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LABORATORIO DE MECÁNICA Y TERMODINÁMICA
(GRADO EN CIENCIAS)
MOVIMIENTO CIRCULAR
1. OBJETIVOS
Estudiar el movimiento circular uniforme.
Estudiar el movimiento circular uniformemente acelerado.
Estudiar la dinámica de rotación de un sólido rígido y determinar su momento de inercia.
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
El movimiento circular es un movimiento curvilíneo cuya trayectoria es un círculo. Es, por ejemplo, el
movimiento de cualquier punto de un disco o de una rueda en rotación. Como primera aproximación,
es el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra y del electrón alrededor del protón en un átomo
de hidrógeno. Debido a la rotación diaria de la Tierra, todos los cuerpos que están en su superficie
tienen un movimiento circular en relación con el eje de rotación terrestre.
El movimiento circular es especialmente importante en el estudio del movimiento de un sólido
rígido ya que los puntos en un sólido rígido están a una distancia constante y si tomamos uno como
referencia el resto sólo pueden realizar trayectorias circulares respecto a él.
2.1. Movimiento circular uniforme
Como ya se ha visto en el aula, si tenemos un movimiento en un plano donde la trayectoria está
siempre a la misma distancia de un punto fijo estaremos hablando de un movimiento circular y lo
podremos describir a partir de la velocidad angular, ω.
La velocidad angular es la derivada del ángulo que forma el radio con un eje en el plano del
movimiento en función del tiempo:
ω =
dθ
dt
(1)
Figura 1: Relación entre la veloci-
dad y el vector velocidad angular.
Esta cantidad es escalar, pero podemos hacer de ella una mag-
nitud vectorial asociándole la dirección perpendicular al plano
del movimiento de forma que
~v = ~ω × ~r (2)
donde ~v es la velocidad, siempre tangente a la trayectoria, y ~r es
el vector que va desde el origen del sistema de referencia hasta
el punto donde queremos saber la velocidad del movimiento, ver
figura 1.
Cuando se trata de un movimiento circular uniforme la ve-
locidad angular, ω, es constante, por tanto podemos integrar la ecuación (1) y obtener el ángulo en
función del tiempo como
θ = θ0 + ω t (3)
donde theta0 es el ángulo que forma con el eje de referencia a tiempo cero.
1
Por otro lado, si el movimiento se da en un plano el módulo del vector posición es el radio de la
trayectoria |~r| = R y el módulo de la velocidad se escribe como:
v = Rω (4)
naturalmente, si nos fijamos en la ecuación (2) y en la figura 1, ni la velocidad, ~v, ni el vector
posición, ~r, son constantes a lo largo de la trayectoria, pero en la ecuación (4) nos estamos refiriendo
únicamente a sus módulos.
Conviene recordar en todo caso que un movimiento circular uniforme siempre está acelerado. la
aceleración normal es no nula, ya que la velocidad al ser siempre tangente a la trayectoria nunca
puede ser constante, aunque su módulo si lo sea.
2.2. Movimiento circular uniformemente acelerado
Un movimiento circular uniformemente acelerado estará caracterizado por una aceleración angular
constante. Definimos la aceleración angular como:
α =
dω
dt
(5)
donde, siendo la aceleración angular constante, se puede integrar para obtener la velocidad angular
en función del tiempo como
ω = ω0 + α t (6)
con ω0 la velocidad angular a tiempo cero, y el ángulo con respecto a un eje de referencia
θ = θ0 + ω0 t+
1
2
α t2 (7)
De nuevo, podemos asignar un carácter vectorial a la aceleración angular en la dirección perpen-
dicular al plano del movimiento y su producto vectorial con el vector posición nos da como resultado
la aceleración tangencial o paralela:
~a‖ = ~α× ~r (8)
la cual recordamos que es tangente siempre a la trayectoria y su módulo da cuenta de la variación
del módulo de la velocidad con el tiempo
a‖ =
dv
dt
(9)
Naturalmente, al tratarse de un movimiento circular la aceleración completa será la suma de la
tangencial y la perpendicular.
2.2.1. Dinámica de rotación de un sólido rígido
Si tenemos un sólido rígido que no se puede trasladar entonces el único movimiento que podrá
tener es la rotación en torno a un eje. Para que el cuerpo comience a moverse ha de ejercerse sobre
el una fuerza de forma que ejerza un momento o torque.
El momento de una fuerza es:
~M = ~r × ~F (10)
donde ~r es el vector que va del eje de movimiento hasta el punto donde está aplicada la fuerza. Por
otro lado, si el movimiento del sólido rígido se da en un plano, podemos escribir el momento de la
fuerza de forma similar a la segunda ley de Newton como:
~M = I ~α (11)
donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro y α la aceleración angular.
Si igualamos las ecuaciones (10) y (11) obtendremos una relación entre la fuerza aplicada, el
punto de aplicación y la aceleración angular de donde se podrá obtener el momento de inercia:
~r × ~F = I ~α (12)
2
3. MATERIAL
Figura 2: Material del laboratorio
En la figura 2 el material de laboratorio:
1. Puerta fotoeléctrica.
2. Soporte para la varilla.
3. Varilla.
4. Fuente de alimentación.
5. Motor.
6. Correa de transmisión.
7. Cables.
8. Polea con fijación en el extremo de la mesa.
9. Porta-masas.
10. Masas para colgar sobre el porta-masas.
11. Cuerda.
12. Regla graduada.
13. Calibre.
El material puede no coincidir exactamente con el dispuesto en el laboratorio.
Figura 3: Material del laboratorio
La puerta fotoeléctrica permite tomar distin-
tas medidas según esté dispuesta el interruptor
en cada una de sus posiciones:
t1 (Count): en esta posición la puerta con-
tará las veces que algún objeto la atraviesa.
t2: da el tiempo, en segundos, que tarda un
objeto en atravesarlo.
t3: da el tiempo, en segundos, entre que
pasan dos objetos.
t4: da el tiempo, en segundos, entre que
pasan tres objetos.
Para cambiar de un modo a otro aparte de mover el interruptor hay que presionar al botón set, que
pone el dispositivo a cero, el número de puntos que aparece en la pantalla de la puerta fotoeléctrica
indica en que posición está de las cuatro anteriores.
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4. MÉTODO EXPERIMENTAL
4.1. Movimiento circular uniforme
Realizad el montaje de la figura 4
Figura 4: Montaje experimental para el estudio del movimiento circular uniforme
Medid la distancia entre el eje de giro y el sensor de la puerta fotoeléctrica. Esta medida se
usará para verificar que nuestro experimento es correcto después de analizarlo.
Medid el grosor de la varilla.
Unid el cilindro al motor mediante la correa de transmisión. Para reducir la velocidad usad el
carril de menor radio del motor.
Conectad el motor a la fuente de alimentación de corriente continua. Encended la fuente de
alimentación y ajustar el voltaje de modo que la varilla rote lo más lentamente posible pero
uniformemente, usad una corriente del orden de 0.02A y una diferencia de potencial entre 5V
y 10V.
Sin cambiar la alimentación del motor medid 4 veces el tiempo que tarda en pasar el extremo
de la varilla por la célula fotoeléctrica, t2.
Sin cambiar la alimentación del motor medid 4 veces el tiempo que tarda en dar la varilla una
vuelta entera, 2π rad, la posición de la varilla corresponde a t4.
Repetid el proceso para cinco velocidades diferentes.
En el anexo 4.1 podéis completar los datos experimentales correspondientes a esta parte del
experimento. No se debe olvidar en ningún caso no las incertidumbres de las medidas ni sus unidades.
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4.2. Movimiento circular uniformemente acelerado
Figura 5: Montaje experimental para el es-
tudio del movimiento circular uniformemente
acelerado
Realizad el montaje de la figura 5
Medid la distancia entre el eje de giro y el sensor
de la puerta fotoeléctrica. Esta medida puede
ser distinta a la anterior ya que se habrá tenido
que mover el soporte para el nuevo experimento.
Medid el grosor de la varilla, medida que es la
misma que se ha hecho anteriormente.
Medid el diámetro del cilindro donde irá enro-
llada la cuerda de la que colgará la masa que
hará moverse el sistema.
Enroscad la cuerda en el soporte de la varilla de
manera que al soltarse la masa observemos que
realmentela varilla empieza a girar aumentando
su velocidad. Comprobad que la varilla da varias
vueltas antes de pararse.
Partiendo de la situación en la que la varilla
parte a un ángulo de π/2 rad de la dirección en
la que se encuentra la célula fotoeléctrica, como
indica la figura 5, si situamos la célula fotoeléc-
trica en la posición t2 se obtendrá el tiempo que
el diámetro de la varilla tarda en cruzar la puer-
ta.
Si, sin parar el sistema, borramos este tiempo de la célula fotoeléctrica el siguiente tiempo
corresponderá al tiempo que tarda en pasar el grosor de la varilla tras recorrer 3π/2 rad.
Quitando los tiempos ya registrados se podrá obtener el tiempo de paso para el grosor de la
varilla tras recorrer distintos ángulos de la forma nπ + π/2.
Repetid el procedimiento para otra masa aceleradora. Usad como masas aceleradoras una de
40-50 g y la segunda unos 5-10 g más.
En el anexo 4.2 podéis completar los datos experimentales correspondientes a esta parte del
experimento. Dado que la medida de los ángulos no se corresponde a la dada por ningún aparato
de medida no consideraremos incertidumbres en las mismas. Con respecto a las masas que dan la
aceleración al sistema podemos tomar también únicamente sus valores nominales. No se debed olvidar
las incertidumbres el resto de medidas medidas, longitudes y tiempos, ni sus unidades.
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5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
5.1. Movimiento circular uniforme
1. La ecuación (4) relaciona el módulo de la velocidad con la velocidad angular. La velocidad
angular se puede obtener experimentalmente como:
ω =
2π
t4
(13)
mientras que el módulo de la velocidad a una distancia R del eje de giro será:
v =
d
t2
(14)
A partir de las ecuaciones (4), (13) y (14) escribid el periodo del giro, t4, en función del tiempo
de paso del diámetro de la varilla t2.
2. A partir de los datos experimentales configurad una nueva tabla donde a cada velocidad se le
asigne un único tiempo t̄2 y un único tiempo t̄4, ambos con sus incertidumbres y el método por
el que se han calculado.
3. Representad en una gráfica el periodo medio del movimiento circular t̄4 frente al tiempo medio
de paso de la varilla para esa velocidad t̄2. Realizad un ajuste mediante mínimos cuadrados de
los datos representados y obtened los parámetros de dicho ajuste (pendiente y ordenada en el
origen) teniendo en cuenta sus unidades e incertidumbres.
4. ¿Cuál es el significado físico de los parámetros de ajuste obtenidos en el apartado anterior?
5. Obtened a partir de los parámetros de ajuste el valor para la distancia entre el eje de giro y la
célula fotoeléctrica (considerad π = 3.14 ± 0.01). Comparad este valor con el medido al inicio
del experimento.
5.2. Movimiento circular uniformemente acelerado
1. En un movimiento circular uniformemente acelerado las ecuaciones (6) y (7) nos dan la velo-
cidad y el ángulo en función del tiempo. Considerando que el movimiento parte del reposo y
que los ángulos empiezan a contar desde su posición inicial escribid la expresión que relaciona
la velocidad angular con el ángulo recorrido.
Sustituid la expresión obtenida anteriormente en la ecuación (4) que relaciona el módulo de la
velocidad con la velocidad angular.
Como el módulo de la velocidad lo obtenemos experimentalmente con la ecuación (14). Escribid
el tiempo de paso del diámetro de la varilla, t2, en función del ángulo recorrido. Linealizad la
expresión aplicando logaritmos neperianos a ambos lados de la misma.
2. A partir de los datos experimentales configurad una nueva tabla, por cada masa, con el loga-
ritmo neperiano de los ángulos y el logaritmos neperiano de los tiempos, para estos últimos
calculad la incertidumbre e indicad el método por el que se han calculado.
3. Representad en una gráfica para cada masa ln t2 frente ln θ. Realizad un ajuste mediante míni-
mos cuadrados de los datos representados y obtened los parámetros de dicho ajuste (pendiente
y ordenada en el origen) teniendo en cuenta sus incertidumbres.
4. ¿Cuál es el significado físico de los parámetros de ajuste obtenidos en el apartado anterior?
5. Obtened a partir de los parámetros de ajuste el valor para cada masa el valor de la aceleración
angular del sistema.
6
5.2.1. Dinámica de rotación de un sólido rígido
Para determinar el momento de inercia del sistema formado por la varilla y el cilindro que giran
resolveremos el problema que muestra la figura 6 considerando que la polea y la cuerda son ideales.
Figura 6: Esquema de la dinámica
del movimiento acelerado
1. Obtened la expresión que relaciona el momento de inercia
de la varilla con la aceleración angular del sistema.
2. Obtened la expresión para la incertidumbre del momento
de inercia teniendo en cuenta que todas las magnitudes
salvo la masa aceleradora tienen incertidumbres.
3. Calculad para cada uno de los experimentos anteriores,
cada uno con su masa aceleradora y aceleración angu-
lar, el momento de inercia de la barra y el cilindro con
su incertidumbre (considerad la aceleración de la gravedad
g = (9.8± 0.1) m/s2).
4. Comparad los momentos de inercia obtenidos en cada caso.
¿Se debería obtener el mismo valor del momento de iner-
cia aunque la masa aceleradora sea distinta? Razonad la
respuesta.
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ANEXOS: Plantillas para la toma de datos experimentales
4.1. Movimiento circular uniforme
Grosor de la varilla: d =
Radio de giro (distancia del sensor de la puerta fotoeléctrica al eje de giro): R =
Tiempos de paso del grosor de la varilla, t2, y tiempos que la varilla tarda en dar una vuelta,
t4, para cinco velocidades de motor distintas controladas por la fuente de alimentación:
t2 t4
velocidad 1
velocidad 2
velocidad 3
velocidad 4
velocidad 5
8
4.2. Movimiento circular uniformemente acelerado
Grosor de la varilla: d =
Diámetro del cilindro donde se encuentra enroscada la cuerda: D =
Radio de giro (distancia del sensor de la puerta fotoeléctrica al eje de giro): R =
Tiempo de paso del grosor de la varilla, t2, tras recorrer distintos ángulos, θ, partiendo del
reposo para una masa aceleradora m1 =
θ rad t2
π/2
3π/2
5π/2
7π/2
9π/2
Tiempo de paso del grosor de la varilla, t2, tras recorrer distintos ángulos, θ, partiendo del
reposo para una masa aceleradora m2 =
θ rad t2
π/2
3π/2
5π/2
7π/2
9π/2
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	OBJETIVOS
	FUNDAMENTOS TEÓRICOS
	Movimiento circular uniforme
	Movimiento circular uniformemente acelerado
	Dinámica de rotación de un sólido rígido
	MATERIAL
	MÉTODO EXPERIMENTAL
	Movimiento circular uniforme
	Movimiento circular uniformemente acelerado
	ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
	Movimiento circular uniforme
	Movimiento circular uniformemente acelerado
	Dinámica de rotación de un sólido rígido
	Movimiento circular uniforme
	Movimiento circular uniformemente acelerado