S08 s2 - Coordenadas Polares

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INTEGRALES DOBLES: 
COORDENADAS POLARES.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante aprende a aplicar coordenadas 
polares para resolver problemas aplicados a la ingeniería.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
DOBLES.
Coordenadas 
polares.
¿ Para que sirve ?
• Facilitar el calculo de áreas, volúmenes de solidos.
• Diseño de estructuras, diseño de laminas, placas.
• En medicina para la resonancia, radioterapias.
• Entre otras.
INTEGRALES DOBLES.
1.Coordenadas polares.
CAMBIÓ DE VARIABLE.
• Teorema. Sea 𝑇𝑇:𝐸𝐸 ⊂ ℝ2 → 𝐷𝐷 ⊂ ℝ2 de clase 𝐶𝐶1, definida por 
𝑇𝑇 𝑟𝑟, 𝜃𝜃 = (𝑥𝑥(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) 𝑦𝑦(𝑟𝑟,𝜃𝜃)) para todo (𝑟𝑟, 𝜃𝜃) ∈ 𝐸𝐸 y para todo 
(𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 donde 𝐸𝐸,𝐷𝐷 son regiones cerradas con Jacobiano no nulo: 
𝐽𝐽 𝑟𝑟,𝜃𝜃 =
𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
𝜕𝜕(𝑟𝑟,𝜃𝜃)
=
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑟𝑟
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜃𝜃
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑟𝑟
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝜃𝜃
= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 cos𝜃𝜃 −𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃sin𝜃𝜃 𝑟𝑟 cos𝜃𝜃
𝐽𝐽 𝑟𝑟,𝜃𝜃 = 𝑟𝑟 c𝑜𝑜𝑜𝑜2 𝜃𝜃 + 𝑜𝑜𝑑𝑑𝑠𝑠2 𝜃𝜃 = 𝑟𝑟
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar el 
tipo de región y tipo 
de cambió de 
variable para 
integrar.
2.Recordar el cambió 
de variable a 
coordenadas 
polares, no olvidar 
el jacobiano.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
coordenadas polares 
para resolver 
integrales dobles..
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
	INTEGRALES DOBLES: COORDENADAS POLARES.���TEORÍA Y EJERCICIOS.
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