SINTITUL-3

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TRILCE
33
Definición :
Dos segmentos, dos ángulos o dos figuras
geométricas en general, serán congruentes si tiene la misma
forma y el mismo tamaño. Para la congruencia de dos
triángulos, se postulan los siguientes casos :
Postulado (LAL)



Postulado (ALA)


 
Postulado (LLL)

Postulado (LLA)
 

Capítulo
CONGRUENCIA DE
 TRIÁNGULOS3
Propiedad de la Bisectriz
O
F
E
H

OHOF
EHEF


Propiedad de la Mediatriz
A
P
B
b b
PA = PB
El  APB es isósceles.
Teorema de la Base Media
B
A C
NM
MN : base media
MN // AC
2
AC
MN 
c a
c a
34
Geometría
Teorema de la Menor Mediana en el Triángulo
Rectángulo
B
A C
M
2
AC
BM 
b
b b
En el Triángulo Isósceles
*
B
A C
E
G
H
F
Si : AB = BC
AH = EF + EG
*
B
A
S
C P
H
Q
Si : AB = BC
CH = PQ - PS
TRIÁNGULOS NOTABLES
* De 30° y 60°
60º
30º
2a
a
3a
* De 45° y 45°
b
2b
45º
45º
b
* De 37° y 53°
53º
37º
3k
5k
4k
* De 
2
53
53º/2
n
2n
* De 
2
37
37º/2
l
l3
* De 15° y 75°
15º75º
h
a
4
a
h 
* De 30° y 75°
30º75º
h
b
2
b
h 
TRILCE
35
01. En el gráfico, calcule AB, si : BC = 15 u.
B
A C
45º 37º
02. En el gráfico, calcule "x".
x
10 u
45º
37º
03. En el gráfico, ED = 12u. Calcule AC.
B
A
C
E
D
30º 15º
04. En el gráfico, calcule "xº". 2BP = PC.
B
A C


P
x
05. En el gráfico, PM es mediatriz de AC . Calcule AB.
Si : PC = 8 m.
M
B
A C

2 P
06. En un triángulo ABC, se ubican los puntos medios M y
N de AB y BC respectivamente. El segmento que une
los puntos medios de MC y NA mide 2u. Calcule AC.
Test de aprendizaje preliminar
36
Geometría
07. En el gráfico, calcule QN, si :
AC = 10 u y MQ = 4u , AM = MB, BN = NC.
B
A C
M N
Q
08. En el gráfico, calcule PH, si : BH = 36 u.
(AP = PM) y (BM = MC).
A
B
H
C
M
P
09. Calcule "xº".
x
5 u
6 u
5 u
º
10. En el gráfico, calcule PQ, si :
AB = 6 u y AC = 8 u, BQ = QC.
B
A C
Q


P
 Practiquemos :
11. En el gráfico : AC = 16 m. Calcule AP. (AB = PC).
B
CA
P


2
5
12. En el gráfico : AB = BC, BM = 1 u, calcule AD.
45º
B
C
DA
M
TRILCE
37
13. En el gráfico, calcule : "xº", si los triángulos ABR y PBC
son equiláteros.
B
CA
R
xP
14. En el gráfico, calcule el perímetro del triángulo.
12
 m
10 m
60º
15. En el gráfico, calcule MN, si :
AH = 5 u, BH = 12 u.

A
B
H
C

NM
16. En un triángulo ABC, la medida del ) ABC es igual a
128°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en
los puntos R y S, respectivamente. Luego, la suma de
las medidas de los ángulos ABR y SBC es :
17. En el gráfico, BM = MC. Calcule "xº".
A
CB
M
30º 15º
x
18. En el gráfico, calcule "xº". BP = PC y AM = MP.
B
A C


P
x
Q
M
18 u
19. En el gráfico : AH = 2 u y HC = 8 u. Calcule AB.
2 A
B
H
C
38
Geometría
20. En el gráfico, AM y CN son bisectrices exteriores del
A y C, AB = 6 u, BC = 12 u, AC = 16 u. Calcule MN.
A C
M N
B
 Problemas propuestos
21. Calcule BD, si : CD = 8 u.
 
A
B
C
D
a) 8 u b) 4 u c) 16 u
d) 2 u e) 12 u
22. En el gráfico, AM = MC. Calcule 
3
º
.
2 45º
B
CA
M
a) 10° b) 12° c) 5°
d) 15° e) 18°
23. En el gráfico, BC = 18 u, AC = 6 u y "M" es el punto
medio de AB. Calcule MQ.


Q
B
M
A
C
a) 10 u b) 12 u c) 13 u
d) 14 u e) 15 u
24. En el gráfico, calcule BC, si : HM = 6 u.

A
B
H
C
M
a) 9 u b) 12 u c) 15 u
d) 18 u e) 24 u
25. En el gráfico, AB = BC. Calcule QC, si :
AQ = 8 u; PC = 2 u.




A
B Q
C
P
a) 4 u b) 8 u c) 3 u
d) 6 u e) 12 u
26. En el gráfico, calcule la m ) ABM. Si : AM = MC.
 
A
B
C
53º
2
37º
2
M
a) 37° b) 53° c) 45°
d) 60° e) 90°
TRILCE
39
27. Sea ABC un triángulo escaleno. La mediatriz de BC
corta a AC en "F" y se cumple que:
AB = AF = FC. Calcule la m ) ACB.
a) 53° b) 15° c) 30°
d) 37° e) 60°
28. En el gráfico, calcule "xº", si : BC = MC.
x

M
B
A C
 
2
º
a) 20° b) 25° c) 30°
d) 45° e) 37°
29. En el gráfico, calcule "º" .
30º

20º
70º
10º º
a) 9° b) 10° c) 15°
d) 22,5° e) 30°
30. Se ubica un punto P en el interior de un triángulo ABC,
tal que : AP = AB = BC, si :
m ) ACP = 30°, m ) CAP = 10°. Calcule la m ) BAP..
a) 20° b) 40° c) 30°
d) 10° e) 15°
31. En el gráfico, calcule : "xº", si : AD = DC.
A
B
C
D
45º
xº
xº
a) 15° b) 20° c) 25°
d) 30° e) 35°
32. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC.
A
B
C
D
30º105º
xº
a) 10° b) 12° c) 15°
d) 20° e) 30°
33. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = AD + DC.
xº 2xº
xº
B
A C
D
a) 10° b) 12° c) 15°
d) 18° e) 36°
34. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD , tal que :
CDAB  y D está en el lado AC . Además :
m ) ABD = 60° y m ) BAC = 20°. Calcule la m ) BCA.
a) 15° b) 30° c) 25°
d) 22° 30' e) 20°
35. En el gráfico, calcule AE.
Si : BC = 36 u y EC = 24 u. AB = AC.


2 
B E
A C
a) 61 u b) 62 u c) 64 u
d) 66 u e) 60 u
36. En el gráfico, AT = 5 u, BC = 10 u.
Si : AM = MC. Calcule TB.
 
B
C
L
T
MA
40
Geometría
a) 11 u b) 12 u c) 13 u
d) 14 u e) 15 u
37. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule : "xº".
xº
A
B C2xº
D
a) 9° b) 12° c) 18° 30'
d) 14° e) 21° 30'
38. En el gráfico, calcule : "º" . AB = PQ y AQ = QC.
º
6º
2º
B
P
A C
Q
a) 10° b) 18° c) 20°
d) 30° e) 15°
39. En el gráfico, ABC es un triángulo isósceles (AB = BC).
AC//PQ ; PE = 3u; PF = 5u y NQ = 7 u. Calcule QD.
B
D
E
P
F
Q
A C
N
a) 12 u b) 13 u c) 14 u
d) 15 u e) 16 u
40. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule "x".
A
B
CD
x
90º-2x
2x
a) 8° b) 10° c) 12°
d) 15° e) 18°
41. En el gráfico, calcule : "xº". Si : AB = BC.
2xº
xº
90+2xº
B
A C
a) 22° 30' b) 20° 30' c) 18° 20'
d) 18° 30' e) 20° 18'
42. En el gráfico mostrado : DE = 18 u, FC = 24 u,
GC = 16 u. Calcule MN, si : M y N puntos medios de
EF y DG , respectivamente.
B
E FM
D
N
A
G
C53º
a) 16 u b) 15 u c) 12 u
d) 17 u e) 18 u
43. En el gráfico, calcule "xº".
Si : AB = BR = MC y AM = MC.
2xº
xº
B
R
CA
M
a) 5° b) 10° c) 12°
d) 15° e) 18°
44. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC.
A
B
C
D
2xº
xº30º
a) 30° b) 10° c) 15°
d) 18° e) 20°
TRILCE
41
45. En el gráfico, calcule "xº".
Si : BP = AC y AD = DP.

xº

2
B
C
D
A
P
a) 90° b) 60° c) 45°
d) 120° e) 150°
46. En el gráfico, calcule "º" .
º
º
º 3º2º
a) 8° b) 10° c) 15°
d) 18° e) 20°
47. En el gráfico, calcule "º" .
3º 5º
2º
5º
3º
a) 9° b) 12° c) 10°
d) 15° e) 18°
48. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = CD.
xº
xº
30º
B
CA
D
a) 9° b) 10° c) 12°
d) 15° e) 18°
49. En el gráfico mostrado, AB = CD.
Calcule " º ".
A
B
C
D
90º-
º4º
º
a) 10° b) 12° c) 15°
d) 20° e) 25°
50. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BF , si :
AB = FC, m ) BAC = 30°, m ) FBC = 45°.
Calcule m ) BCA.
a) 12º b) 15º c) 20º
d) 30º e) 22º 30'
51. En el gráfico mostrado, calcule "xº".
10º100º
10º
20º
xº
a) 5° b) 8° c) 10°
d) 12° e) 15°
52. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = BC.
2xº3xº
6xº
A
B
CD
a) 10° b) 12° c) 20°
d) 15° e) 18°
53. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = BC.
A
B
CD
30º-xº
30º+x 30º
a) 12° b) 15° c) 10°
d) 18° e) 20°
42
Geometría
54. En el gráfico : BC = AD, calcule "º" .
2º
º
2º
3º
B
C
A D
a) 10° b) 12° c) 15°
d) 18° e) 20°
55. En el gráfico, calcule "x", si : AB = DC.
A
B
C
D
2x
60º+x
x
a) 10° b) 15° c) 20°
d) 45°/2 e) 15°/2
56. En el gráfico, calcule "xº". Si : AQ = QC = BC.
2xº
xº
B
A C
Q
a) 10° b) 15° c) 18°
d) 30° e) 22° 30'
57. Si : M, N y P puntos medios de BC , AB y AC
respectivamente. Calcule "xº", si además :
BE = 2u y BD = 4u.
xº
2
 2

C
A
PM
E
D
B N
a) 30° b) 35° c) 31°
d) 36° e) 37°
58. Calcule "xº", en función de : "" .
Si : AM = MC.
2
2
30º
45
º+

x
B
A C
M
a) 2 b)  c)  15
c)  30 e) 60
59. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = DC.
A
B
C
D
xº
18º48º
a) 10° b) 12° c) 15°
d) 18° e) 20°
60. En el gráfico, calcule : "xº", si : AD = BC.
A
B
C
D
30º
xº
12º
a) 5° b) 6° c) 9°
d) 10° e) 12°
TRILCE
43
Claves Claves 
21.
22.
23.
24.25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
a
c
b
b
d
e
c
c
b
b
d
e
e
e
e
e
c
e
d
b
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
a
d
b
c
b
c
c
e
d
e
c
d
b
c
d
d
c
c
b
b
44
Geometría