02 Modulo 2 Decisiones Bajo Incertidumbre Parte 2

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Profesor Sebastián Auguste
sauguste@utdt.edu
Teoría de las Decisiones
Módulo 2. Decisiones bajo 
incertidumbre
EMVT
 Pascal propuso el valor esperado para resolver problemas bajo 
incertidumbre. Esto se llama Expected MonetaryValueTheory
(EMVT)
 ¿Qué está detrás de la regla de Valor Esperado?
 Juego. Tirar una moneda balanceada gano $1 si sale cara, gano $2 
si sale ceca
 X es una variable aleatoria (el experimento) que puede generar los 
valores x1=1 o x2=2 con probabilidades 0,5 y 0,5.
 Veamos el pago esperado y hagamos un experimento tirando 5 
veces la moneda:
 N=5
 Muestra: {X1, X2, X3, X4, X5 }= {1, 1, 2, 1, 2}
MEDIA MUESTRAL vs E(X)
Media muestral Media Poblacional
ത𝑋 =
1 + 1 + 2 + 1 + 2
5
ത𝑋 =
3
5
∗ 1 +
2
5
∗ 2
 E(X)=0,5 * 1 + 0,5 * 2
𝜇 =
1
2
∗ 1 +
1
2
∗ 2

=
=
=+==
n
i
ii
X
xpx
xXpxxXpx
1
2211
)(
)()(
ത𝑋 =
σ𝑖=1
𝑁 𝑋𝑖
𝑁
La media muestral es un promedio simple de los valores obtenidos en la muestra 
Xi, pero se puede escribir como un promedio ponderado de los valores posibles xi
Sobre el valor esperado para tomar decisiones
 Al ser un promedio de largo plazo, es lo que podría ganar si 
juego muchas veces lo mismo. Para un diariero que quiere 
decidir cuantos diarios comprar tiene sentido.
 A veces decidimos sobre situaciones que nunca más van a 
pasar, y me puede interesar tener una idea que cuanto se 
puede desviar el valor que puedo obtener de lo que espero, 
con qué riesgo obtengo ese valor esperado
 El riesgo dependerá del rango de valores que pueden suceder 
(sus desvíos desde lo que espero) y sus probabilidades. 
Ejemplo
 ¿Qué producto elijo, A o B?
0.5 Se extiende la cuarentena
2
>>> Producto A
1 1 0.5 No se extiende
0
1 0.5 Se extiende la cuarentena
1 1002
>>> Producto B
1 1 0.5 No se extiende
-1000
 Podemos discutir cómo medir el “riesgo” y vimos que no hay 
una única forma.
 Claramente además de cómo podemos medir el riesgo, están 
las preferencias de las personas frente al riesgo.
 Hay gente que está dispuesta a tomar más riesgo que otra. 
Además, de acuerdo a tus preferencias tal vez mires una 
medida de riesgo y no otra (por ejemplo, el VaR en lugar del 
Desvío Estándar)
 A continuación discutimos como incluir en el análisis las 
preferencias, y esto lo introdujo el matemático Bernoulli
Pascal había introducido el concepto de Valor Esperado para modelar la 
toma de decisiones bajo incertidumbre, pero luego de varios años Nicolás 
Bernoulli, otro matemático, mostró que el argumento de Pascal no estaba 
del todo bien 
1653 
Pascal
1713 
Bernoulli
Paradoja de San Petersburgo
29
 Nicolás Bernoulli (1713) puso dudas con el argumento de 
Pascal de usar el Valor Esperado planteando una paradoja:
“El casino de San Petersburgo lanza un nuevo juego en el cual 
un jugador individual lanza repetidamente una moneda hasta 
que salga cara por primera vez, el pago es 2^n ducados 
siendo n el último lanzamiento.”
 ¿Cuál es la disposición máxima a pagar (DAP) por jugar este 
juego?
 Lo paradójico es que la gente no está dispuesta a pagar 
mucho, pero si siguiéramos a Pascal, podríamos computar el 
Valor Esperado como una medida de lo que la gente espera 
obtener y por ende lo que estaría dispuesto a pagar. Pero en 
este juego el valor esperado es infinito!!!! Puedo ganar en el 
primer intento, en el segundo, en el tercero, y así al infinito:
 Lo paradójico que en un juego con valor esperado infinito la 
gente no quiere gastar mucho para jugar este juego 
“fantástico”
 Bernoulli planteó la paradoja, pero no tenía respuesta, con lo 
cuál quedó así, como que algo estaba mal con la Regla de 
Valor Esperado de Pascal, pero no teníamos otra alternativa
 Varias décadas después apareció el primo de Nicolás, Daniel 
Bernoulli, y planteó una solución y un libro con sus ideas.
 Las malas lenguas dicen que otro matemático, Cramer, había 
tenido la idea antes.
 Daniel Bernoulli (1738), primo de Nicolás, 
plantea una solución a la paradoja en 
Specimen theoriae novae de mensura sortis
“The determination of the value of an item must not be based on the 
price, but rather on the utility it yields…. There is no doubt that a 
gain of one thousand ducats is more significant to the pauper than 
to a rich man though both gain the same amount.”
 Gabriel Cramer (1728) propuso antes 
algo similar: “the mathematicians estimate 
money in proportion to its quantity, and men
of good sense in proportion to the usage 
that they may make of it.”
Y yo que pensaba que los peinados feos eran 
exclusivos de los 80s….
 Resolución a la paradoja: USAR utilidad esperada en lugar de 
valor monetario esperado

=
=
=++=+==
n
i
ii
nn
xpx
xXpxxXpxxXpxXE
1
2211
)(
)(...)()()(

=
=
=++=+==
n
i
ii
nn
xpxu
xXpxuxXpxuxXpxuXUE
1
2211
)()(
)()(...)()()()()(
En el juego
 Pero usando enfoque de Utilidad Esperada
=++= ...
2
1
2
2
1
2
2
1
2)(
3
3
2
2XE
4142.2...
2
1
2
1
2
1
...
2
1
2
2
1
2
2
1
2)(
32
3
3
2
2
+





+





+=
+++=XUE
Una función de utilidad cóncava lo que hace es que a medida que sube el pago 
monetario, la utilidad va subiendo pero a una tasa decreciente, de esta forma se 
resuelve la paradoja, porque la probabilidad va cayendo más rápido de lo que sube 
la utilidad
u(M)
M
4
3
2
1
0
$100 $250 $500 $1,000
¿Qué significa?
 El concepto que introduce Bernoulli es el que se usa hoy en 
día en economía. Modelamos a los consumidores como 
tomando decisiones para maximizar su utilidad, y la utilidad 
es creciente (más es mejor que menos) pero a tasa 
decreciente (cóncava): esto quiere decir que lo que ganas en 
utilidad por tener 1000 pesos más depende de tu nivel de 
riqueza. Si tenés poca plata, vas a estar choco, si sos Bill 
Gates, no vas a valorar tanto 1000 pesos más 
La concavidad implica que lo que sube la utilidad cuando les das 100 pesos extra a 
alguien pobre es mucho mayor que si se lo das a alguien rico (utilidad marginal 
decreciente)
u(M)
M
4
3
2
1
0
$100 $200 $1,000
¿Qué significa?
$1,100
Sube en 100 
su riqueza
Sube en 100 
su riqueza
Aumento 
en 
utilidad
 El Enfoque de Utilidad Esperada de Bernoulli es más general 
que el de Valor Esperado de Pascal. De hecho Pascal es un 
caso particular cuando la función de utilidad es lineal, es 
decir u(x)=x.
 Decimos que si tu función es lineal, no te importa el riesgo, 
por lo que la persona es “neutral al riesgo”
 Las personas pueden ser aversas al riesgo (todos caemos acá), 
neutrales al riesgo (a veces se piensa que las empresas lo son) 
y amantes al riesgo (los amantes no existen!)
Preferencias posibles frente al riesgo
 Averso al riesgo
 Neutral al riesgo
 Amante al riesgo
u(M)
M
u(M)
M
u(M)
M
…
Aversión al riesgo. Desigualdad de Jensen
 Una persona es aversa al riesgo si en el momento de enfrentarse a 
una lotería L, 
p x1 
L
1-p x2
prefiere obtener con seguridad una suma de dinero igual a la 
ganancia esperada de esta lotería.
 Definamos m=p*x1+(1-p)*x2 como la ganancia esperada
 La persona es “aversa al riesgo” si 
u(m)> p*u(x1)+(1-p)*u(x2) 
Conocida como desigualdad de Jensen
Aversión al riesgo
Grado de aversión al riesgo varía entre personas. Existen dos 
medidas de la aversión al riesgo:
1. Arrow–Pratt measure of absolute risk-
aversion (ARA)
2. Arrow–Pratt measure of relative risk-aversion (RRA)
Ejemplos de funciones usualmente utilizadas
 Raiz n-ésima 𝑢 𝑥 = 𝑛 𝑥
 Log utility u(x)=log(x) (DARA)
 Exponential utility (CARA)
 Hyperbolic absolute risk aversion (HARA)
Primas de riesgo
 Prima de riesgo: monto de plata (w) que hay que darle a una 
persona aversa al riesgo para que acepte una lotería L con 
riesgo.
 Supongamos el consumidor tiene $m
 Sea:
m = p*x1+(1-p)*x2 
u(m)> p*u(x1)+(1-p)*u(x2)
La prima de riesgo w cumple con:
u(m)= p*u(x1+w)+(1-p)*u(x2+w)Equivalente cierto
 La persona tiene una lotería L, 
p x1 
L
1-p x2
 Equivalente cierto “e” es el monto de dinero (seguro) que la 
persona aceptaría a cambio de la lotería L. Es decir
u(e)= p*u(x1)+(1-p)*u(x2)
46
Payoff
Utility
100
0.5
200
0.5
150
La utilidad de tener $150 seguro…
U(150)
…es mayor que el valor esperado de 
una lotería que tiene un pago 
monetario esperado igual de $150.
EU(Game)
U(100)
U(200)
EU(x)= p u(x1)+(1-p) u(x2) 
47
Payoff
Utility
100
0.5
200
0.5
150
U(150)
EU(Game)
U(100)
U(200)
EC
Además, un individuo averso al riesgo está
dispuesto a pagar un premio para sacarse el riesgo
de encima. CE: Certainty Equivalent
Ejercicio
1. Juan tiene utilidad dada por log(x), una riqueza estimada en 
1M y un auto de 300 mil. La compañía de seguros le ofrece
un seguro contra todo riesgo por una prima de 3%. La 
probabilidad que Juan tenga una accidente y gatille el seguro
es de 2%. ¿Se asegura Juan? ¿Cuanto?
 Proposición 1. Un agente averso al riesgo se asegura por
completo si la prima es actuarialmente justa
2. Suponga ahora que la compañía le ofrece a Juan un seguro
más barato, con una prima de 2% pero con un deductible 
(franquicia) de 5% del valor del vehículo. ¿Qué hace Juan?
Teoría axiomática
1653 Pascal
1713 
Bernoulli
1738 D. 
Bernoulli
1944 von 
Neumann y 
Morgenstern
 Luego de muchos años, dos matemáticos, Von Neumann y 
Morgensten, dan una teoría axiomática a la Utilidad 
Esperada. 
 La gente no tiene una función de utilidad en la cabeza, sino 
que es una modelización que hacemos nosotros. Lo que la 
gente tiene y se puede observar son preferencias, que pueden 
ordenar las cosas. Ellos se preguntan que condiciones deben 
cumplir las preferencias de las personas para que exista un 
enfoque de utilidad esperada que pueda modelizar su 
comportamiento.
 Estos se los conocen como los axiomas de Utilidad Esperada
Axiomas de Utilidad Esperada
 Preferencias sobre loterías deben ser:
 Completas (ante dos alternativas, la gente puede decir cuál 
prefiere o decir que está indiferente)
 Transitivas (si x>y, y>z entonces x>z)
 Continuas (que respeten cierta consistencia)
 Satisfacer el Axioma de Independencia de la Alternativa 
Irrelevante
 Si agrego una lotería irrelevante, el consumidor no se confunde en su 
decisión
 Puede computar correctamente probabilidades
Axiomas de Utilidad Esperada
von Neumann y Morgenstern
52
 vNM prueban que si se cumplen los siguientes 4 supuestos sobre las 
preferencias sobre loterias (ahora X, Y, Z son loterías):
➢Completas : X ≿ Y o X ≿ Y o XY
➢Transitivas : X ≿ Y, Y ≿ Z entonces X ≿ Z
➢Continuas: 
➢Cumplen el Axioma de Independencia: Para todo a1, a2, a3 y  (0 <  < 1), 
a1 ≿ a2 iff [ a1 + (1-)a3] ≿ [ a2 + (1-) a3]
(i.e. las preferencias entre a1 y a2 son independientes de a3).
Entonces existe una función de utilidad esperada del tipo
EU(x)= p u(x1)+(1-p) u(x2) 
que representa a las preferencias de los individuos por las loterías
 El Axioma de Independencia de la Alternativa Irrelevante 
implica
 El consumidor puede reducir loterías compuestas (esto es puede 
computar correctamente probabilidades) y
 Si agrego una lotería irrelevante, el consumidor no se confunde en su 
decisión
Axioma de Independencia de la Alternativa 
Irrelevante implica dos cosas
1. Reducción de loterías compuestas
Dadas 2 loterías
Se forma una lotería de loterías (llamada lotería compuesta)
t
1-t
 El consumidor debe se capaz (usando leyes de probabilidades) 
reducir la lotería compuesta a:
𝑧1con probabilidad 𝑡 × 𝑝1 + (1 − 𝑡) × 𝑟1
𝑧2con probabilidad 𝑡 × 𝑝2 + (1 − 𝑡) × 𝑟2
𝑧3con probabilidad 𝑡 × 𝑝3 + (1 − 𝑡) × 𝑟3
Axioma de Independencia de la Alternativa 
Irrelevante implica dos cosas
2. Independencia de Alternativa Irrelevante
Dadas 2 loterías 
𝐿1 = 𝑝, 1 − 𝑝 ; 𝑋1, 𝑋2
𝐿2 = 𝑞, 1 − 𝑞 ; 𝑌1, 𝑌2
Si 𝐿1 ≻ 𝐿2 entonces la nueva lotería formada agregando con 
probabilidad 1 − 𝛼 un monto de dinero $m a ambas debe 
cumplir
𝛼𝐿1 + 1 − 𝛼 𝑚 ≻ 𝛼𝐿1 + 1 − 𝛼 𝑚
 Si se cumplen los axiomas previos, la gente elige bajo 
incertidumbre como si maximizara una función de utilidad
esperada.
 Max EU(x)= p u(x1)+(1-p) u(x2) 
 u() se llama función de utilidad de Bernoulli, y EU es la 
utilidad esperada de von Neumann.Morgensten
 Notar que u() es la misma en los dos estados de la naturaleza, 
y si tuvieramos más, en todos. Esto quiere decir que las 
preferencias de las personas no se ven afectadas por el estado
en el que está (state independent)
57
Desafíos con el enfoque de utilidad esperada
 Hay que conocer la función de utilidad.
 Implica cierta racionalidad de las personas que no siempre se
cumple.
 Tal vez pedirle a la persona ser racional en un contexto de 
incertidumbre es mucho.
 A menudo se asume la firma es neutral al riesgo (porque ya está 
diversificada o simplemente porque es su negocio tomar riesgo en 
esa actividad)
 Pregunta: ¿por que empresas petroleras hacen actividades de riesgo y 
usan árboles de decisiones pero luego a la hora de manejar su 
tesorería son muy conservadores?
 Existen métodos para imputar una función de utilidad
Formas de estimar la aversión al riesgo
1. Laboratorio, dándole a la persona a elegir entre 
distintas loterías para ir construyendo la u(x)
2. Calibrando una función (e.g. Exponential Utility
Function)
3. Psicometric tests
4. Neurociencia (right inferior frontal gyrus)
5. Econometrics: estimar con datos de la realidad
Método 1. Laboratorio
 Son pruebas controladas donde se le dan loterías abstractas.
 La discusión es si las decisiones en este contexto son similares 
a las que hacen en la vida real.
 Harrison, List & Towe (2007) dice que para juegos sencillos 
sí, pero no para nonmonetary outcomes. 
Naturally Occurring Preferences and Exogenous Laboratory Experiments: A Case Study of Risk Aversion
Glenn W. Harrison, John A. List and Charles Towe, Econometrica, Vol. 75, No. 2 (Mar., 2007), pp. 433-458
Ejemplo de laboratorio
 Darle opciones y que ordene todos los pagos de mejor a peor. 
 Fijar el peor pago en 0 y el mejor en 1 y luego para todos los 
otros pagos preguntar, ¿para que p estás indiferente entre:
 M es el pago intermedio al cual se le quiere asignar una utilidad
 Si contesta p=0.2, entonces u(M)=0.2
 Y así para cada uno de los pagos intermedios…
Mejor Pago
Peor Pago
p
1-p
M
1
62
Ejemplo puntual
 Cacho heredo $1000.
 Debe decidir en que invertir por un año.
 Un broker le sugirió que considere.
 Gold
 Junk Bond
 Growth Stock
 Certificate of Deposit
63
Matriz de escenarios y pagos
Payoff Table
Large Rise Small Rise No Change Small Fall Large Fall
Gold -100 100 200 300 0
Bond 250 200 150 -100 -150
Stock 500 250 100 -200 -600
C/D Account 60 60 60 60 60
d5
d6
d7
d8
Probability 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
Criteria Decision Payoff
Maximin C/D Account 60
Minimax Regret Bond 400
Maximax Stock 500
Insufficient Reason Gold 100
EV Bond 130
EVPI 141
RESULTS
64
Para determinar utilidad
 Ordeno los pagos
 Pagos (max=$500 min=-$600).
 Asgino u(500)=1 y u(-600)=0
 Luego pregunto probabilidades y voy completando
Payoff -600 -200 -150 -100 0 60 100 150 200 250 300 500
Prob. 0 1
65
Determine utilidad
Para -200 pregunto, que p te deja indiferente entre
Payoff -600 -200 -150 -100 0 60 100 150 200 250 300 500
Prob. 0 0.25 1
500
-600
p
1-p
-200
1
66
Determine utilidad
 Hasta completar todos los pagos con sus respectivas utilidades
Payoff -600 -200 -150 -100 0 60 100 150 200 250 300 500
Prob. 0 0.25 0.3 0.36 0.5 0.6 0.65 0.7 0.75 0.85 0.9 1
67
Reexpreso matriz de pagos en utilidades y 
resuelvo para la Utilidad Esperada
Utility Analysis Certain Payoff Utility
-600 0
Large Rise Small Rise No Change Small Fall Large Fall EU -200 0.25
Gold 0.36 0.65 0.75 0.9 0.5 0.632 -150 0.3
Bond 0.85 0.75 0.7 0.36 0.3 0.671 -100 0.36
Stock 1 0.850.65 0.25 0 0.675 0 0.5
C/D Account 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 60 0.6
d5 0 100 0.65
d6 0 150 0.7
d7 0 200 0.75
d8 0 250 0.85
Probability 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 300 0.9
500 1
RESULTS
Criteria Decision Value
Exp. Utility Stock 0.675
Método 2. Calibrando. Ejemplo de 
Exponential Utility Function
 Para una persona aversa al riesgo se postula una función
 Y el parámetro R se obtiene de preguntar: para que R está indiferente 
entre estas dos loterías?
 Simple Decision Tree usa
 Por lo que gamma=1/R
R
-R/2
0.5
0.5
0
1
vs








−=
−
R
M
eRMu 1)(
(aproximadamente)
( )MeMu −−= 1)(
Método 3. Psicometría
 http://testyourself.psychtests.com/testid/2122
http://testyourself.psychtests.com/testid/2122
Otros ejemplos
 http://www.humanmetrics.com/risk-taking/quiz
 Balanz Perfil del inversor 
 https://www.balanz.com/perfil-inversor
 Santander Rio
 http://www.santanderrio.com.ar/banco/online/personas/inv
ersiones/test-del-inversor
 https://www.conletragrande.cl/educacion-
financiera/quieres-conocer-tu-nivel-de-tolerancia-al-riesgo-
haz-este-test-de-tolerancia
http://www.humanmetrics.com/risk-taking/quiz
https://www.balanz.com/perfil-inversor
http://www.santanderrio.com.ar/banco/online/personas/inversiones/test-del-inversor
https://www.conletragrande.cl/educacion-financiera/quieres-conocer-tu-nivel-de-tolerancia-al-riesgo-haz-este-test-de-tolerancia
El volumen de la materia gris de una región 
de la corteza parietal posterior derecha es 
significativamente predictivo de las actitudes 
de riesgo individuales. 
Los hombres y las mujeres con un mayor 
volumen de materia gris en esta región 
exhibieron menor aversión al riesgo.
A medida que la gente envejece, se vuelve 
más aversa al riesgo, y esto está relacionado 
con el hecho de que la corteza se adelgaza 
considerablemente con la edad.
Método 4. Imágenes
Adolescentes y el riesgo
 teens tend to wildly overestimate certain risks
 greater tolerance to uncertainty and ambiguity
 More rational thinking!
 adolescents carefully think about risks most adults wouldn’t 
even consider taking — like, say, playing Russian roulette —
using their prefrontal cortex. They use quantitative reasoning 
and take about twice as long as adults do before responding, 
while adults immediately have a negative reaction to such 
risks, stemming intuitively from the insula, and almost 
automatically say no.
Sesgos
 Se ha estudiado mucho si la gente realmente satisfice esos
axiomas, y se ha encontrado mucha evidencia que no 
siempre.
 La gente muchas veces hace mal probabilidades y se sesga
facilmente como vimos al inicio del curso.
 En todo caso, si queremos tomar buenas decisiones, usar este 
enfoque nos va a ayudar a pensar en forma más racional