INTEGRALES

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INTEGRALES DOBLES 
La integral doble es integrar funciones de dos variables 𝑓(𝑥,𝑦) para lo 
cual se emplearán las mismas técnicas que se utilizaron en integrales 
simples, sin embargo, como se incluyen en este caso dos variables, 
se debe integrar 𝑓(𝑥,𝑦) manteniendo una variable fija e integrando 
respecto a la otra. 
 
INTEGRALES DOBLES ITERADAS 
Supongamos que 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠, 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑅=[𝑎,𝑏]∗[𝑐,𝑑] pensemos ahora en la 
siguiente integral ∫_𝑐^𝑑〖𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦. ¿𝑄𝑢𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎? 〗Esta 
anotación quiere decir que la variable x queda fija mientras 𝑓(𝑥,𝑦)𝑠𝑒 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑦, 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑦=𝐶 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑦=𝑑. 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 
𝑐∫_𝑐^𝑑〖𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 𝑛𝑜 〗da una expresión que depende de x. Si ahora 
integramos esta con respecto a x Desde x=a hasta x=b, obtenemos: 
 
 
 
Esta expresión se conoce como integral iterada (iterar significa 
repetir, volver a hacer un proceso: en este caso la iteración consiste 
en integrar una vez luego volver a integrar otra vez mas) en general 
la escribiremos: 
 
 
 
 
 
 
Donde queda indicando que primero integramos con respecto a y, 
desde c hasta d, luego con respecto a x desde a hasta b 
De manera similar, tenemos la integral iterada 
 
 
 
 
∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
 
OBSERVACION, EXPLICAR 
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
] 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
 
TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES DOBLES 
Si 𝑓: 𝑅 ⊂ ℝ2 → ℝ es una función continua en el rectángulo 𝑅 =
{(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}, entonces 
 
 
 
 
OBSERVACION, EXPLICAR EL TEOREMA 
En general el Teorema de Fubini se satisface aún bajo condiciones 
más débiles: basta con suponer que la función f está acotada en R, 
es discontinua solo en un numero finito de curvas suaves y existen 
las integrales iteradas. 
El Teorema de Fubini nos permite entonces calcular la integral doble 
sobre un rectángulo una función continua, mediante integrales 
iteradas, esto es, integrando con respecto a una variable a la vez y 
además en cualquier orden de integración 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
 
• PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES. 
1. Si la función 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅2 → 𝑅 es continua en la región cerrada 𝐷 , 
entonces 𝑓 es integrable en 𝐷 . 
2. Si la función 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅2 → 𝑅 es integrable en la región cerrada 
 𝐷 y 𝐾 𝜖 𝑅 entonces 𝐾𝑓 es integrable en 𝐷 y 
∬ 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 𝑘 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
3.Si las funciones 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅2 → 𝑅, son la integrable en la región 
cerrada 𝐷 , entonces 𝑓 ± 𝑦 es integrable en 𝐷, y 
∬(𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ± ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
4. Las funciones 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅2 → 𝑅, son integrales en la región cerrada 𝐷 y 
𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔 (𝑥, 𝑦), ∀ (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝐷 , entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas u observaciones de las integrales dobles: 
 
La integral doble sirve o se usa para calcular probabilidades 
cuando trabajamos con dos variables aleatorias. 
 
 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≥ ∬ 𝑔/(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
5. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀(𝑥, 𝑦) 𝜖 𝛺 𝑦 𝐷 ⊂ 𝛺 , entonces: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≤ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
6. Si la función 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅2 → 𝑅, es continua en la región cerrada 
entonces: 
[∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴] ≤ ∬⌊𝑓(𝑥, 𝑦)⌋𝑑𝐴 
7. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀(𝑥, 𝑦∀) ∈ ∩ 𝑦 𝐷 ⊂ ∩, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≤ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
8. Si 
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 ℝ 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐷, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠. 
[∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴] ≤ ∫ ∫|𝑓(𝑥, 𝑦)|𝑑𝐴 
En particular, si |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ 𝐾, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
[∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴] ≤ 𝐾, 𝐴(𝐷), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴(𝐷) = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝐷 
Observación: El símbolo dxdy NO indica producto de diferenciales. 
Solo indica que hay que integrar primero respecto de y, y luego (al 
resultado antes obtenido) integrar respecto de x. 
EJERCICIOS RESULTOS DE INTEGRALES DOBLES 
1) 
∫ ∫ (6𝑥2𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥
2
0
4
1
 
∫ ∫(6𝑥2𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥 
 𝑅 = [1,4] ∗ [0,2] 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2/1 ≤ 𝑥 ≤ 4,0 ≤ 𝑦 ≤ 2} 
 Calcular La integral de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6𝑥2𝑦 − 2𝑥, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑅 
= ∫ (∫ 6𝑥2𝑦𝑑𝑦 − ∫ 2𝑥𝑑𝑦)𝑑𝑥
2
0
2
0
4
1
 
∫ (6𝑥2 ∫ 𝑦𝑑𝑦 − 2𝑥 ∫ 𝑑𝑦)𝑑𝑥
2
0
2
0
4
1
 
∫ 𝑣𝑛𝑑𝑣 =
𝑣𝑛+1
𝑛 + 1
 
∫ (6𝑥2 (
𝑦2
2 |
2
0
)
4
1
− 2𝑥(𝑦| 2
0
))𝑑𝑥 = ∫ (6𝑥2 (
22
2
−
02
2
) − 2𝑥(2 − 0)) 𝑑𝑥
4
1
 
∫ (6𝑥2(2) − 2𝑥(2))𝑑𝑥 = ∫ (12𝑥2 − 4𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 12𝑥2𝑑𝑥 − ∫ 4𝑥𝑑𝑥
4
1
4
1
4
1
4
1
 
= 12 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 12 (
𝑥3
3 |
4
1
) − 4 (
𝑥2
2 |
4
1
) = 12 (
43
3
−
13
3
) − 4(
42
2
−
12
2
)
4
1
4
1
 
12 (
64
3
−
1
3
) − 4 (
16
2
−
1
2
) = 12 (
63
3
) − 4 (
15
2
) = 4(63) − 2(15) 
= 252 − 30 = 222 
 
 
 
 
R 
2) 
∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ (− ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)(−𝑑𝑦))𝑑𝑥 
𝜋/2
0
𝜋/2
0
𝜋/2
0
𝜋/2
0
 
𝑣 = 𝑥 − 𝑦 
𝑑𝑣 = −𝑑𝑦 
= ∫ −(− cos (𝑥 − 𝑦)|
𝜋
2
0
) 𝑑𝑥 = ∫ − (− cos (𝑥 −
𝜋
2
) + cos(𝑥 − 0)) 𝑑𝑥 
𝜋
2
0
𝜋
2
0
 
 
 
 
= ∫ −(−𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
 
 
cos (𝑥 −
𝜋
2
) 𝑠𝑒𝑛𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑣 
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥|
𝜋
2
0
− 𝑠𝑒𝑛𝑥|
𝜋
2
0
𝜋
2
0
𝜋
2
0
 
= − cos (
𝜋
2
) + cos(0) − 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) + 𝑠𝑒𝑛(0) = −0 + 1 − 1 + 0 
cos 0 = 1 
𝑠𝑒𝑛 0 = 0 
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 0 
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
= 1 
3) Calcular el volumen y representar gráficamente el sólido que está dado por la 
integral. 
∫ ∫ (4 − 𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (4𝑥 −
𝑥2
2
− 2𝑥𝑦)|
1
0
𝑑𝑦
1
0
1
0
1
0
 
= ∫ [(4(1) −
12
2
− 2(1)𝑦) − (4(0) −
02
2
− 2(0)𝑦] 𝑑𝑦
1
0
 
= ∫ [
7
2
− 2𝑦] 𝑑𝑦 = (
7
2
𝑦 − 𝑦2)|
1
0
= (
7
2
(1) − (1)2) − (
7
2
(0) − (0)2
1
0
=
5
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
∫ ∫ 𝑦2𝑑𝐴 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1, −𝑦 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦} 
= ∫ ∫ 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑦2. 𝑥|
𝑦
−𝑦 − 2
𝑑𝑦 = ∫ 𝑦2[𝑦 − (−𝑦 − 2)]𝑑𝑦
1
−1
1
−1
𝑦
−𝑦−2
1
−1
 
= 2 ∫ 𝑦3𝑑𝑦 + 2 ∫ 𝑦2𝑑𝑦 = 2(
𝑦4
4
)|
1
−1
+ 2(
𝑦3
3
)|
1
−1
1
−1
1
−1
 
= 2 (
(1)4
4
) − 2 (
(−1)4
4
) + 2 (
(−1)3
3
) − 2(
(−1)3
3
) 
= 2 (
1
4
) − 2 (
1
4
) + 2 (
1
3
) − 2 (−
1
3
) +
2
3
=
4
3
 
 
INTEGRALES TRIPLES. 
Para definir una integral triple para una función de tres variables, 
análogamente a integrales dobles, deberíamos pensar que nuestra región de 
integración se extendería a la forma [𝑎, 𝑏]𝑥[𝑐, 𝑑]𝑥[𝑒, 𝑔] ; es decir, ahora se 
tendría un paralelepípedo, una región de 𝑅2, la cual se le denota como 𝑄. 
Y su volumen seria ∆ 𝑉𝐼𝐽𝐾 = ∆𝑥𝑖∆𝑦𝑗∆𝑧𝑘 
Una función de tres variables 𝑊 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) definida en 𝑄 , para esta 
participación seria de la forma. 
 
 
𝑓(𝑥�̅�𝑦�̅�𝑧𝑘̅̅̅)∆𝑥𝑖∆𝑦𝐽∆𝑧𝑘 
Donde (𝑥�̅�𝑦�̅�𝑧𝑘̅̅̅) presenta un punto cualquiera de la 𝑖𝑗𝑘 −
é𝑠𝑖𝑚𝑎 participación. 
Para todo 𝑄, habría que considerar una cantidad infinita de particiones, es 
decir: 
lim
𝑛→𝛼
∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥�̅�, 𝑦�̅� , 𝑧𝑘̅̅̅)∆𝑥𝑖∆𝑦𝐽∆𝑍𝑘
𝑛
𝑖=1
𝑚
𝐽=1
𝑙
𝑘=1
 
 
INTEGRALES DOBLES ITERADAS 
Del mismo modo que para las integrales dobles, las integrales triples 
pueden expresarse en forma de integrales iteradas, lo que brinda un 
método practico para calcularlas: 
Teorema de Fubini para integrales triples: 
Si 𝑓: 𝐵 ⊂ ℝ3 → ℝ es una función continua en la caja 𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈
ℝ3: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 𝑠} 
∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑡
𝑠
 
Notas u observaciones de las integrales triples: 
La integral iterada del teorema de Fubini indica queintegramos primero 
con respecto a la variable x, desde a hasta b, (manteniendo fijas y y z), 
luego integramos la expresión que queda, con respecto a y, desde c hasta d, 
(manteniendo z fija), y por último integramos con respecto a z, desde s 
hasta t. 
Hay otros cinco posibles ´ordenes en los que podemos integrar, y todos 
dan el mismo valor. Por ejemplo, si integramos primero con respecto a z 
(desde s hasta t), luego con respecto a x (desde a hasta b) y finalmente con 
respecto a y (desde c hasta d), tenemos: 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ [∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥)𝑑𝑦
𝑡
𝑠
𝑏
𝑎
] 𝑑
𝑑
𝑐
𝑧 
 
 
TEOREMA DE FUBINI 
En general el Teorema de Fubini se cumple si suponemos que f esta 
acotada en B, es discontinua solo en un numero finito de superficies 
suaves, y existen las integrales iteradas. Así vemos que al igual que la 
integral doble, la integral triple puede calcularse integrando con respecto a 
una variable a la vez en cualquier orden de integración, lo que muchas 
veces es muy conveniente. 
• PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES. 
1. Si 𝑓, 𝑔: 𝑈 ⊂ 𝑅3 → 𝑅 son funciones integrales en el conjunto acotado 𝑈 
. Entonces se tiene 
∭ 𝑐𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 𝑐 ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉, 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒 
∭[𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ± 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ± ∭ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 
2. Si 𝑓 𝑦 𝑔 son funciones integrales en el conjunto acotado 𝑈, tal que 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧), ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜖 𝑈, entonces 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ≥ ∭ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 
3. Si 𝑓 es una función integrable sobre los conjuntos acotados 𝐴 𝑦 𝐵 con 
𝐴 𝑦 𝐵 = Ø , entonces 𝑓 es integral 𝐴 Ս 𝐵 y. 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 + ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 
EJERCICIO DE INTEGRAL TRIPLE: 
1) Integral triple 
 
∫ ∫ ∫ cos(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
 
∫ cos(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑥
𝜋
0
 
∫ cos(𝑢 + 𝑎) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑣 𝑑𝑣 
𝑣 = 𝑢 + 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝑣 
 
 𝑑𝑣 = 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢 + 𝑎) 
∫ cos(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑥 = ∫ cos (𝑥 + 𝑎)𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
 
= 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑎)|
𝜋
0
= 𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑎) − 𝑠𝑒𝑛(𝑎) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧) 
= ∫ {∫ [𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧)]𝑑𝑦
𝜋
0
} 𝑑𝑧
𝜋
0
 
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠 𝑢 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢 + 𝑎)𝑑𝑢 = −cos (𝑢 + 𝑎) 
∫ [𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧)]𝑑𝑦
𝜋
0
 
= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦 = −cos (𝑦 + 𝜋 + 𝑧) |
𝜋
0
− (− cos(𝑦 + 𝑧)) |
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
 
∫ [𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧)]𝑑𝑦
𝜋
0
= [− cos(𝑦 + 𝜋 + 𝑧) + cos (𝑦 + 𝑧)] |
𝜋
0
 
∫ [𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧)]𝑑𝑦
𝜋
0
 
= [− cos(2𝜋 + 𝑧) + cos (𝜋 + 𝑧)] − [− cos(𝑧 + 𝜋) + 𝑐𝑜𝑠(𝑧)] 
= − cos(𝑧 + 2𝜋) + cos(𝑧 + 𝜋) + cos(𝑧 + 𝜋) − cos (𝑧) 
∫ [𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧)]𝑑𝑦
𝜋
0
= − cos(𝑧 + 2𝜋) + 2 cos(𝑧 + 𝜋) − cos (𝑧) 
 
= ∫ {∫ [𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧)]𝑑𝑦
𝜋
0
} 𝑑𝑧
𝜋
0
 
∫ ∫ [−𝑐𝑜𝑠(𝑧 + 2𝜋) + 2 cos(𝑧 + 𝜋) − cos (𝑧)]𝑑𝑧
𝜋
0
𝜋
0
 
= [−𝑠𝑒𝑛(𝑧 + 2𝜋) + 2𝑠𝑒𝑛(𝑧 + 𝜋) − 𝑠𝑒𝑛(𝑧)] |
𝜋
0
 
𝑠𝑒𝑛(0) = 0 
 
 
 
𝒂 = 𝝅 + 𝒛 𝒂 = 𝒛 
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0, 𝑛 = ±1; ±2 … … … … … 
= [−𝑠𝑒𝑛(3𝜋) + 2𝑠𝑒𝑛(2𝜋) − 𝑠𝑒𝑛(𝜋)] − [−𝑠𝑒𝑛(2𝜋) + 2𝑠𝑒𝑛(𝜋) − 𝑠𝑒𝑛(0)]