Clase N 18 Aplicaciones en integrales dobles

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Clase Nº 18: Aplicaciones de las Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 18: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 
 
 
Si bien es cierto que las integrales dobles se aplican para tratar múltiples problemas en las 
distintas áreas del conocimiento, como la Economía, la Estadística, la Ecología, etc., en esta 
oportunidad, por la necesidad de acotar este trabajo a los objetivos planteados y obviamente porque 
nos interesan las ciencias ligadas a la ingeniería, centraremos la atención, aunque no 
exhaustivamente, en solo dos campos de usos de las integrales dobles: las aplicaciones geométricas 
y las aplicaciones físicas. 
1. APLICACIONES GEOMÉTRICAS 
1.1. Cálculo de Volúmenes 
En el apartado 2.2., de la clase número 13, hemos definido integral doble en forma general 
diciendo que: si f es una función de dos variables definida en una región cerrada y acotada R ϵ R2, 
entonces la integral doble de f sobre R se denota con ∫∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴! y se define como: 
 
lim
‖#‖→%
-𝑓(𝜉& , 𝜂&)Δ𝐴& =
'
&()
2𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
!
, 
si el límite existe. 
 Dicho en otras palabras la integral doble es el límite de la suma de Riemann dada por; 
𝑓(𝜉), 𝜂))Δ𝐴) + 	𝑓(𝜉*, 𝜂*)Δ𝐴*+	.				.				. +	𝑓(𝜉', 𝜂')Δ𝐴' =	∑ 𝑓(𝜉& , 𝜂&)Δ𝐴&'&() , 
 
cuando la norma ‖𝑃‖, de la partición de R tiende a cero. 
 Ahora le damos una interpretación geométrica a cada uno de los elementos intervinientes en 
esta definición, para lo cual vamos a considerar que la función 
z = f(x,y), definida en una región cerrada y acotada R, es no negativa para todo 
(x, y) ϵ R. Entonces estamos en condiciones de considerar el sólido S como el cilindro recto cuyos 
elementos son paralelos al eje z y su generatriz son las curvas fronteras de R, limitado superiormente 
por la gráfica de z = f(x, y) e inferiormente por el plano xy. 
 Simplificadamente llamamos S al sólido bajo la gráfica de z = f(x y) sobre la región R. Bajo estas 
condiciones tendremos que: 
a) Los Δ𝐴&, con i = 1, 2, . . ., n, son las áreas de cada uno de los n rectángulos de la partición 
interna P de la región R. 
b) 𝑓(𝜉& , 𝜂&), son las cotas de la función correspondiente a cada punto (𝜉& , 𝜂&) perteneciente al i-
ésimo rectángulo de la partición, con área Δ𝐴&, todo esto para i = 1, 2, . . ., n 
c) Entonces, geométricamente, cada sumando de la suma de Riemann, 𝑓(𝜉& , 𝜂&)Δ𝐴& , para, 
 i = 1, 2, . . ., n, se puede considerar como el volumen de cada uno de los n paralelepípedos 
rectangulares cuya base, que pertenece al plano xy, tiene área Δ𝐴& y altura 𝑓(𝜉& , 𝜂&), para, 
 i =1, 2, . . ., n. 
 
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d) Bajo las condiciones indicadas, geométricamente, la suma de Riemann, ∑ 𝑓(𝜉& , 𝜂&)Δ𝐴&'&() 
estará dando el volumen aproximado del sólido S determinado de la manera que acabamos 
de indicar. 
e) Se comprende que cuando la norma ‖𝑃‖ de la partición de R se haga menor la suma de 
Riemann aproximará mas al volumen de S. 
f) Evidentemente el lim
‖#‖→%
∑ 𝑓(𝜉& , 𝜂&)Δ𝐴&'&() , que definimos como la integral doble de f(x, y), será 
exactamente el volumen del sólido S, si el límite existe. En consecuencia, geométricamente, 
tendremos que la integral doble nos dará el volumen del sólido S. 
𝑉	 = 	∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴! ; si f(x,y) ≥ 0 
 Se debe tener en cuenta que al momento de resolver esta integral doble se aplicaran las 
técnicas de cálculo que hemos estado usando hasta ahora, que también incluye, si se consideran 
necesarios, los cambios de variables estudiados en la unidad 4. 
Ejemplo: 
 Calcular el volumen del tetraedro limitado por el plano x + y + z = 1 y los planos 
coordenados. 
Solución: Según el gráfico que damos a continuación, para este ejemplo particular la función z = f(x, 
y), de nuestro desarrollo teórico, será; z = 1- x – y, y la región de integración R es el triángulo aob, en 
el plano xy, que se puede considerar una región del tipo T1. 
 
 z 
 
 1 
 
 
 
 z = 1– x- y 
 
 
 o 
 
 1 R 1 
 X y = 1- x Y 
 
 
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𝑉 = ; ; (1 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦	𝑑𝑥
)+,
%
)
%
 
 
𝑉 = 	; [(1 − 𝑥) − 	𝑥(1 − 𝑥) −
(1 − 𝑥)*
2
)
%
]	𝑑𝑥	 
 
𝑉 = 	
1
6 
 
1.2. Calculo de Áreas 
Recordemos que en el apartado 2.2., de la clase número 13, tras analizar los elementos 
intervinientes en una integral doble, como ser, región cerrada y acotada R perteneciente al dominio 
de una función z = f(x, y), la partición P de R en n rectángulos de área ∆A y norma ‖𝑃‖. Hemos 
acordado que la integral doble de la función f sobre la región R, se define como el límite de la suma 
de Riemann dada por; 
𝑓(𝜉), 𝜂))Δ𝐴) + 	𝑓(𝜉*, 𝜂*)Δ𝐴*+	.				.				. +	𝑓(𝜉', 𝜂')Δ𝐴' =	-𝑓(𝜉& , 𝜂&)Δ𝐴&
'
&()
 
cuando la norma ‖𝑃‖, de la partición de R tiende a cero. También, en el apartado anterior, dimos una 
interpretación geométrica a cada uno de los elementos intervinientes en esta definición. En esta 
oportunidad vamos a considerar que la función f(x, y) = 1 y está definida en una región cerrada y 
acotada R ϵ R2. Entonces, 
a) Sabemos que los Δ𝐴&, con i = 1, 2, . . ., n, son las áreas de cada uno de los n rectángulos de la 
partición interna P de la región R. 
b) Las 𝑓(𝜉& , 𝜂&) = 1, son las cotas de la función correspondiente a cada punto (𝜉& , 𝜂&) 
perteneciente al i-ésimo rectángulo de la partición, con área Δ𝐴&, todo esto para i = 1, 2, . . 
., n. Entonces la suma de Riemann para este caso particular será: 
1. Δ𝐴) + 	1. Δ𝐴*+	.				.				. +	1. Δ𝐴' =	-1. Δ𝐴&
'
&()
 
c) Geométricamente, cada sumando de este caso particular de la suma de Riemann, 1. Δ𝐴& , para 
i = 1, 2, . . ., n, se puede considerar como la superficie de cada uno de los rectángulos en 
que fue particionada la región R, en un total de acuerdo a lo expresado en el punto a). 
d) Bajo las condiciones indicadas, geométricamente, para este caso específico, la suma de 
Riemann, ∑ 1. Δ𝐴&'&() estará dando el área aproximada de la región R. 
e) Se comprende que cuando la norma ‖𝑃‖ de la partición de R se haga menor esta suma de 
Riemann aproximará mas al área de R. 
f) Evidentemente el lim
‖#‖→%
∑ 1. Δ𝐴&'&() , que obviamente define la integral doble de f(x, y) = 1, 
será el exactamente el área de R. 
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Por todo lo expresado, geométricamente, la integral doble para el caso particular que el 
integrando f(x, y) = 1, es el área AR de la región de integración R. En consecuencia: 
𝐴! 	= 	2𝑑𝐴
!
 
 Tal como lo expresamos en el apartado anterior, se debe tener en cuenta que al momento de 
resolver esta integral doble particular se aplicaran las técnicas de cálculo que hemos estado usando 
hasta ahora, que también incluye, sise considera necesarios, los cambios de variables estudiados en 
la unidad 15. 
Ejemplo: 
 Usando integrales dobles, calcular el área comprendida entre y ≤ 2 – x2 y y≥ x2, solo en el primer 
cuadrante. 
Solución: A continuación identificamos gráficamente el problema planteado. 
 
 y 
 2 
 y = 2 – x2 
 
 
 y = x2 
 1 
 
 
 
 
 0 1 x 
 
 
𝐴! =	2 𝑑𝐴 =	; ; 𝑑𝑦	𝑑𝑥
*+,!
,!
)
%!
 
 
𝐴! =	; (2 − 𝑥* − 𝑥*)𝑑𝑥				
)
%
 
𝐴! = 	2; (1 − 𝑥*)𝑑𝑥				
)
%
 
𝐴! =	
4
3 
 
2. APLICACIONES FÍSICAS 
2.1. Masa y Peso de una Lámina Plana de Densidad Variable 
En ingeniería civil las láminas planas son elementos estructurales cuya característica principal 
es que dos de sus dimensiones son muy superiores a la tercera. Si consideramos que su espesor es 
pequeño comparado con las otras dos longitudes de la lámina entonces, matemáticamente, esta se 
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puede aproximar por una superficie bidimensional. De esta manera, teóricamente, al cuerpo se lo 
reduce a una superficie plana de dos dimensiones, lo que permite simplificar el cálculo de láminas 
reales a elementos idealizados bidimensionales. 
Entonces la densidad de una lámina plana, que en un sólido es la medida de la masa por unidad de 
volumen, como gr/cmᶟ, se considera como la masa por unidad de área, por ejemplo gr/cm2 y esta se denomina 
densidad superficial. 
De aquí en más, cuando consideremos una lámina plana R, esto significará que proponemos un elemento físico 
idealizados de dos dimensiones, según se muestra en la siguiente figura. 
 
 
 y 
 
 d ∆M 
 y 
 RR R ∆A 
 
 
 0 X X 
 
 
Si una lámina plana tiene una densidad superficial que varía punto a punto según los valores 
que toma la función δ = δ(x, y). 
Por ser, δ(x, y) = 	lim
∆.→%
∆/
∆.
 , 
entonces, δ(x, y) =		12
13
, 
dM = δ(x, y) dA, 
con lo que se obtiene, por la interpretación física de este caso particular de la suma de Riemann, 
que la masa total de la lámina plana es; 
𝑀 =2δ(x, y)dA
!
				 
 Para el cálculo del peso P de esta lámina plana, basta recordar que el peso específico ρ, es 
igual a la densidad δ por la aceleración de la gravedad g. De esta manera; 
ρ (x, y) = g δ(x, y), 
con lo que concluimos que; 
𝑃 =2ρ(x, y)dA
!
 
𝑃 = 𝑔2δ(x, y)dA
!
 
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Ejemplo: 
 Calcular la masa y el peso de la lámina plana determinada por las ecuaciones y = senx, con 
0 ≤ x ≤ π, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia al eje x. 
 
Solución: De acuerdo con la consigna, nuestra lámina plana representada en el sistema cartesiano, 
será la siguiente; 
 
 y 
 
 0 π x 
 y = sen x 
La densidad es, 
δ( x, y) = ky, 
donde k es una constante de proporcionalidad. Según establecimos en el desarrollo teórico la masa 
será: 
 
𝑀 =	∬ δ(	x, y)dA =	! ∬ ky	dA	! 
𝑀 = 𝑘; ; 𝑦	𝑑𝑦	𝑑𝑥
45',
%
6
%
 
𝑀 =	
𝑘
2; 𝑠𝑒𝑛
*
6
%
𝑥	𝑑𝑥 
 π 
M = 7
8
 (x – senx cosx) 
 0 
𝑀 =	 76
8
 𝑃 = 𝑔	 76
8
 
 
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2.2. Momentos Estáticos Respecto de los Ejes Coordenados Cartesianos de una Lámina Plana de 
Densidad Variable 
El momento estático también se lo conoce como momento de primer orden, dado que la 
distancia que se considera entre la masa y el punto de referencia del momento se la toma elevada a 
la potencia uno. 
Dada la lámina plana R, según se muestra en la siguiente figura, la masa dM = δ(x, y) dA, produce 
los momentos estáticos elementales, dIx y dIy, con respecto a los ejes coordenados x e y, del sistema 
cartesiano. De esta manera tendremos; 
 
 y 
 
 dM 
 y ■ 
 R 
 
 
 x x 
 
a) dIx es el producto de dM por la distancia “y” al eje x. 
dIx = y dM = y δ(x, y) dA 
Entonces el momento estático total de la lámina plana R respecto del eje x, es: 
𝐼, =	2y	δ(x, y)	dA
!
 
b) dIy es el producto de dM por la distancia “x” al eje y 
dIy = x dM = x δ(x, y) dA 
 
En consecuencia. 𝐼9 =	∬ x	δ(x, y)	dA! 
 
Ejemplo: 
 Calcular Ix e Iy de la lámina plana rectangular de ancho b y altura h, donde la densidad varía 
en cada punto proporcionalmente al cuadrado de la distancia al eje y. 
Solución: De acuerdo a lo manifestado la función densidad estará dada por; 
δ(x, y) = k x2, 
donde k es la constante de proporcionalidad. La lámina plana R de nuestro problema, puesta en el 
sistema cartesiano, es la siguiente: 
 
 
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 y 
 
 h 
 
 
 R 
 
 b x 
El momento estático de la lámina rectangular R, respecto al eje x, será: 
𝐼, =	2𝑦𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
!
=2𝑦	(𝑘𝑥*)
!
𝑑𝐴 
𝐼, = 𝑘;;𝑦	𝑥*
:
%
;
%
𝑑𝑦𝑑𝑥 
𝐼, = 𝑘	
ℎ*
2 ;𝑥
*
;
%
	𝑑𝑥 
𝐼, = 𝑘
ℎ*𝑏<
6 
y el momento estático de la misma lámina R, respecto al eje al eje y, se obtiene como; 
𝐼9 =	∬ 𝑥𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴! 	= 	∬ 𝑥	(𝑘	𝑥
*)! 𝑑𝐴 
𝐼9 = 𝑘;;𝑥<	
:
%
;
%
𝑑𝑦𝑑𝑥 
𝐼, = 𝑘	ℎ;𝑥<
;
%
	𝑑𝑥 
𝐼, = 𝑘
ℎ𝑏8
4 
2.3. Momentos de Inercia Respecto de los Ejes Coordenados Cartesianos de una Lámina Plana 
de Densidad Variable 
El momento de inercia también se lo conoce como momento de segundo orden, dado que la 
distancia que se considera entre la masa y el punto de referencia del momento se toma elevada al 
cuadrado. 
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Considerando la lámina plana R que se muestra en la siguiente figura, entonces la masa dM = 
δ(x, y) dA, produce los momentos de inercia elementales, dJx y dJy, con respecto a los ejes 
coordenados del sistema cartesiano. Por lo tanto: 
 
 y 
 
 
 dMy ■ 
 R 
 
 
 x x 
 
 
a) dJx es el producto de dM por la distancia “y” al eje x, elevada al cuadrado. 
dJx = y2 dM = y2 δ(x, y) dA, 
entonces el momento de inercia total de la lamina plana R respecto del eje x, será: 
𝐽, =	2y*	δ(x, y)	dA
!
 
b) dJy es el producto de dM por la distancia “x” al eje y elevada al cuadrado, 
 
dJy = x2 dM = x2 δ(x, y) dA, 
en consecuencia el momento de inercia total de la lamina plana R, con respecto al eje y, resulta; 
𝐽9 =	2x	*δ(x, y)	dA
!
 
Teorema: 
El momento de inercia de una lamina plana R de densidad variable, respecto del centro 
del sistema de coordenadas cartesianas, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de 
los ejes ortogonales del sistema. 
H) R es una lámina plana de densidad variable δ(x, y), con los momentos de inercia; Jx, Jy, respecto de 
los ejes coordenados cartesianos y Jo respecto del origen. 
T) Jo = Jx + Jy 
D) Considerando la lámina plana que se muestra en la figura, observamos que la masa dM = δ(x, y) 
dA, produce el momento elemental dJo, respecto del origen, que es el producto de dM por la distancia 
“d” al origen, elevada al cuadrado. 
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dJo = d2 dM = d2 δ(x, y) dA, 
 y 
 
 
 d M 
 y ■ 
 R 
 d 
 
 o x x 
 
en consecuencia el momento de inercia total de la lámina plana R, con respecto al origen “o” del 
sistema, resulta; 
𝐽= =	2d*δ(x, y)	dA
!
 
Sabiendo que d2 = x2 + y2 y reemplazando en esta integral, se obtiene: 
𝐽= =	2(x* + y*)δ(x, y)	dA
!
 
Por propiedad de las integrales dobles, se tiene que; 
𝐽= =	2x*δ(x, y)	dA
!
+	2y*	δ(x, y)	dA
!
 
 Por lo tanto; Jo = Jy + Jx 
2.4. Coordenadas del Centro de Masa de una Lámina Plana de Densidad Variable 
El centro de masa de una lámina plana es aquel punto geométrico de la misma en donde se 
considera concentrada toda la masa y corresponde a la posición promedio de todas las partículas de 
masa que forman la lámina, de tal manera que si esta se apoyara en ese punto permanecería en 
equilibrio. De este concepto surge una importante ley física, esto es; “Los momentos estáticos con 
respecto a los ejes paralelos a los coordenados cartesianos. con origen en el centro de masa, son 
iguales a cero”. 
Considerando la siguiente figura donde se grafica la lamina plana R con centro de masa Cm, de 
coordenadas (xc, yc) y los ejes paralelos a los cartesianos X, Y que se interceptan en Cm. 
 
 y Y 
 
 d M 
 y ■ 
 yc R 
 Cm X 
 
 o xc x x 
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De acuerdo la ley física enunciada, que cumple el centro de masa, se tendrá: 
IY = 0 (1) 
IX = 0 (2) 
Desarrollando (1), 
2(𝑥 −	𝑥>
!
)𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 0 
2𝑥
!
𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 − 𝑥>2𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
!
= 0 
2𝑥
!
𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 𝑥>2𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
!
 
𝑥? =
∬ 𝑥! 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
∬ 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴!
 
Desarrollando (2), 
2(𝑦 −	𝑦>
!
)𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 0 
2𝑦
!
𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 − 𝑦>2𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
!
= 0 
2𝑦
!
𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 𝑦>2𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
!
 
𝑦? =
∬ 𝑦! 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
∬ 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴!
 
Ejemplo: 
 Si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia al eje x, de una lámina plana 
determinada por las gráficas de x2 + y2 = 1, x = 0, y = 0, en el primer cuadrante, determinar las 
coordenadas del centro de masa. 
Solución: Gráficamente tendremos que: 
 
 y 
 
 
 1 y =	√1 −	𝑥* 
 y 
 
 0 x 1 x 
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La función densidad es δ(x,y) = ky, donde k es la constante de proporcionalidad, entonces, de 
acuerdo a lo analizado; 
𝑥? =
∬ 𝑥! 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
∬ 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴!
 
𝑥? =	
∬ 𝑥(𝑘𝑦)𝑑𝐴!
∬ 𝑘𝑦𝑑𝐴!
 
𝑥? =	
𝑘 ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
√)+,!
%
)
%
𝑘 ∫ ∫ 𝑦𝑑𝑦
√)+,!
%
)
% 𝑑𝑥
	
𝑥? =	
∫ (𝑥 −	𝑥<)𝑑𝑥)%
∫ (1 −	𝑥*)𝑑𝑥)%
 
𝑥? =	
"
!+	
"
#
)+	"$
, , entonces 𝑥? =	
<
A
 
Procediendo de igual manera se obtiene yc. 
𝑦? =	
3(𝜋 − 1)
16 
 Para simplificar el cálculo yc, es aconsejable hacer el cambio de variables a coordenadas 
polares circulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Consignas para la revisión de la teoría 
 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 
1. Cálculo de volúmenes con integrales dobles. 
2. Cálculo de áreas con integrales dobles. 
3. Masa y Peso de una lámina plana de densidad variable. 
4. Momentos estáticos con respecto a los ejes coordenados de una lámina plana de densidad 
variable. 
5. Momentos de Inercia con respecto a los ejes coordenados de una lámina plana de densidad 
variable. 
6. Cálculo de las coordenadas del centro de masa de una de una lámina plana de densidad 
variable. 
 
Consignas para la revisión de la práctica 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen: 
1. Cacule el área de la región limitada por la curva 𝑦 = 𝑥< y la recta y=x. Rta: 1/2 
2. Calcule el área de un círculo de radio R. Rta: AR = πR2 
3. Calcule el área limitada por la elipse ,
!
B!
+ 9
!
;!
= 1. Rta: AR = πab 
4. Encuentre el área de la región limitada por la grafica en coordenadas polares de; r = 2cos2θ. 
Rta: AR = 1,5 π 
5. Determine la masa y el centro de masa de una lámina plana que ocupa la región R acotada 
por la parábola x = 1 - y2, y los ejes coordenados en el primer cuadrante, si la función densidad es 
δ(x, y) = y. 
Rta: M = 1/4 Cm (1/3, 8/15) 
6. Calcule ma masa de la lámina correspondiente a la porción en el primer cuadrante del círculo 
𝑥* + 𝑦* = 4 siendo la densidad en el punto (x,y) proporcional a la distancia entre el punto y el 
centro. Rta: 8
<
	𝑘𝜋 
7. Evalúe la masa y las coordenadas del centro de masa de la lámina plana del ejercicio 
anterior, si la función densidad es δ(x, y) = xy2. 
8. Calcule el volumen del sólido que está debajo el paraboloide z = x2 + 4y2, y encima del 
rectángulo con vértices (0, 2), (1, 2), (0, 4 ), (1, 4) 
Rta: V = 176 
9. Calcule el volumen del tetraedro solido con vértices: (0, 0, 0), (0, 0,1), 
 (0, 2, 0), (2, 2, 0) Rta: V = 2/3 
10. Calcule el volumen del sólido que está encima del cono 𝑧 = Z𝑥* + 𝑦*		y debajo de la esfera 
𝑥* + 𝑦* + 𝑧* = 1. Rta: - )
<
[ )
*
$
!%
− 1\ . 2𝜋 − )
<
. )
*
$
!%
. 2𝜋 = 	 *
<
. 𝜋 [− )
*
"
!%
+ 1\ 
11. Calcule el volumen del solido determinado por uno de los trozos separados del cilindro x2 +9y2 = a2, por los planos; z = 0 y z= mx Rta: V = 2ma3/9 
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12. Usando integrales dobles, encuentre el área de la proyección sobre el plano xy, del plano 3x 
+ 2y + 6z = 6, en el primer octante. Rta: AR = 3 
 
13. Calcule el momento de inercia respecto del eje x de l lámina correspondiente a la región 
parabólica 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥* donde la densidad en el punto (x,y) es proporcional a la distancia entre el 
punto (x,y) y el eje x. Rta: <*CDA
<)E
	𝑘