. 2 varones y 2 hembras: P(2)=4!2!(4−2)!116=6163. 2 varones y 2 hembras: P(2)=4!2!(4−2)!116=616

4. 1 varón y 3 hembras: P(1)=4!2!(4−1)!116=4164. 1 varón y 3 hembras: P(1)=4!2!(4−1)!116=416

5. Ningún varón y 4 hembras: P(0)=4!0!(4−0)!116=1165. Ningún varón y 4 hembras: P(0)=4!0!(4−0)!116=116

El caso que nos ocupa es solamente el caso 3: 2 varones y 2 hembras. Por lo tanto, la probabilidad es de

P(2)=616=0,375P(2)=616=0,375

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