S04 s1 - DERIVACIÓN IMPLICITA

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FUNCIONES DE VARIAS 
VARIABLES: DERIVACIÓN 
IMPLICITA.
Teoría y ejercicios.
SEMANA 04
SESIÓN 01
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve problemas de contexto 
real en variadas situaciones que involucran DERIVADAS IMPLICITAS y sus 
interpretaciones para así modelar problemas aplicados a la Ingeniería.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DERIVACIÓN IMPLICITA.
DERIVACIÓN 
IMPLICITA.
TEORÍA Y 
EJERCICIOS.
1 Derivación implícita.
DERIVACION IMPLICITA.
Teorema 1: Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ una función de clase 𝐶1,
considere 𝑝 = (𝑥0, 𝑦0) tal que 𝐹 𝑥0, 𝑦0 = 0 e 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
(𝑝) ≠ 0.
Entonces, existe un intervalo 𝐼 y una función 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ
con 𝑦 = 𝑓(𝑥) de clase 𝐶1 en 𝐼 tal que 𝑓 𝑥0 = 𝑦0 que es 
solución de la ecuación 𝐹 𝑥, 𝑓 𝑥 = 0; para todo 𝑥 ∈ 𝐼. 
Más aún, se cumple que:
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
Ejemplo. Determinar 𝑦′ si se cumple que: 𝑥3 = 6𝑥𝑦 − 𝑦3.
Solución.
FUNCIÓN IMPLICITA.
• Definimos 𝐹 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 − 𝑥3 − 𝑦3, 𝑝 = (3,3).
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = 6𝑥 − 3𝑦2; entonces 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
3,3 = −9 ≠ 0.
Por lo tanto se cumple el teorema, entonces se puede definir 
de forma implícita 𝑦 = 𝑓(𝑥).
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
= −
6𝑦 − 3𝑥2
6𝑥 − 3𝑦2
2 Derivación implícita 3 variables.
DERIVACIÓN IMPLICITA.
• Teorema 2. Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ una función de clase 𝐶1,
considere 𝑝 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) tal que 𝐹 𝑝 = 0 e 
𝜕𝐹
𝜕𝑧
(𝑝) ≠
0. Entonces, existe un intervalo 𝑈 ⊂ ℝ2 y una función 
𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ2 → ℝ con 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) de clase 𝐶1 en 𝑈 tal 
que 𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑧0 que es solución de la ecuación 
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0; para todo 𝑥 ∈ 𝑈. Más aún, se 
cumple que:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑧
e 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑧
Ejemplo 2. Considere la ecuación la ecuación 𝑥3 + 𝑦3 +
𝑧3 = −6𝑥𝑦𝑧. Calcular 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
y 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
Solución.
EJEMPLO: DERIVACIÓN IMPLICITA.
•
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑧2 + 6𝑥𝑦; entonces 
𝜕𝐹
𝜕𝑧
(𝑝) ≠ 0
• Definamos 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 + 6𝑥𝑦𝑧. Podemos 
considerar 𝑝 = (1,−1,0) tal que 𝐹 𝑝 = 0.
Luego, por el teorema se define 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y podemos 
calcular las derivadas parciales.
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
3𝑥2 + 6𝑦𝑧
3𝑧2 + 6𝑥𝑦
= −
𝑥2 + 2𝑦𝑧
𝑧2 + 2𝑥𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
3𝑦2 + 6𝑥𝑧
3𝑧2 + 6𝑥𝑦
= −
𝑦2 + 2𝑥𝑧
𝑧2 + 2𝑥𝑦
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Recordar la noción 
de derivación 
implícita en el caso 
de funciones de una 
variable.
2.Repasar las 
condiciones del 
teorema que 
garantiza las 
derivadas parciales 
de forma implicita..
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de la 
derivación implícita 
para funciones de 
varias variables.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones