F-Trigonometria

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Departamento de Matemáticas 
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TRIGONOMETRÍA 
 
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un ángulo agudo  son las 
distintas razones (cocientes) que hay entre los lados. 
 
Cateto contiguo
C
ateto opuesto
Hi
po
ten
usa
c
ba

Razones trigonométricas fundamentales 
 
cateto opuesto
sen 
hipotenusa
cateto contiguo
cos
hipotenusa
b
a
c
a


 
 
 
 
Otras razones trigonométricas 
 
cateto opuesto sen
tg 
cateto contiguo cos
hipotenusa 1
cosec 
cateto opuesto sen 
hipotenusa 1
sec
cateto contiguo cos
cateto contiguo 1
cotg 
cateto opuesto tg
b
c
a
b
a
c
c
b








  
  
  
  
 
 
En un sistema de ejes coordenados consideremos una 
circunferencia de radio unidad y un ángulo  que 
tenga uno de sus lados sobre el eje OX. Entonces, a 
dicho ángulo  se le puede asociar de manera única 
un punto, sobre la circunferencia, de coordenadas 
 ,x y de manera que 
   , cos ,senx y   
 
La circunferencia anterior se llama circunferencia goniométrica. 
 
Dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el ángulo, los signos de las razones 
trigonométricas fundamentales son: 
 
 
Reducción de ángulos al primer cuadrante 
Sea  el ángulo del primer cuadrante relacionado, en cada caso, con el ángulo  . 
 Si  es un ángulo del segundo cuadrante, entonces 
x
y
   , cos ,senx y  

cos
sen
1
 
Formularios: Trigonometría 
2
 sen sen cos cos     
 Si  es un ángulo del tercer cuadrante, entonces 
 sen sen cos cos       
 Si  es un ángulo del cuarto cuadrante, entonces 
 sen sen cos cos      
 
Ángulos mayores de 360º 
Si  es un ángulo mayor de 360º, entonces y   , donde  0º ,360º es el resto de 
dividir  entre 360º, tienen las mismas razones trigonométricas. 
 
Razones trigonométricas de algunos ángulos 
 
 0º 30º 45º 60º 90º 
sen 0 
1
2
 2
2
 
3
2
 1 
cos 1 
3
2
 
2
2
 
1
2
 0 
 
Relaciones entre razones trigonométricas 
 
2 21 cotg cosec   2 21 tg sec  
2 2sen cos 1  
2: sen  2: cos 
Relación fundamental
(teorema de Pitágoras)
 
 
Reducción de las razones trigonométricas 
 
(i) Ángulos complementarios:  y 90º  
 
 
sen 90º cos
cos 90º sen 
 
 
 
 
 
 
(ii) Ángulos suplementarios:  y 180º  
 
 
sen 180º sen 
cos 180º cos
 
 
 
  
 
 
(iii) Ángulos que difieren en 180º:  y 180º  
 
 
sen 180º sen 
cos 180º cos
 
 
  
  
 
 
Departamento de Matemáticas 
3
(iv) Ángulos opuestos  y  o que suman 360º:  y 360º  
   
   
sen sen 360º sen 
cos cos 360º cos
  
  
    
   
 
 
Otras relaciones 
 
(i) Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos 
 
 
 
sen sen cos cos sen 
cos cos cos sen sen 
tg tg 
tg 
1 tg tg 
     
     
  
 
  
 

 

 
(ii) Razones trigonométricas del ángulo doble 
 
   2 2 2
sen 2 2 sen cos 2 tg 
 tg 2
cos 2 cos sen 1 tg
   
   


  
 
(iii) Razones trigonométricas del ángulo mitad 
1 cos
sen 
2 2 1 cos
 tg 
2 1 cos1 cos
cos 
2 2
 
 
 
                 
 
 
 El signo + o – depende del cuadrante en el que se sitúe 
2

. 
 
Transformaciones 
 
sen sen 2sen cos
2 2
              
   
 
 
sen sen 2sen cos
2 2
              
   
 
 
cos cos 2cos cos
2 2
              
   
 
 
cos cos 2sen sen
2 2
               
   
 
 
   1sen cos sen sen
2
            
 
 
Formularios: Trigonometría 
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   1cos cos sen sen
2
            
 
   1cos cos cos cos
2
            
 
   1sen sen cos cos
2
            