S09 s2 - Polares modificadas

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INTEGRALES DOBLES: 
COORDENADAS POLARES 
MODIFICADAS.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante aprende a utilizar coordenadas 
polares modificadas para el calculo de áreas y volúmenes, con ello podrá resolver 
problemas aplicados a la ingeniería.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
DOBLES.
Coordenadas 
polares 
mofificadas.
¿ Para que sirve ?
• En geometría facilita el calculo de áreas, 
volúmenes de solidos.
• Diseño de estructuras, diseño de laminas, 
placas.
• Entre otras.
INTEGRALES DOBLES.
1.Coordenadas polares 
modificadas.
COORDENADAS POLARES MODIFICADAS.
• Cuando la región donde se desea integrar esta dado por una 
elipse 
𝒙𝒙𝟐𝟐
𝒂𝒂𝟐𝟐
+
𝒚𝒚𝟐𝟐
𝒃𝒃𝟐𝟐
= 𝟏𝟏
Se puede usar el siguiente cambio de variable.
Donde, � 𝟎𝟎 < 𝒓𝒓 < ∞𝜶𝜶 ≤ 𝜽𝜽 ≤ 𝜶𝜶 + 𝟐𝟐𝟐𝟐
con Jacobiano no nulo(𝑱𝑱 𝒓𝒓,𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒃𝒃𝒓𝒓)
𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒓𝒓 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽 𝒆𝒆 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒓𝒓 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽
2. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA.
• Sea 𝑅𝑅 una región plana limitada por 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 y 
𝑔𝑔1(𝑥𝑥) ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑔𝑔2(𝑥𝑥) entonces el área esta dada por:
• Sea 𝑅𝑅 una región plana limitada por 𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑 y 
ℎ1(𝑥𝑥) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ℎ2(𝑥𝑥) entonces el área esta dada por:
INTEGRALES DOBLES: Áreas.
𝑨𝑨 𝑹𝑹 = �
𝒂𝒂
𝒃𝒃
�
𝒈𝒈𝟏𝟏(𝒙𝒙)
𝒈𝒈𝟐𝟐(𝒙𝒙)
𝟏𝟏𝟏𝟏𝒚𝒚𝟏𝟏𝒙𝒙
𝑨𝑨 𝑹𝑹 = �
𝒄𝒄
𝟏𝟏
�
𝒉𝒉𝟏𝟏(𝒙𝒙)
𝒉𝒉𝟐𝟐(𝒙𝒙)
𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏𝒚𝒚
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Identificar la región 
de la cual queremos 
calcular el área.
2.Utilizar 
adecuadamente las 
coordenadas 
polares 
modificadas, para 
calcular área o 
volumen de algún 
determinado solido.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
coordenadas polares 
en modificas 
integrales dobles.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
	INTEGRALES DOBLES: COORDENADAS POLARES MODIFICADAS.���TEORÍA Y EJERCICIOS.
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