DIFERENCIALES

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INTRODUCCIÓN 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN 
 
 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 
 
 TEOREMAS 
 
 DIFERENCIALES SUCESIVAS 
 
 APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que 
no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo 
real. 
Nikolái Ivánovich Lobachevski 
 
 
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
 8 
 Pág. 2 
 
INTRODUCCIÓN 
Casi tres siglos y medios aproximadamente han transcurrido desde la invención del cálculo de las derivadas y 
las integrales, y aún continúan controversias y comentarios sobre quién fue mejor matemático y científico, por 
supuesto: Isaac Newton o Gottfried Leibniz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ; 
Leipzig, actual Alemania, 1646 - 
Hannover, id., 1716 
 Filósofo y matemático alemán. . 
Las contribuciones de Leibniz en el 
campo del cálculo infinitesimal, 
efectuadas con independencia de los 
trabajos de Newton, así como en el 
ámbito del análisis combinatorio, fueron 
de enorme valor. Introdujo la notación 
actualmente utilizada en el cálculo 
diferencial e integral. Los trabajos que 
inició en su juventud, la búsqueda de un 
lenguaje perfecto que reformara toda 
la ciencia y permitiese convertir la 
lógica en un cálculo, acabaron por 
desempeñar un papel decisivo en la 
fundación de la moderna lógica 
simbólica. 
SIR ISAAC NEWTON 
4/01/1643 Woolsthorpe Manor, Reino 
Unido - 20 de marzo de 
1727, Kensington, Londres, Reino Unido 
Newton fue físico, matemático, 
astrónomo, alquimista y estudioso de las 
sagradas escrituras donde dedico la 
mayor parte de su tiempo. 
Por hablar del Newton matemático, solo 
el teorema general del binomio le haría 
ocupar un lugar entre los mejores 
matemáticos británicos; también un 
método de interpolación para 
aproximar raíces de polinomio de n 
grados y el método del paralelogramo. 
Newton desarrolló su cálculo de 
fluxiones diez años antes que Leibniz, y 
únicamente lo expuso en un tratado 
informal solo entre sus seguidores. Poco 
después, Newton se da cuenta sobre 
que el cálculo de las tangentes 
(fluxiones) es el mismo que el de áreas y 
volúmenes, solo que inverso. Había 
descubierto también el cálculo integral 
o como él llamaba antifluxiones. Esta 
relación inversa de derivadas e 
integrales es lo que se denomina 
el primer teorema fundamental del 
cálculo. 
https://www.google.com.ar/search?biw=1094&bih=487&q=woolsthorpe+manor&stick=H4sIAAAAAAAAAOPgE-LQz9U3MC62LFPiBLEMDbOSk7TEspOt9AtS8wtyUoFUUXF-nlVSflEeAI4rLv4vAAAA&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwjBhaGki8bUAhWElJAKHZ-9AMgQmxMImgEoATAU
https://www.google.com.ar/search?biw=1094&bih=487&q=woolsthorpe+manor&stick=H4sIAAAAAAAAAOPgE-LQz9U3MC62LFPiBLEMDbOSk7TEspOt9AtS8wtyUoFUUXF-nlVSflEeAI4rLv4vAAAA&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwjBhaGki8bUAhWElJAKHZ-9AMgQmxMImgEoATAU
https://www.google.com.ar/search?biw=1094&bih=487&q=Kensington&stick=H4sIAAAAAAAAAOPgE-LQz9U3MC62LFMCs9Isssy05LOTrfQLUvMLclL1U1KTUxOLU1PiC1KLivPzrFIyU1MAOsVQJjcAAAA&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwjBhaGki8bUAhWElJAKHZ-9AMgQmxMIngEoATAV
 Pág. 3 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 
9.1 DEFINICIÓN 
Sea f una función definida por la ecuación y = f(x) una función derivable en x y con x ≠ 0 
(incremento no nulo de la variable independiente). 
La diferencial de la función en x, denotada por dy o df(x) al producto de la derivada de la 
función por el incremento de la variable independiente. 
 
Δx . (x) ' f dy  (1) 
 
 
Otra forma de expresar la diferencial dy 
Sea la función identidad: y = x (a) 
Según definición, la diferencial es: dy = 1 . x (b) 
 
En (a) aplicamos diferencial en ambos miembros: 
 dy = dx (c) 
Comparando (b) y (c): 
dx = x 
 
Por lo tanto la diferencial de una función y = f(x) puede expresarse: 
 
dx . (x) ' f dy  (2) 
 
y la definición de DIFERENCIAL de UNA FUNCIÓN se expresa: 
 
“La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la 
variable independiente” 
 
De esta última expresión se desprende que si dx ≠ 0 es 
 
dx
dy
 (x)f' 
 
∴ la derivada f´(x) puede ser considerada como la razón de la diferencial de la función respecto 
a la diferencial de la variable independiente. 
 
 
Obtenga la diferencial de la función definida por: 4)2(x senf(x)  
dx 4)(x cos2x dy 
 
2 



 



 
dx 2x (x cos dy
 dx4)(x senyd
2
2
).4
'
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1 
 Pág. 4 
 
 Pág. 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La derivada de la función f, mide la tangente trigonométrica del ángulo que forma 
la recta tangente a f en P con el semieje positivo de las x 
PN
MN
tgxf  )(' (1) 
donde xPN  
Con lo que la expresión (1) queda: x . xfMN 
x
MN
xf 

 )(')(' (2) 
El segundo miembro de (2) es, según la definición dada en 9.2, la diferencial de la función, 
dyx . xfMN  )(' 
Luego MN es la diferencial de la función. 
 
La diferencial de una función, dy, representa el incremento de la ordenada de la 
recta tangente, correspondiente a un incremento de la variable 
independiente. 
 
Consideremos otros casos: 
9.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN 
 
Consideremos la representación gráfica de la función y= f(x) 
 
 Pág. 6 
 
Se observa en esta gráfica que: y dy  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad para el estudiante 
Considere la gráfica de la función constante y = K . Representa los segmentos correspondientes a 
y , dy y concluye. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.3 APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL AL CÁLCULO DE VALORES APROXIMADOS 
9.3.1 INTRODUCCIÓN 
 Pág. 7 
 
 
Cuando se desea determinar el valor aproximado de determinadas operaciones, como por 
ejemplo 
303,2 ; 7,25 ; 01,4 ; 1,004 log ; )(30,05 sen  ; … 
se puede usar el concepto de diferencial. 
 
9.3.2 EXPRESIÓN 
La expresión que se emplea para cálculo de valores aproximados es: 
  x (x)f' f(x) xxf  o   dy f(x) xxf  
Demostración 
La función derivada de la función y = f(x) es: 
 
x
xfxxf
 xf
x 



)(
lim)('
0
 
Si eliminamos el límite: 
 
x
xfxxf
 xf



)(
)(' 
 
  )().(' xfxxf xx f  
Despejando: 
 
  (x). Δx' f f(x) Δxxf  (1) 
 
 
Para un valor x0: 
   Δx)( ' ff Δx)f( 0x0x0x  (2) 
 
 
 
Determine, aplicando diferenciales, el valor aproximado de 
7,25 
1°) Ubicamos el valor a determinar entre valores de resultados conocidos: 
 5 32,7525 
O sea que el valor a determinar puede expresarse de la siguiente forma: 
7,027,2 55  o bien 3,037,2 55  
Se elige la forma que producirá menor error, en este caso la segunda forma. 
3,0357,25  
Ejercicio 2 
 Pág. 8 
 
donde 0,3 -x y x  30 
 
2°) Se expresa la función correspondiente a la operación dada: 
En este caso 
xxf 5)(  
 
3°) Se determina la derivada de f y se particularizan ambas para el valor x0 
1255)3()( 30  fxf 
ln5 125.ln5 .fxf ln5 .xf x  30 5)3(')('5)(' 
4°) Se sustituye en la expresión (9) 
64,655
5


 2,7 
(-0,3) . ln5 125. 125 2,7 
 
OBSERVACIÓN 
Si se hubiese trabajado con 
7,027,2 55 donde 7,20 0x y x  se tendría: 
255)2()( 20  fxf 
ln5 25.ln5 .fxf ln5 .xf x  20 5)2(')('5)(' 
53,165
5


 2,7 
0,7 . ln5 25. 25 2,7 
 
Si se determina con calculadora: 77,135  2,7 
Como puede comprobarse el valor más cercano es cuando se considera: 
3,0357,25  
A pesar que esta forma de calcular valores aproximados perdió vigencia con el uso de 
calculadoras es interesante conocer las aplicaciones de la derivada en situaciones cotidianas. 
 Pág. 9 
 
 
Para un determinado experimento, en el laboratorio de 
materiales, se fabricó una probeta cúbica de hormigón de 20cm 
de arista cuando en realidad debería haberse realizado de 
20,4cm. 
Determine aplicando diferenciales la variación de volumen que 
experimenta la probeta cuando se modificó la medida de la 
arista. 
 
Desarrollo 
La variación de volumen es V donde 
  )(xVxxVV  
 
 
 
 
Que de acuerdo a la expresión (9) 
  x  )0(x' f )0f(x Δx0xf 
es: 
  x 

 )0(x' f 
V
)0f(x - Δx0xf   
 
 
x  )0(x' V V 
en el problema dado x0 = 20cm y x = 0,4 
La función es: 
 3xV  
Y la derivada particularizada: 
1200)20(') 

2
0
2
20 3.V(xV' 
x 3(x)V'
 
 
Por tanto, la variación de volumen es: 
3cm 480 V 
0,4 . 200 V 

 1
 
 
 
Ejercicio 3 
 Pág. 10 
 
9.4 TEOREMAS 
9.4.1 DIFERENCIAL DE LA SUMA ALGEBRAICA DE FUNCIONES 
La diferencial de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las 
diferenciales de dichas funciones. 
  dg(x) df(x) g(x)f(x) d  (1) 
Demostración 
Sea g(x) f(x) y  
Según definición de diferencial de una función: 
     
) 
dx (x)g' dx (x)f' 
dx (x)g' (x)f' dx 'g(x) f(x) g(x)f(x) d dy
dg(x df(x) 


 
 
 
Sea 
x2 2 - x senxy  determine la diferencial dy 
 
dxln2 2 -x cos 2x dx ln2 xdxxdxdy xx 



 










2cos2
2dsenxdxd dy
2 - x senxy
x2
x2
 
9.4.2 DIFERENCIAL DEL PRODUCTO DE FUNCIONES 
La diferencial del producto de funciones es igual a la diferencial de la función f, por la función g 
más el producto de la función f por la diferencial de la función g. 
  (x) g(x) f(x) d dg . f(x) g(x) . df(x) . (2) 
Demostración 
Sea g(x) f(x) y . 
Según definición de diferencial de una función: 
     
) 
dx (x)g' . f(x) dx (x)f' )( 
dx (x)g' . f(x) g(x) . (x)f' dx 'g(x) . f(x) g(x) .f(x) d dy
dg(x . f(x) df(x) . g(x) 


. xg 
Ejercicio 4 
 Pág. 11 
 
9.4.3 DIFERENCIAL DEL COCIENTE DE FUNCIONES 
La diferencial del cociente de funciones es igual a la diferencial de la función f, por la función g 
menos el producto de la función f por la diferencial de la función g, todo sobre el cuadrado de la 
función g. 
 2g(x)
(x) 
 
g(x)
f(x)
 d
dg . f(x) g(x) . df(x) 






 con g(x) ≠ 0 (3) 
 
Demostración (por parte del estudiante) 
………………………………………………………………………………………………………………………….. 
………………………………………………………………………………………………………………………….. 
………………………………………………………………………………………………………………………….. 
………………………………………………………………………………………………………………………….. 
………………………………………………………………………………………………………………………….. 
………………………………………………………………………………………………………………………….. 
………………………………………………………………………………………………………………………….. 
………………………………………………………………………………………………………………………….. 
 
 
Sea 
senx
2x
y  determine la diferencial dy 
 
 
 
   
   
dx 
senx
x cos x x sen x
senx
xdxx x sen xdx
dy
senx
x x sen . 2.







 









2
2
2
2
2
2
.2cos.2
senxdxd
 dy
 
 
 
 
 
Ejercicio 5 
 Pág. 12 
 
9.5 DIFERENCIALES SUCESIVAS 
Sea la función y = f(x) , la diferencial de la función está dada por: dy = f’(x) dx 
La diferencial de la diferencial de la función denotada por: 
  2dx xfdy dyd )(''2  (1) 
Se denomina “Diferencial de segundo orden de la función” 
 
Demostración 
Sea 
f(x) y  
Según definición, la diferencial de la función es dx (x)f' dy  
Análogamente, la diferencial de la diferencial obtenida en el paso anterior será: 
  dx dx (x)f' (dy) d ' 
Que también se expresa: 
22 dx (x) 'f' yd  
 
 
La Diferencial de 3er orden de la función es: 
 
33 dx (x)' 'f' yd  
 
Generaliza: 
 
........................................... ydn . (2) 
 
 
Ejemplo 
Sea (2x) seny determine la d4y 
...........................................................
............................................................
............................................................
)2cos(.2
4
3




yd
yd
yd
dx xyd
2