polinomios-fracciones-algebraicas

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Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 1 
TEMA 3 – ÁLGEBRA 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
EJERCICIO 1 : Factoriza los siguientes polinomios: 
a) 2x4 −−−− 18x 2 b) x 4 −−−− x 3 −−−− x 2 −−−− x −−−− 2 c) x 3 −−−− 13x 2 ++++ 36x 
d) 2x 3 −−−− 9x 2 −−−− 8x ++++ 15 e) x 5 ++++ x 4 −−−− 2x 3 e) x 3 −−−− 3x ++++ 2 
 
Solución: 
a) Sacamos factor común y tenemos en cuenta que a2 − b2 = (a + b) (a − b): 
 2x4 − 18x2 = 2x2 (x 2 − 9) = 2x 2 (x + 3) (x − 3) 
b) Utilizamos la regla de Ruffini: 
 1 −1 −1 −1 −2 
−1 −1 2 −1 2 
 1 −2 1 −2 0 
2 2 0 2 
 1 0 1 0 
 
x 4 − x 3 − x 2 − x − 2 = (x + 1) (x − 2) (x 2 + 1) (El polinomio x 2 + 1 no tiene raíces reales). 
c) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación de segundo grado: 
( )x x x x x x
x
x x x
x
− + = − +
=
± − ± ±− + = → = = =
=
3 2 2
2
13 36 13 36
9
13 169 144 13 25 13 5
13 36 0
2 2 2
4
ƒ
‚
 
Por tanto: x 3 − 13x 2 + 36 x = x (x − 9) (x − 4) 
d) Utilizamos la regla de Ruffini: 
 2 −9 −8 15 
1 2 −7 −15 
 2 −7 −15 0 
5 10 15 
2/34/6x
5x
4
137
4
1697
4
120497
x015x7x2 2
−=−=
=±=±=+±=⇒=−− 
2x 3 − 9x 2 − 8x + 15 = 2(x − 1) (x − 5) (x + 3/2) 
e) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación: 
x 5 + x4 − 2x3 = x 3 (x 2 + x − 2) 
=
− ± + − ± − ±+ − = → = = =
= −
2
1
1 1 8 1 9 1 3
2 0
2 2 2
2
x
x x x
x
ƒ
‚
 
Por tanto: x 5 + x4 − 2x3 = x 3 (x − 1) (x + 2) 
f) Utilizamos la regla de Ruffini: 
 1 0 −3 2 
1 1 1 −2 
 1 1 −2 0 
1 1 2 2x
1x
2
31
2
91
2
811
x02xx2
−=
=±−=±−=+±−=⇒=−+ 
x 3 − 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2) 
 
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESTO 
 
EJERCICIO 2 : Halla el valor de k para que la siguiente división sea exacta: ( ) ( )23 2 2x kx x+ − : ++ − : ++ − : ++ − : + 
Solución: Llamamos P(x) = 3x 2 + kx − 2. 
Para que la división sea exacta, ha de ser P(−2) = 0; es decir: P(−2) = 12 − 2k − 2 = 10 − 2k = 0 → k = 5 
 
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 2 
FRACCIONES ALGEBRAICAS 
EJERCICIO 3 : Simplifica las siguientes expresiones algebraicas: 
a) 
23
345
3
96
xx
xxx
+
++
 b) 
xxx
xx
23 23
3
++
−
 c) 
xxx
xxx
23
2
23
23
+−
−− d) 
xxx
xxx
+−
−+−
23
23
2
133
 e) 
24
234
9
32
xx
xxx
−
−−
Solución: 
a) 
( )
( )
( )
( ) ( ) xxxxxx
xx
xx
xxx
xx
xxx
33
3
3
3
96
3
96 2
2
23
2
23
23
345
+=+=
+
+=
+
++=
+
++
b) 
( )
( )
( )( )
( )( ) 2
1
21
11
23
1
23 2
2
23
3
+
−=
++
+−
=
++
−=
++
−
x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xx
c) 
( )
( )
( )( )
( )( ) 1
1
12
12
23
2
23
2
2
2
23
23
−
+=
−−
+−
=
+−
−−=
+−
−−
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
d) 
( )
( ) x
x
xx
x
xxx
xxx 1
1
1
2
133
2
3
23
23 −=
−
−=
+−
−+−
e) 
( )
( )
( )( )
( )( ) 3
1
33
13
9
32
9
32
2
2
22
22
24
234
+
+=
+−
+−
=
−
−−=
−
−−
x
x
xxx
xxx
xx
xxx
xx
xxx
EJERCICIO 4 : Efectúa las siguientes operaciones y simplifica: 
a) 






+−−
−⋅





−
−
+
−
161
3
1
12
2
3
xx
xx
x
x
x
x b) 
4
1
2
13
2
2
2 −
−
+
−+
− xx
x
x
x
c) 
( )
( )22
2
1
3
1
1
2
1
+
−
−
⋅−
x
x
x
x
d) 
( ) 1
1
1
2
1
1
22 −
+
−
+
− xxx
e) 






−
+⋅





+
−
11
23 2
x
xx
x
x
x
Solución: 
a) 
( )( ) ( )
( )( ) =+−−
−⋅
−+
+−−−
=








+−−
−⋅





−
−
+
−
1x6x
xx
1x1x
1xx31x1x2
1x6x
xx
1x
x3
1x
1x2
2
3
2
3
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x
1x6x
1x1xx
1x1x
1x6x
1x6x
1x1xx
1x1x
x3x31xx2x2
2
2
2
22
=
+−−
+−⋅
−+
+−−=
+−−
+−⋅
−+
−−+−−
b) 
( ) ( )( )
4x
3x11x
4x
12xx6x3x4x2
4x
1
4x
2x1x3
4x
2xx2
4x
1
2x
1x3
2x
x2
2
2
2
22
2222 −
−+−
=
−
−−++−+=
−
−
−
−−
−
−
+=
−
−
+
−+
−
c) 
( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
2
22
2
22
2
1x2
1x6x
1x2
x61x
1x
x3
1x2
1x
1x
x3
1x1x2
1x
1x
x3
1x
1
2
1x
+
−−=
+
−−=
+
−
+
−=
+
−
+−
−=
+
−
−
⋅−
d) 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
=
+−
−+−++=
+−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
− 1x1x
1x1x21x
1x1x
1
1x
2
1x
1
1x
1
1x
2
1x
1
2
2
222
( ) ( ) ( ) ( )1x1x
2x2x2
1x1x
1x2x21x
2
2
2
2
+−
−+=
+−
−+−++
e) 
( )
( ) ( )
( )
1x
3x3x2
1x
1xx
1xx
x23x3
1x
xx
1xx
x21x3
1x
xx
1x
x2
x
3 22222
−
++−=
−
+⋅
+
−+=
−
+⋅
+
−+=
−
+⋅





+
−