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Profesor Sebastián Auguste sauguste@utdt.edu Teoría de las Decisiones Módulo 2. Decisiones bajo incertidumbre Lo que vimos en la intro Qué mecanismo usamos para tomar decisiones bajo incertidumbre? Cómo se comporta la gente realmente bajo incertidumbre? Entiende las probabilidades? Cuáles son los sesgos más relevantes? Cuáles son los límites de la teoría económica? El viaje de Pascal Matemático nacido en 1623. Ya en 1642 comienza su prolífera carrera En 1646 con su hermana se embarcan en el Jasenismo y comienza a escribir también de religión. 1653, viaja con el Chevalier de Méré, quién le presenta el siguiente problema. “ Un Duque y un Caballero han apostado cada uno 50 Luis de Oro a un juego de tirar la moneda. El Duque gana si salen 4 caras seguidas primero, el Caballero gana si salen 4 secas seguidas. Pero el juego se suspende a la quinta tirada con 3 caras y dos secas….¿Como se reparten los 100 Luis de Oro?” Pascal introduce el concepto de Valor Esperado o Esperanza Matemática Apuesta de Pascal Discusión sobre la creencia en la existencia de Dios, basado en el supuesto de que la existencia de Dios es una cuestión de azar. El argumento plantea que, aunque no se conoce de modo seguro si Dios existe, lo racional es apostar que sí existe. "La razón es que, aún cuando la probabilidad de la existencia de Dios fuera extremadamente pequeña, tal pequeñez sería compensada por la gran ganancia que se obtendría, o sea, la gloria eterna." oPuedes creer en Dios; si existe, entonces irás al cielo. oPuedes creer en Dios; si no existe, entonces no ganarás nada. oPuedes no creer en Dios; si no existe, entonces tampoco ganarás nada. oPuedes no creer en Dios; si existe, entonces no irás al cielo http://es.wikipedia.org/wiki/Cielo Regla del Valor Esperado Lotería L={x,p;y,(1-p)} Valor (monetario) esperado: EV=x p + y (1-p) Regla del valor esperado no tiene en cuenta con qué riesgo se obtuvo ese valor esperado Se basa puramente en los pagos monetarios esperados. = = =++=+== n i ii nn xpx xXpxxXpxxXpxXE 1 2211 )( )(...)()()( Value of Information Tema nuevo que se relaciona con darle valor a un nuevo flujo de información que altera nuestras creencias sobre las probabilidades de ocurrencia. Los tipos ejemplos son: Estudios de mercado Estudios técnicos de proyecciones macroeconómicas Focus group Experiencias piloto Entrevistas laborales Período de prueba Todos tienen en común la idea que yo “aprendo” algo Repaso de Probabilidad Condicional Def. Si A y B son dos eventos en S y P(A) 0 la probabilidad condicional que se de B dado que se dio A es: Alternativamente, como: Podemos escribirla como Conocida como Regla de Bayes )( )( )/( AP BAP ABP = 8 )( )( )/( BP BAP BAP = )( )()/( )/( AP BPBAP ABP = Ejemplo 1. Investigación de mercado performance de Fondos Mutuos o Fondo Común de Inversión (FCI). Supongamos que se toma una muestra de 50 FCI Si elijo un FCI de inversión al azar entre estos 50, ¿cuál es la probabilidad de que le gane al benchmark? ¿Y si compro de un FCI que lleva más de 10 años en el mercado? 9 Ganó Perdió + 10 años 16 4 20 - 10 años 10 20 30 26 24 10 Ejemplo 2 Cantidad de “espadas” que se pueden obtener en dos extracciones, sucesivas y sin reponer, de un mazo de 40 cartas. E: extraer una “espada” en la primer extracción. B: extraer una “espada” en la segunda extracción. B/E: es obtener una “espada” en la segunda extracción dado que la primera fue espada. Entonces 156 9 39 9 40 10 )/().()( === EBpEpBEp Ejemplo 3. The Monty Hall Problem 11 ✓Computar la probabilidad de que algo ocurra (e.g. que me quede sin stock) 12 Aprendizaje Bayesiano 13 Probabilidad a priori P(B) Probabilidad a posteriori, luego que ocurrió el evento A O bien A es informativo si P(B) es distinta a P(B/A) Esto se llama “aprendizaje bayesiano” )( )()/( )/( AP BPBAP ABP = )( )( )/( AP BAP ABP = El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761) y publicada póstumamente en 1763, que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A. 14 MFIN. Nivelación. Prof. Sebastián Auguste Solución analítica de Monty Hall 15 Llamemos: R,V,A al evento que el premio está detrás de la puerta Roja, Verde o Amarilla Y llamemos, r, v, a al evento que el presentador abra la puerta roja, verde o amarilla Probabilidades a Priori: P(R)=P(V)=P(A)=1/3 (bajo ignorancia, equiprobabilidad es lo usual) Supongamos que el elegimos inicialmente la roja. Con dos puertas las probabilidades exantes son P(a)=P(v)=1/2 Sabiendo que el presentador no puede abrir la roja, tenemos las siguientes probabilidades condicionales: Si el premio está en la roja P(v/R)=P(a/R)=1/2 Si premio esta en la verde: P(a/V)=1 y P(v/V)=0 Si premio esta en la amarilla: P(a/A)=0 y P(v/A)=1 Si elijo rojo y presentador abre la amarilla: P(R/a)=P(a/R)*P(R)/P(a)=(1/2)*(1/3) / (1/2) = 1/3 P(V/a)= P(a/V)*P(V)/P(a)=(1)*(1/3) / (1/2) = 2/3 Por lo que siempre debe cambiar su elección! Ejemplo: Value of Perfect Information Debo decider si lanzo un nuevo producto al mercado (e.g. Levite en Sachet) o no. Si lo lanzo pueden pasar tres cosas, que me vaya muy bien y tenga altas ventas, gano 400 mil, que tenga un desempeño normal y gane solo 100 mil, o que me vaya mal y pierda 200 mil. Las probabilidades subjetivas de ocurrencia de estos tres estados son: 0,5; 0,3 y 0,2 respectivamente. ¿Qué me conviene hacer? Me conviene lanzar el producto nuevo con una ganancia esperada de 190 mil Value Measure U-Value 0.5 HIGH 400 400 >>> LANZO 0.3 MEDIUM 100 100 190 190 0.2 LOW -200 -200 190 190 NO 0 0 Ahora puedo hacer un estudio de Mercado que me dice con certeza donde estoy. Es decir, luego del studio voy a saber con Certeza en qué estado del mundo estoy. El Estudio de Mercado me da “información perfecta” y luego de conocer el estudio ya no existe incertidumbre. Lo primero que sucede, si contrato el estudio, es que obtenga un resultado el estudio, algo que yo no decido sino que sucede. La pregunta es qué probabilidad le doy a cada resultado del studio Si yo pensaba que la probabilidad de estar en el Estado de high sales era 50%, ¿cuál debiera ser la probabilidad que yo creo que el estudio me de High Sales? Cuñales son las probabilidades a posteriori? El árbol ahora parece más complejo, primero se resuelve la incertidumbre del estudio, luego sabiendo el resultado elijo, y luego pasa realmente si me va bien o no. En el caso de Perfect Information las ditribuciones de probabilidades a posteriori son triviales, pero cuando veamos casos de Imperfect Information las probabilidades a posteriori van a tener valores positivos, en general, para todas las opciones. Value MeasureU-Value 1 h 400 400 >>> Lanzo 0 l 100 100 400 400 0.5 Estudio dice H 0 m -200 -200 400 400 No 0 0 0 h 400 400 >>> Lanzo 1 m 100 100 100 100 0.3 Estudio dice m 0 l -200 -200 Resultado 100 100 230 230 No 0 0 0 h 400 400 Lanzo 0 m 100 100 -200 -200 1 l -200 -200 0.2 Estudio dice L 0 0 >>> No 0 0 ExptectValue of Perfect Information (EVPI) es la diferencia entre el valor esperado con información perfecta y el valor esperado sin conocer el estudio de mercado En este caso EVPI=230-190=40 Para mi el valor (esperado) que me agrega el estudio es de 40, que sería lo máximo que estoy dispuesto a pagar por el Estudio de Mercado Real Options Qué es una opción real? Básicamente es agregarle una rama a alguno de los nodos de decision. Ejemplo con elViñedo: si invierto en una segundamarca luego cuando llego al nodo del vino malo en vez de tener dos alternativas, embotello con mi marca o vendo a granel, tendré tres, sumando ahora embotellar con la segunda marca, Generar una opción real siempre cuesta dinero, y tengo que ver si tiene sentido hacerlo. Cómo la valorizo? Como la diferencia entre el valor esperado con la Opción Real y el valor esperado antes de incluir dicha Opción Real. Si en el árbol con la opción real incluyo los costos de genera la opción real (en el ejemplo, lanzar la segunda marca) entonces lo que obtengo en el punto anterior es elValor Neto de la Opción Real (neto del costo de generarla). Sobre el valor esperado para tomar decisiones Al ser un promedio de largo plazo, es lo que podría ganar si juego muchas veces lo mismo. Para un diariero que quiere decidir cuantos diarios comprar tiene sentido. A veces decidimos sobre situaciones que nunca más van a pasar, y me puede interesar tener una idea que cuanto se puede desviar el valor que puedo obtener de lo que espero, con qué riesgo obtengo ese valor esperado El riesgo dependerá del rango de valores que pueden suceder (sus desvíos desde lo que espero) y sus probabilidades. Ejemplo ¿Qué producto elijo, A o B? 0.5 Se extiende la cuarentena 2 >>> Producto A 1 1 0.5 No se extiende 0 1 0.5 Se extiende la cuarentena 1 1002 >>> Producto B 1 1 0.5 No se extiende -1000 Algunas mediciones de riesgo 1. Rango: extremos que puede tomar 2. Varianza/Desvío Estándar: Riesgo (absoluto) de errarle a la media 3. Coeficiente de Variación: Riesgo relativo de errarle a la media 4. Value at Risk (VaR): “Riesgo de matarte”. El valor que puedo llegar a perder en el peor escenario en cierto período de tiempo bajo condiciones normales del mercado 5. Riesgo sistémico: (Beta CAPM) 1653 Pascal 1713 Bernoulli Paradoja de San Petersburgo 26 Nicolás Bernoulli (1713) plantea: “El casino de San Petersburgo lanza un nuevo juego en el cual un jugador individual lanza repetidamente una moneda hasta que salga cara por primera vez, el pago es 2^n ducados siendo n el último lanzamiento.” ¿Cuál es la disposición máxima a pagar (DAP) por jugar este juego? Daniel Bernoulli (1738), primo de Nicolás, plantea una solución a la paradoja en Specimen theoriae novae de mensura sortis “The determination of the value of an item must not be based on the price, but rather on the utility it yields…. There is no doubt that a gain of one thousand ducats is more significant to the pauper than to a rich man though both gain the same amount.” Gabriel Cramer (1728) propuso antes algo similar: “the mathematicians estimate money in proportion to its quantity, and men of good sense in proportion to the usage that they may make of it.” Y yo que pensaba que los peinados feos eran exclusivos de los 80s…. Resolución a la paradoja: utilidad esperada en lugar de valor monetario esperado Daniel Bernoulli proposed that a mathematical function should be used to correct the expected value depending on probability. This provides a way to account for risk aversion, where the risk premium is higher for low-probability events than the difference between the payout level of a particular outcome and its expected value. = = =++=+== n i ii nn xpx xXpxxXpxxXpxXE 1 2211 )( )(...)()()( = = =++=+== n i ii nn xpxu xXpxuxXpxuxXpxuXUE 1 2211 )()( )()(...)()()()()( En el juego Pero =++= ... 2 1 2 2 1 2 2 1 2)( 3 3 2 2XE 4142.2... 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 2 2 1 2 2 1 2)( 32 3 3 2 2 + + += +++=XUE A Typical Utility Function for Money u(M) M 4 3 2 1 0 $100 $250 $500 $1,000 What does this mean? 32 Payoff Utility The Utility Curve for a Risk Averse Decision Maker 100 0.5 200 0.5 150 The utility of having $150 on hand… U(150) …is larger than the expected utility of a game whose expected value is also $150. EU(Game) U(100) U(200) 33 Payoff Utility 100 0.5 200 0.5 150 U(150) EU(Game) U(100) U(200) A risk averse decision maker avoids the thrill of a game-of-chance, whose expected value is EV, if he can have EV on hand for sure. CE Furthermore, a risk averse decision maker is willing to pay a premium… …to buy himself (herself) out of the game-of-chance. The Utility Curve for a Risk Averse Decision Maker Decision Maker’s Preferences Risk-averse Avoid risk Decreasing utility for money Risk-neutral Monetary value = Utility Linear utility for money Risk-seeking (or risk-prone) Seek risk Increasing utility for money Combination of these u(M) M u(M) M u(M) M u(M) M … Problema con el enfoque Requiero conocer las preferencias del decision maker (su función de utilidad) A menudo nos conformamos con medir la varianza como una medida de riesgo (amplitud de resultados posibles) A menudo se asume la firma es neutral al riesgo (porque ya está diversificada) Existen métodos para imputar una función de utilidad Formas de estimar la aversión al riesgo 1. Laboratorio, dandonde a la persona a elegir entre distintas loterías para ir construyendo la u(x) 1. Caso sencillo. Exponential Utility Function 2. Psicometric tests 3. Neurociencia: right inferior frontal gyrus Método 1. Exponential Utility Functions Para una persona aversa al riesgo se postula una función Y el parámetro R se obtiene de preguntar: para que R está indiferente entre estas dos loterías? Simple Decision Tree usa Por lo que gamma=1/R R -R/2 0.5 0.5 0 1 vs −= − R M eRMu 1)( (aproximadamente) ( )MeMu −−= 1)( Método 2. Reescalar pagos Ordenar todos los pagos de mejor a peor. Fijar el peor pago en 0 y el mejor en 1 y luego para todos los otros pagos preguntar Para que p estás indiferente entre: M es el pago intermedio al cual se le quiere asignar una utilidad Si contesta p=0.2, entonces u(M)=0.2 Y así para cada uno de los pagos intermedios… Mejor Pago Peor Pago p 1-p M 1 39 Ejemplo Cacho heredo $1000. Debe decidir en que invertir por un año. Un broker le sugirió que considere. Gold Junk Bond Growth Stock Certificate of Deposit 40 Matriz de escenarios y pagos Payoff Table Large Rise Small Rise No Change Small Fall Large Fall Gold -100 100 200 300 0 Bond 250 200 150 -100 -150 Stock 500 250 100 -200 -600 C/D Account 60 60 60 60 60 d5 d6 d7 d8 Probability 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 Criteria Decision Payoff Maximin C/D Account 60 Minimax Regret Bond 400 Maximax Stock 500 Insufficient Reason Gold 100 EV Bond 130 EVPI 141 RESULTS 41 Para determinar utilidad Ordeno los pagos Pagos (max=$500 min=-$600). Asgino u(500)=1 y u(-600)=0 Luego pregunto probabilidades y voy completando Payoff -600 -200 -150 -100 0 60 100 150 200 250 300 500 Prob. 0 1 42 Determine utilidad Para -200 pregunto, que p te deja indiferente entre Payoff -600 -200 -150 -100 0 60 100 150 200 250 300 500 Prob. 0 0.25 1 500 -600 p 1-p -200 1 43 Determine utilidad Hasta completar todos los pagos con sus respectivas utilidades Payoff -600 -200 -150 -100 0 60 100 150 200 250 300 500 Prob. 0 0.25 0.3 0.36 0.5 0.6 0.65 0.7 0.75 0.85 0.9 1 44 Reexpreso matriz de pagos en utilidades y resuelvo para la Utilidad Esperada Utility Analysis Certain Payoff Utility -600 0 Large Rise Small Rise No Change Small Fall Large Fall EU -200 0.25 Gold 0.36 0.65 0.75 0.9 0.5 0.632 -150 0.3 Bond 0.85 0.75 0.7 0.36 0.3 0.671 -100 0.36 Stock 1 0.85 0.65 0.25 0 0.675 0 0.5 C/D Account 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 60 0.6 d5 0 100 0.65 d6 0 150 0.7 d7 0 200 0.75 d8 0 250 0.85 Probability 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 300 0.9 500 1 RESULTS Criteria Decision Value Exp. Utility Stock 0.675 Modelo 3. Psicometría http://testyourself.psychtests.com/testid/2122 Otros ejemplos Perfil del inversor FIMA http://www.fondosfima.com.ar/personas/herramientas/perfil-del-inversor/ CNV http://www.cnv.gob.ar/EducacionBursatil/testinversor/testin versor.asp?Lang=0 Santander Rio http://www.santanderrio.com.ar/banco/online/personas/inv ersiones/test-del-inversor http://njaes.rutgers.edu:8080/money/riskquiz/ http://www.fondosfima.com.ar/personas/herramientas/perfil-del-inversor/ http://www.cnv.gob.ar/EducacionBursatil/testinversor/testinversor.asp?Lang=0 http://www.santanderrio.com.ar/banco/online/personas/inversiones/test-del-inversor http://njaes.rutgers.edu:8080/money/riskquiz/ Neurociencia “Gray matter matters when measuring risk tolerance: May explain why risk tolerance decreases with age” Using a whole-brain analysis, scientists found that the grey matter volume of a region in the right posterior parietal cortex was significantly predictive of individual risk attitudes. Men and women with higher grey matter volume in this region exhibited less risk aversion. as people age they become more risk averse, and this is related to the fact that cortex thins substantially as we age. It is possible that changes in risk attitude over lifespan are caused by thinning of the cortex Adolescentes y el riesgo teens tend to wildly overestimate certain risks greater tolerance to uncertainty and ambiguity More rational thinking! adolescents carefully think about risks most adults wouldn’t even consider taking — like, say, playing Russian roulette — using their prefrontal cortex. They use quantitative reasoning and take about twice as long as adults do before responding, while adults immediately have a negative reaction to such risks, stemming intuitively from the insula, and almost automatically say no. Teoría de utilidad esperada Regla de la Utilidad Esperada Lotería L={x,p;y,(1-p)} Utilidad esperada EU=p u(x) + (1-p) u(y) u(x) se la llama función de Bernoulli, y es la misma función la que aparace siempre EU es única up-to tranformaciones monótonas (ordinal) EU2 representa las mismas preferencias que EU si existe una función g(z) creciente tal que g EU = EU2 u(x) es única up-to transformaciones lineales (cardinal) u2(x) representa las mismas preferencias que u(x) si existe una función afín g(z)=A+Bz, con B>0, tal que g u(x) = u2(x) Aversión al riesgo 1. Arrow–Pratt measure of absolute risk- aversion (ARA) 2. Arrow–Pratt measure of relative risk-aversion (RRA) Ejemplos de funciones usualmente utilizadas Raiz n-ésima u(c)= c^(n) donde 0<n<1 Log utility u(c)=log(c) (es DARA) Exponential utility (es CARA) Hyperbolic absolute risk aversion (HARA) http://testyourself.psychtests.com/testid/2122 http://www.humanmetrics.com/rot/rotqd.asp http://testyourself.psychtests.com/testid/2122 http://www.humanmetrics.com/rot/rotqd.asp Ejemplo. seguros Te ofrecen un seguro de $100 por tu casa de $100.000. ¿vale la pena pagarlo? Resolviendo como Árbol de Decisión Ejemplo de seguros reloaded Sea la prima (en porcentaje del monto asegurado), K el monto asegurado, y p la probabilidad que ocurra el evento malo que gatille al seguro, pruebe que la prima actuarialmente justa (que deja la ganancia esperada de una compañía de seguro igual a cero) es =p Pruebe que un asegurado averso al riesgo se asegura por completo si la prima es actuarialmente justa (asuma W es la riqueza inicial del individuo y L la pérdida que obtiene con probabilidad p) Expected Utility Example Example: Suppose I offer you the choice between the following two gambles: Gamble A: Win $240 100% Gamble B: Win $400 50% Win $100 50% Show that an expected value maximizer will choose Gamble B. Show that an expected utility maximizer with u( ) = 1/2 will choose Gamble A. EVA = 240 B AEV (.5 400) (.5 100) 250 > EV= + = AEU 240 15.49= = ( ) ( )B AEU .5 100 .5 400 5 10 15 > EU= + = + = Combinando con Simulación Ejemplo de producto estructurado ETF ZZZ tiene una distribución de retornos mensuales normal con media 3% y desvío 5%. Arme un estructurado donde el banco no pierda plata, ¿prefiere un inversor averso al riesgo a ese producto? ¿cómo varía esto con el grado de aversión al riesgo?. Evalúe ahora para que tope el inversor está indiferente y compute la ganancias esperada del banco Armar un seguro contra fallas. Tiene sentido para una empresa ofrecer garantías de los productos que vende? Usted vende deck de madera para el exterior. Se sabe que la vida de un deck sigue una distribución de Poisson con 18 meses de media. En su área de influencia hay sólo dos empresas que proveen este servicio, la suya, Super Deck, y la competencia Roby Deck. Usted quiere proveer un servicio de garantía para competir con Roby Deck. ¿hasta cuantos meses repondría el producto si se daña? ¿cuanto más estaría dispuesto a pagar un consumidor averso al riesgo? ¿que pasa si hay dos tipos de productos, uno con decks buenos de 24 meses de vida y otro malo que duran solo 14 meses? ¿ Sirve la politica de seguro para algo? 1653 Pascal 1713 Brnoulli 1738 Bernoulli 1944 von Neumann y Morgenstern Hipótesis de Utilidad Esperada von Neumann y Morgenstern 62 ¿Que implica usar estas relgas respecto a las preferencias de las personas? vNM prueban que si se cumplen los siguientes 4 supuestos: ➢Completas : X Y, X Y o XY ➢Transitivas : X Y, Y Z entonces X Z ➢Continuas: ➢Cumplen el Axioma de Independencia: Para todo a1, a2, a3 y (0 < < 1), a1 a2 iff [ a1 + (1-)a3] [ a2 + (1-) a3] (i.e. las preferencias entre a1 y a2 son independientes de a3). Entonces existe una función de utilidad esperada del tipo EU(x)= p u(x1)+(1-p) u(x2) que representa a las preferencias de los individuos por las loterías Que implica el Axioma de Independencia 1. Que la gente puede reducir loterías pr (1-pr) pr* (1-pr*) x1 y1 y2 pr*, pr~ = other probabilities (x,y,pr) = ((x1,x2, pr*) (y1,y2,pr~)pr) x2 pr~ (1-pr~) 2. Que incoporar una alternativa irrelvante no cambia las preferencias de la gente Si Juan dice que x y , entonces debe ser cierto que px+(1-p)z py+(1-p)z Pero en la realidad….. 1. De ignorancia a incertidumbre 1 “Juan es muy tímido y retraído, siempre servicial, pero poco interesado por la gente o por el mundo real. De carácter disciplinado y metódico, necesita ordenarlo y organizarlo todo, y tiene obsesión por el detalle”. ¿Es más probable que Juan sea un bibliotecario o un agricultor? 2. De ignorancia a incertidumbre 2 Una población tiene dos hospitales. En el hospital más grande nacen unos 45 bebés cada día, y en el más pequeño unos 15 bebés cada día. Como se sabe, alrededor del 50 por ciento de los bebés son niños. Pero el porcentaje exacto varía de día en día. Unas veces puede ser superior al 50 por ciento y otras, inferior. Para un período de 1 año, cada hospital registra los días en los que más del 60 por ciento de los bebés son niños. ¿Qué hospital cree que registró más días como estos? __ El hospital grande __ El hospital pequeño __ Los dos más o menos lo mismo (diferencia menor al 5 por ciento) Tendemos a ignorar la influencia del tamaño muestral cuando nos basamos en estimaciones. El ratio o porcentaje de niños es una frecuencia estimada, y es más inestable cuanto menor es el tamaño muestral (Si no se convence, pruebe en Excel tirando monedas) 3. Paradoja de Ellsberg Ejemplo que la gente no pasa de decisión con ignorancia a decisión con incertidumbre en forma tan lineal Aversión a la Ambigüedad 4. No seguimos las reglas de las probabilidades 0P(A) 1 (probabilidad número entre 0 y 1) P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) Probabilidad Condicional: P(A / B) = P(A y B) / P(B) Regla de Bayes : P(A / B) = P(B / A) * P(A) / P(B) Eventos Independientes: A y B son independientes si P(A / B) = P(A) o P(A ∩ B) = P(A)*P(B) Probabilidad Total: Si el evento B tiene dos casos posibles P(A )=P(A/ B1)*P(B1) + P(A / B2)*P(B2) CASO 1. En una ciudad hay dos compañías de taxi: 85% azules y 15% verdes. En un accidente nocturno, un testigo asegura que vió un taxi verde. Se sabe gracias a unas pruebas independientes que ese testigo es capaz de identificar correctamente el color de un taxi el 80% de las veces. ¿De color era el taxi? (a) Azul (b) Verde Azul, no importa que el que vio el taxi cometa poco error, la diferencia entre las probabilidades de los dos es tan grande que aun sigue siendo cierto que el azul es el mas probable. CASO 2. En una familia con dos hijos, ¿cuál es la probabilidad, si uno de los hijos es una niña, que ambos hijos sean niñas? (a) 1/2 (b) 1/3 Asumamos niño (B) o niña (G) ocurre con igual probabilidad. P(B)=P(G)=1/2 Los casos posibles son Lo que sabemos es que la familia tiene dos hijos, y que uno es niña. Esto puede pasar en tres casos. Tener dos nenas es uno de 3, por lo que P(tener dos niñas)=1/3 El truco es que la familia ya tiene los dos hijos. Distinto sería preguntar cual es la probabilidad de tener otra niña dado que se tiene una. Dos hijos prob BB ¼ BG ¼ GB ¼ GG ¼ Paradoja de Allais Maurice Allais en una sala repleta de economista plantea la siguientes loterías para que la gente escoja ELECCION 1 A: A 100% chance to win $1,000 B: An 89% chance to win $1,000 A 10% chance to win $5,000 A 1% chance to win $0 ELECCION 2 A: An 11% chance to win $1,000 An 89% chance to win $0 B: A 10% chance to win $5,000 A 90% chance to win $0 Experiment 1 Experiment 2 Gamble 1A Gamble 1B Gamble 2A Gamble 2B Winnings Chance Winnings Chance Winnings Chance Winnings Chance $1 million 89% $1 million 89% Nothing 89% Nothing 89% $1 million 11% Nothing 1% $1 million 11% Nothing 1% $5 million 10% $5 million 10% Experiment 1 Experiment 2 Gamble 1A Gamble 1B Gamble 2A Gamble 2B Winnings Chance Winnings Chance Winnings Chance Winnings Chance $1 million 100% $1 million 89% Nothing 89% Nothing 90% Nothing 1% $1 million 11% $5 million 10% $5 million 10% Paradoja de Allais es un ejemplo que la gente no cumple con el Axioma de Independencia! 5. Framing Imagine que Estados Unidos se está preparando para el brote de una rara enfermedad asiática que se espera acabe con la vida de 600 personas. Se han propuesto dos programas alternativos para combatir esa enfermedad. Suponga que las estimaciones científicas más exactas de las consecuencias de los programas son las siguientes: ❑Si se adopta el programa A, se salvarán 200 personas. ❑Si se adopta el programa B, hay una probabilidad de un tercio de que 600 personas se salven y una probabilidad de dos tercios de que ninguna de ellas se salve. Cual elige? Imagine que Estados Unidos se está preparando para el brote de una rara enfermedad asiática que se espera acabe con la vida de 600 personas. Se han propuesto dos programas alternativos para combatir esa enfermedad. Suponga que las estimaciones científicas más exactas de las consecuencias de los programas son las siguientes: ❑Si se adopta el programa A’, 400 personas morirán. ❑Si se adopta el programa B’, hay una probabilidad de un tercio de que nadie muera y una probabilidad de dos tercios de que 600 personas mueran. Las personas que deciden tienden a preferir la cosa segura frente al juego (sienten aversión al riesgo) cuando los resultados son buenos. Y tienden a rechazar la cosa segura y aceptar el juego (buscar el riesgo) cuando los resultados son negativos. sistema 1, salvar vidas es bueno y perderlas es malo. 6. Availability Heuristic Which causes more deaths in developed countries? 1. (a) traffic accidents (b) stomach cancer 2. (a) homicide (b) suicide (Kahneman & Tversky, 1974) Results Traffic accident vs. Stomach cancer: Typical Guess (in 1974) traffic accident = 4X stomach cancer Actual (1974 estimates) 45,000 traffic, 95,000 stomach cancer deaths in US Ratio of newspaper reports on each subject 137 (traffic fatality) to 1 (stomach cancer death) Actual Homicide vs. Suicide rates (2013): Murder rate 6 per 100,000 Suicide rate 10.8 per 100,000 (Kahneman & Tversky, 1974) Se estima las probabilidades por la facilidad con la cual se hacen asociaciones o viene información a la mente “Availability is based on fundamental aspect of memory search” Ojo, puede funcionar bien, cuando availability se correlaciona con la probabilidad de los eventos. Empresas: énfasis repetitivo en algunos temas pueden sesgar la importancia que nuestra mente le da a la ocurrencia de esos temas. Ejemplo: crimen test ¿En que país es más probable morir por homicidio? Argentina Bahamas Costa Rica Israel 7. Representativeness Heuristic A hospital is surveyed about the exact sequence of births of boys and girls (from different mothers) in a particular day. What is more likely: a) G B G B B G b) B B B B B B A is seen as more representative of or similar to a prototypical 8. Falacia de la Conjunción Linda es una joven estudiante, seria y con inclinaciones políticas, ¿qué es mas probable? (a) que Linda sea cajera de un banco (b) que Linda sea feminista y cajera de un banco Ejemplo de “falacia de la conjunción” tomado de Amos Tversky y Daniel Kahneman(1). En su experimento el 85% de los encuestados eligió la opción 2. Sin embargo, la probabilidad de que los dos eventos ocurran juntos (en "conjunción") es siempre menor o igual que la probabilidad de que cada uno ocurra por separado (ver gráfico). (1) Tversky, A. y Kahneman, D. (octubre de 1983). "Extensión versus razonamiento intuitivo: La Conjunción de la Falacia es una probabilidad de sentencia". Psychological Review 90 (4): 293-315 9. Hot Hand Belief in Basketball Question: Does a basketball player have a better chance of making a free throw shot after having just made his last two shots than he does after having just missed his last two shots? Answers by Cornell and Stanford University Basketball fans Yes = 91% No = 9% (Gilovich, Vallone, & Tversky, 1985) 10. Does the “hot hand” phenomenon exist? Most basketball coaches/players/fans refer to players having a “Hot hand” or being in a “Hot zone” and show “Streaky shooting” However, making a free throw shot after just making two free throw shots is just as likely as after just missing two shots → people can make errors in judging probabilities of sequential events (Gilovich, Vallone, & Tversky, 1985) 11. Mean Reversion “Usted es el manager de un equipo de las Grandes Ligas, y la temporada 2005 acaba de terminar. Uno de sus trabajos más importantes es predecir el rendimiento futuro de los jugadores. Actualmente, su principal interés reside en la predicción de los promedios de bateo de nueve jugadores en particular. Una medida del rendimiento de un jugador son los promedios de bateo que van desde 0 a 1. Los números mayores reflejan mejor desempeño de bateo. Sabes los promedios de bateo de los nueve jugadores para el año 2005 y debe estimar el promedio de bateo de cada uno para 2006. Por favor, introduzca las estimaciones en la columna de la derecha del cuadro Jugador Promedio 2005 Estimación 2006 1 .215 2 .242 3 .244 4 .258 5 .261 6 .274 7 .276 8 .283 9 .305 Jugador Promedio 2005 Real 2006 1 0.215 0.276 2 0.242 0.266 3 0.244 0.246 4 0.258 0.23 5 0.261 0.207 6 0.274 0.254 7 0.276 0.307 8 0.283 0.303 9 0.305 0.277 Promedio 0.262 0.263 la performance de cada jugador tendió a la media y no se mantuvieron los extremos Hubiese sido más “exacto” esperar el valor promedio de todo el equipo en cada jugador. los individuos típicamente estiman que los resultados futuros se pueden predecir directamente de los resultados pasados, sin comprender que es una realización de una distribución de probabilidades tendemos a desarrollar prediccionesbasados en el supuesto de perfecta correlación con los resultados del año anterior. 12. Anchoring Toma los 3 últimos dígitos de tu número telefónico, agrégale un 1 para que te quede un número de 4 dígitos. Piensa en ese número como si fuese un año. Ahora intenta estimar el año en que fue construido el Taj Mahal ¿Fue antes o después el año realizado con tu número telefónico? Hace tu mejor estimación del año de construcción. ¿Crees que tu respuesta fue influenciada por el número telefónico? La mayoría de las personas piensan que no, pero en realidad sí se encuentran influenciadas por esta información irrelevante. En promedio, los individuos que obtenían un número telefónico mayor (1900) estimaban que el Taj Mahal había sido construido más recientemente que quienes obtenían años menores. Ocurre mucho en empresas, donde muchas veces opiniones de jefes condicionan 13. Falacia Narrativa NassimTaleb, The Black Swan (2007) ”limited ability to look at sequences of facts without weaving an explanation into them, or, equivalently, forcing a logical link, an arrow of relationship upon them. Explanations bind facts together. They make them all the more easily remembered; they help them make more sense. Where this propensity can go wrong is when it increases our impression of understanding.” ¿Por que pasa? Nuestro cerebro recuerda mejor un grupo de eventos cuando los une una historia, vs recordar un montón de eventos separados. Nuestro cerebro busca comprensión de las cosas. Herramientas para evitar caer: Tell your anti-story : trata de imagina casos donde la historia se desvía de lo que paso (escenario contrafáctico) Fuerza tus creencias a ser “falsificables” 102 Ejemplo. Retorno percibido vs retorno real 7.5% Perceived Real Return 4.5% 1.4% 2.0% 1.1% Real Return Less Fees Less Taxes Actual Real Return 14. Confirmation Bias Tendencia a buscar información o recordar información que apoya nuestros preconceptos (y descartamos la info que no nos apoya) 15. Mental Accounting Mentalmene hacemos diferencias en cosas que no debieramos hacerlo, como nuestro patrón de gasto con tarjetas de crédito o efectivo: “If they use credit card to pay for a bet, they will tend to bet larger than if they use cash. This shows how people use mental accounting to treat money as if they are not the same when it's in the form of credit card and cash.” 16. Attentional Bias Tendencia a no tener en cuenta información relevante cuando tomamos decisiones basados en correlaciones o asociaciones Ejemplo. Aviación británica en la II Guerra Mundial. La RAF examinaba aviones y reforzaba. ….Abraham Wald, un estadístico húngaro… Consejos útiles Asignar probabilidades es un proceso complejo pero instructivo Evite caer en sesgos y llame al sistema 2 para chequear que las probabilidades que asumen tienen sentido y cumplen las reglas básicas. Evite caer en los sesgos heurísticos del sistema 1 Para evitar caer en problemas de framing, formule las opciones en ambos sentidos, en términos de pérdidas y de ganancias, y analice si la opinión sobre las opciones cambia. Sistema 1 y 2 sistema 1 se encuentra siempre activo y actúa automáticamente sistema 2 se encuentra normalmente en un modo de mínimo esfuerzo utilizando solo una porción de su capacidad. El sistema 1 continuamente realiza sugerencias al sistema 2: impresiones, intuiciones, intenciones y sensaciones. Si el sistema 2 las aprueba, las impresiones e intuiciones se tornan creencias y los impulsos, acciones voluntarias. el sistema 1 nunca puede desconectarse y tiene sesgos y errores sistemáticos Al trabajar ambos sistemas en forma conjunta, donde cada sistema posee diferentes formas de pensamiento y objetivos, se generan conflictos que afectan las decisiones 108 Ejercicio 1. Juan tiene utilidad dada por log(x), una riqueza estimada en 1M y un auto de 300 mil. La compañía de seguros le ofrece un seguro contra todo riesgo por una prima de 3%. La probabilidad que Juan tenga una accidente y gatille el seguro es de 2%. ¿Se asegura Juan? ¿Cuanto? Proposición 1. Un agente averso al riesgo se asegura por completo si la prima es actuarialmente justa 2. Suponga ahora que la compañía le ofrece a Juan un seguro más barato, con una prima de 2% pero con un deductible (franquicia) de 5% del valor del vehículo. ¿Qué hace Juan?
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