Raíces Cuadradas

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Números famosos IV: Algunas raíces cuadradas. 
 
 
Introducción 
 
 En tres anteriores artículos hemos visto los tres números que llaman más la 
atención dentro de las matemáticas: pi, el número e y la razón áurea. Los tres son 
irracionales. 
 
En este artículos veremos otros irracionales también muy conocidos en las 
Matemáticas e incluso con sus nombres correspondientes. Empezaremos por: 
 
 La raíz cuadrada de 2 (constante pitagórica), el primer número irracional 
conocido de la Historia y en el que mencionaremos a Hipaso de Metaponto 
 
 Las raíces cuadradas de 3 (constante de Teodoro) y de 5, en el que se 
mencionarán a Teodoro de Cirene y Diofanto de Alejandría. 
 
 La razón plateada y el número plástico. 
 
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1.- Raíz cuadrada de 2. 
 
La raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo 
rectángulo cuyos catetos tienen una longitud 1. 
 
 
 
La raíz cuadrada de 2, también conocida como constante pitagórica, se denota a 
menudo como: 
 
 
 
Es un número real positivo que multiplicado por sí mismo da el número 2. Su valor es: 
 
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 
8073176679 3799… 
 
 
1.1. Historia e irracionalidad de raíz de 2. 
 
La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer número irracional conocido. 
Ocultaron su descubrimiento por razones místicas. Geométricamente es la longitud de 
la diagonal de un cuadrado de longitud unidad; el valor de la longitud de esta diagonal 
se puede averiguar mediante el Teorema de Pitágoras. Una aproximación fraccional 
más rápida era 99/70. 
 
Ya hay tablas babilónicas antes de Cristo que proporcionan una aproximación de 
con cuatro dígitos exactos: 
 
. 
 
También en la India, antes de Cristo, textos matemáticos (el Sulbasutras) diciendo: 
“Incrementa la longitud [del lado] por su tercera parte, y su tercera por su tres cuartas y 
su tercera por su treinta y cuatroava parte de cuatro”. Esto es: 
 
 
 
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Pero generalmente es el pitagórico Hipaso de Metaponto, el primero en demostrar 
(geométricamente) la irracionalidad de la raíz de 2. 
Hipaso de Metaponto fue un filósofo presocrático, miembro de la Escuela pitagórica. 
Nació en torno al año 500 a. C. en Metaponto, ciudad griega de la Magna Grecia 
situada en el Golfo de Tarento, al sur de lo que ahora es Italia. 
Fue este sabio griego quien probó la existencia de los números irracionales, en un 
momento en el que los pitagóricos pensaban que los números racionales podían 
describir toda la geometría del mundo. Hipaso de Metaponto habría roto la regla de 
silencio de los pitagóricos revelando en el mundo la existencia de estos nuevos 
números. Eso habría hecho que éstos lo expulsaran de la escuela y erigieran una 
tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto. 
 
Los documentos de la época dan versiones diferentes de su final. Parece ser que 
murió en un naufragio de circunstancias misteriosas; algunos dicen que se suicida 
como autocastigo, dejando así libertad a su alma para ir a buscar la purificación en 
otro cuerpo; otros dicen que un grupo de pitagóricos lo mataron, e incluso está la 
teoría que dice que Pitágoras (creía, hasta cerca del final de su vida, en la definición 
absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de 
los números irracionales) en persona lo condenó a muerte. 
Actualmente, gracias a algoritmos computacionales, han sido calculadas hasta 
137.438.953.444 cifras exactas. 
 
 
 
 
 
 
 
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En cualquier curso de Análisis Matemático se demuestra la irracionalidad de la raíz de 
2, mediante Reducción al absurdo. 
Se asume que: es un número racional. Por tanto existen dos números enteros a y 
b tal que se satisfaga que la fracción irreducible 
a / b = . 
, es decir, a y b son números primos entre sí; 
 (a / b)² = 2 
a² / b² = 2 
a² = 2 b². 
Por tanto a² es par y a debe ser número par. (Los números impares tienen raíces 
impares y los pares tienen raíces pares). Entonces existe un número entero k tal que 
satisface: a = 2k. Así la última ecuación queda 
2b² = (2k)² 
2b² = 4k² 
b² = 2k² 
Así, b² es también par lo que significa que b es par. Llegamos a contradicción con que 
la fracción inicial es irreducible. 
 
1.2. Propiedades 
 
 La mitad de , es aproximadamente 0,70710 67811 86548, y es una cantidad 
muy común en geometría y trigonometría: 
 
 
 
 
 
 Una propiedad interesante de la raíz cuadrada de dos es la que sigue: 
 
 
 
Este resultado es una propiedad de la razón plateada . 
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 La raíz cuadrada es conocida también como una fracción continua 
 
 
 
 
 Mediante productos infinitos y series nos queda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.- Raíz cuadrada de 3. 
 
La raíz cuadrada de 3 es igual a la longitud a través de los lados planos de un 
hexágono regular con los lados de la longitud 1. 
 
La raíz cuadrada de tres es un número real positivo que cuando es multiplicado por sí 
mismo da el número tres. Se denota por 
 
 
 
Su valor numérico por truncamiento con diez cifras decimales es de 
 
1,732050807568877193176604123437... 
 
Para calcularla hay varios métodos: 
 
 A partir de un cubo de arista 1. Su base tiene de diagonal 
 
; 
 
 
 
 
 
 
Así, formamos un nuevo triángulo rectángulo de base y altura 1, aplicando 
de nuevo el teorema de Pitágoras, la diagonal del cubo vemos que: 
 
; 
 
 
 
 
 Con la espiral de Teodoro. La raíz cuadrada de 3 es un número irracional. También 
se conoce como constante de Teodoro nombrada en honor de Teodoro de 
Cirene. 
 
 
 
 
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Teodoro de Cirene, fue un filósofo y matemático griego, nacido y fallecido en Cirene 
(Libia). Fue uno de los dos principales filósofos de la escuela moral de Cirene. 
 
Alumno de Protágoras y uno de los profesores de Teeteto y Platón vivió la mayor parte 
de su vida en Atenas donde tuvo contactos con Platón y Sócrates. Trabajó en campos 
tan diversos como la filosofía, la astronomía, la aritmética, la música y la educación. 
 
Pitagórico, creía que la alegría y el juicio eran la base para llegar a la felicidad. 
 
Es conocido sobre todo por su trabajo matemático, donde probó la irracionalidad de 
las raíces de los números enteros no cuadrados (2, 3, 5...) al menos hasta 17 a base 
del método tradicional pitagórico de usar la reducción al absurdo y llegar a una 
inconsistencia relacionada con pares e impares (cómo ya se ha visto con la raíz de 2). 
 
También desarrolló la espiral que lleva su nombre usando el Teorema de Pitágoras y 
añadiendo perpendicularmente a un segmento una unidad lo que forma triángulos 
cuyas hipotenusas son las sucesivas raíces gráficamente cuyos primeros pasos de la 
espiral vemos en la figura, que en principio tendría una longitud infinita: 
 
 
 
 
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3.- Raíz cuadrada de 5. 
 
La raíz cuadrada de 5 es el número real positivo que, cuando es multiplicado 
por si mismo, da el número primo 5. Este número es notable en parte porque aparece 
en la fórmula para el número áureo. Puede ser denotado como: 
 
 
 
La raíz cuadrada de 5 es un número irracional algebraico, cuyos primeros dígitos 
significativos son: 
 
2.236067977499789696409173668731276235440618359611525
72427089213456574889959… 
 
El cual puede ser redondeado a 2.236 con una exactitud dentro del 99.99%. 
 
Geométricamente, la raíz cuadrada de 5 corresponde a la diagonal de un rectángulo 
cuyos lados tengan una longitud de 1 y 2, o a la hipotenusa de un triángulo cuyos 
catetos sean 1 y 2. 
 
El número √5 puede estar algebraica y geométricamente relacionado con la raíz 
cuadrada de dos y la raíz cuadrada de tres, como la longitud de la hipotenusa de un 
triángulo rectángulo con catetos de medida √2 y √3, probándolo otra vez el teorema de 
Pitágoras con: 
 
; 
 
; 
 
 
 
Los triángulos rectángulos de tales proporciones se pueden encontrar dentro de un 
cubo: los lados de cualquier triángulo definido por el punto de centrode un cubo, una 
de esos vértices, y el punto medio de un lado situado en una las caras que contienen 
ese vértice y frente a ella, están en el cociente √2:√3:√5. 
 
Esto sigue de las relaciones geométricas entre un cubo y las cantidades √2 (cociente 
borde-a-cara-diagonal, o la distancia entre los bordes opuestos), √3 (cociente borde-a-
cubo-diagonal) y √5 (la relación mencionada arriba). 
 
3.1. Propiedades 
 
 Aproximaciones de Diofanto El teorema de Hurwitz en las aproximaciones de 
Diofanto indica que cada número irracional x se puede aproximar infinitamente a 
muchos números racionales m/n en los términos más bajos de una manera tal que 
 
 
 
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y ese √5 es el mejor posible, en el sentido que para cualquier constante más 
grande que √5, hay algunos números irracionales x para los cuales solamente 
son finitas muchas de tales aproximaciones existentes. 
Diofanto de Alejandría (214-284) fue un antiguo matemático griego. Se considera a 
Diofanto el padre del álgebra. Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad 
sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma 
de problema y conservado en la antología griega: 
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente 
distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte 
de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer 
bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco 
años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la 
edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que 
sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad." 
 
 
 
donde x es la edad que vivió Diofanto 
 
 
 
 
 Su fracción continua es: 
 
 
 
 
 
 
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4.- Número plateado. 
 
La razón plateada (δS) es un número irracional definido por la suma de 1 y la 
raíz cuadrada de 2. Esto es: 
 
 
 
Se sigue de esta definición que: 
 
 
 
Su nombre es una alusión a la razón áurea; análoga a la forma en que el número 
áureo es la proporción limitante de la sucesión de Fibonacci, el número plateado es la 
proporción limitante de la sucesión de Pell. 
 
4.1. Propiedades 
 
 Su fracción continua es: 
 
 
 
 Las potencias inferiores de la razón plateada son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
………… 
 
 
 
Donde 
 
 
 
 
 Un rectángulo cuya relación de aspecto entre los lados sea igual a la razón 
plateada se denomina rectángulo plateado, por analogía con la razón dorada. 
Confusamente, el “rectángulo de plata” se puede también referir a un rectángulo en 
la proporción 1:√2, también conocido como “un rectángulo A4” en la referencia a 
tamaño del papel A4 definida ya en el ISO 216. 
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5.- Número plástico. 
 
El número plástico (P) es un término acuñado por el arquitecto y monje 
Benedictino Hans Dom van der Laan, y se refiere a un sistema por él descubierto de 
proporciones que generan un orden de tipos de magnitudes, que hacen relaciones de 
extensión plástica entre sí, en la consecución de relaciones entre elementos de un 
espacio arquitectónico. 
 
 
 
El número plástico es la única solución real de la ecuación: 
 
 
 
y tiene el valor: 
 
 
 
el cual es aproximadamente 1,324718. 
 
Es el cociente limitador de los términos sucesivos de la sucesión de Padovan y de la 
sucesión de Perrin, y lleva la misma relación que el número áureo hace la sucesión de 
Fibonacci. 
 
 
Bibliografía 
 
 Webs: 
 
 http://www.wikipedia.org 
 http://www.google.com 
 
 Libros de consulta: 
 
Gardner, M. Nuevos pasatiempos matemáticos. Editorial Alianza Editorial 
Rey Pastor, J. y Babini, J. Historia de la matemática. Gedisa Editorial. 
Castellet, M. y Llerena , J. (1991). Álgebra y Geometría. Editorial Reverté. 
Ruiz López, F. “Las Matemáticas en la Naturaleza”. Editorial Poseidón.