Teoría de Probabilidades

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Facultad de Ciencias Económicas y Sociales 
Escuela de Estadística 
 
Apuntes de Estadística General 
 
 
 
Facilitador 
 
 
Lic. Juan Faustino Polanco Rivera 
 
Licenciado en Estadística, Demógrafo, Maestría en Gerencia de 
Proyectos, Certificado en Diseño y Evaluación de Sistemas de 
Compensación Gerencial, con gran experiencia en el Diseño y 
Administración de Sistemas de Información, Procesamiento de datos e 
Investigación Social y de Mercado. Profesor Universitario. 
 
 
 
Distrito Nacional. 25 de agosto 2022. 
 
 
I. Teoría de Probabilidades ...................................................................................... 3 
1.1. Conceptos básicos ________________________________________________________ 3 
1.2. Funciones de probabilidad discretas. ________________________________________ 6 
1.2.1. La distribución de probabilidad de Poisson. ______________________________________ 6 
1.2.2. Función de Probabilidad de Bernoulli __________________________________________ 9 
La función de distribución acumulada de Bernoulli de una variable aleatoria _________________ 9 
Varianza _______________________________________________________________________ 9 
1.2.3. La distribución de probabilidad Binomial ______________________________________ 10 
1.2.4. La distribución de probabilidad Geométrica ____________________________________ 11 
1.2.5. La distribución de probabilidad Hipergeométrica ________________________________ 12 
1.3. Distribución conjunta de probabilidad discreta ______________________________ 13 
1.3.1. Probabilidad conjunta ______________________________________________________ 14 
1.3.2. Probabilidad condicional e independencia ______________________________________ 15 
1.3.3. Eventos independientes ____________________________________________________ 16 
1.4. La distribución de probabilidad Continua __________________________________ 16 
1.4.1. La distribución uniforme ___________________________________________________ 16 
1.4.2. La distribución de probabilidad Exponencial ____________________________________ 17 
1.4.3. La distribución de probabilidad Normal ________________________________________ 18 
 
I. Teoría de Probabilidades 
 
1.1. Conceptos básicos 
 
La probabilidad. Se define como el grado de posibilidad de que ocurra un hecho. Las 
probabilidades se estudian con la finalidad de prever los que con mayor propensión puede 
suceder en un espacio y en un periodo de tiempo determinado. 
 
Es importante conocer las probabilidades de que ocurra cada hecho como forma de 
contrarrestar su efecto. El conocimiento de las probabilidades no asegura la ocurrencia de un 
hecho, sin embargo se puede deducir el que tenga mayor posibilidad de presentarse, y en base 
a estos buscar alternativas inteligentes que eviten ser afectados significativamente. 
 
Constituye uno de los temas de la Estadística y de la Matemática que requieren mayor 
razonamiento lógico. 
 
Todo lo que ocurre en el mundo está contenido dentro de un esquema como este: 
Ocurrencia de los hechos 
Imposible Posible 
P(X=a)=0 
Difícil Fácil 
0 P(X=a) P(X=a) 1 
0 1 
 
Siendo “a” un evento o un suceso y “X” un experimento 
P(X=a) se pronuncia “probabilidad de X=a”. 
Propiedades básicas de las probabilidades: 
 
 
 
Las probabilidades se expresan como fracciones o como decimales que están entre cero y 
uno. Tener una probabilidad de cero significa que el evento nunca va a suceder, si una 
probabilidad es igual a uno indica que el evento va a suceder siempre. 
 
Las probabilidades tienen como finalidad predeterminar el grado de posibilidad de que un 
hecho ocurra en el futuro ante un conjunto de condiciones dadas. Las mismas no tienen 
utilidad para hechos que ya ocurrieron. Por supuesto, basa en patrones, relaciones entre 
fenómenos, hechos observados, etc. 
 
Experimento aleatorio. Es una actividad o un proceso que puede arrojar distintos resultados. 
Prueba donde existen dos o más resultados posibles, y no se pude anticipar cuál de ellos va a 
ocurrir. 
 
Evento o suceso. Es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Los 
eventos están constituidos por una cantidad específica de elementos. 
 
I) 0 ≤ P(X=a) ≤ 1 
II) ΣP(X=a) = 1 
Espacio muestral. Es la cantidad de elementos que constituyen los distintos eventos o 
sucesos de un experimento aleatorio. 
 
Existe distintos métodos para calcular probabilidades, es parte solamente se hará referencia 
a los métodos generales y a la distribución normal. Los primeros para entender las 
características básicas de estas medidas y el segundo porque su conocimiento es básico para 
hacer uso de algunos elementos de los métodos muestreo. 
 
Probabilidad clásica o de Laplace). Número de resultados favorables a la presentación de 
un evento dividido entre el número total de resultados posibles. 
P(X=a)=CF / CP 
 
Ejemplo: 
Asignaturas 
Repetidas 
X 
Estudiantes P(X) 
0 15 0.1014 
1 20 0.1351 
2 13 0.0878 
3 17 0.1149 
4 16 0.1081 
5 15 0.1014 
6 19 0.1284 
7 24 0.1622 
8 9 0.0608 
Total 148 1.0000 
 
Interpretación: La probabilidad de seleccionar aleatoriamente un estudiante que repita 
cuatro asignaturas, es 0.1081. 
 
En una base de datos hay (A=36) empleados públicos y (B=47) privados. Si 
aleatoriamente se selecciona un empleado, la probabilidad de que este sea privado 
P(X=B)=CF/CP=47/(47+36)=47/83=0.5663. 
 
 Probabilidad subjetiva. Se basa en las creencias personales de quien hace la estimación 
de probabilidad. Asignación de probabilidad en forma intuitiva, en base a la experiencia 
o el conocimiento. 
 
 Definición matemática de Probabilidad. Es el límite del cociente k/n cuando n tiende 
a infinito. Esto indica que llegará un punto que aunque la cantidad de casos posibles 
aumente, el cociente k/n se mantendrá constante. 
 P(X=a)=lim (k/n) 
 n→∞ 
 
En este caso el valor de n y el de k aumentan paralelamente, por tanto el cociente (k/n) tiende 
a hacerse una constante cuando n alcanza un valor grande. 
 
Ejemplo: 
 
Si se toma una muestra de manera aleatoria de los estudiantes de un colegio para hacer una 
evaluación del rendimiento docente, la cual se distribuye de acuerdo a la asignatura de mayor 
calificación de los estudiantes: 
 
Asignatura (X) Cantidad P(x) 
A Matemática 26 0.0977 
B Física 46 0.1729 
C Historia 37 0.1391 
D Gramática 38 0.1429 
E Idiomas 40 0.1504 
F Informática 49 0.1842 
G Biología 30 0.1128 
Total 266 1.0000 
 
 
 
Se requiere calcular las siguientes probabilidades: 
 
 P(X=A) = 26 /266 = 0.0977 
 
 P(X=E) = 40 /266 = 0.1504 
 
 P(X=C o X=F) = P(X=C) +P(X=F)= 37/266 + 49/266 = 0.1391 + 0.1842 =0.3433 
 
 P(X≠D)=1- P(X=D) = 1 - 0.1429 = 0.8571 
 
Experimento Aleatorio. Es el proceso o la actividad que puede arrojar distintos resultados. 
Los resultados de este proceso ocurren de manera aleatoria. 
 
Variable aleatoria. Sus valores ocurren al azar. 
 
Variable aleatoria discreta. Sus valores ocurren al azar, toma un número finito o infinito 
de valores numerables o que se pueden contar. 
 
Variable aleatoria continua. Sus valores ocurren al azar, puede tomar infinitos valores 
dentro de un intervalo. Sus valores son no numerables ni se pueden contar. En general se 
define como una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. 
 
Distribución de probabilidades. Modelo teórico que describe la forma en que varían los 
resultados de un experimento aleatorio. Lista de los resultados de un experimento con sus 
respectivas probabilidades. 
 
Función de probabilidad. Es una expresión o fórmula matemática que asigna o genera las 
probabilidades a cada uno de los valores de una variable aleatoria. 
 
Valor esperado. Es el valor promedio de eventos de experimento que se estima deben 
cumplir con una condición específica, de acuerdo a una distribución de probabilidades. 
Aplicando la definición clásica de probabilidad.http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad
E(x)=ΣX*P(X) = E(x)=ΣX*P(X) = 3.987 
 
Interpretación: El promedio de asignaturas repetidas 3.987. 
 
Varianza esperada. Es la varianza del valor los eventos de un experimento que se estima 
deben cumplir con una condición específica, de acuerdo a una distribución de probabilidades. 
Aplicando la definición clásica de probabilidad. 
 
V(x)=ΣX2*P(X) – (ΣX*P(X))2 =22.2464 - 3.9872=6.35023 
 
Interpretación: Varianza de la cantidad de asignaturas repetidas 6.35023. 
 
Asignaturas 
Repetidas X 
Estudiantes P(X) X * P(X) X2* P(X) 
0 15 0.1014 0 0 
1 20 0.1351 0.1351 0.1351 
2 13 0.0878 0.1756 0.3512 
3 17 0.1149 0.3447 1.0341 
4 16 0.1081 0.4324 1.7296 
5 15 0.1014 0.507 2.535 
6 19 0.1284 0.7704 4.6224 
7 24 0.1622 1.1354 7.9478 
8 9 0.0608 0.4864 3.8912 
Total 148 1 3.987 22.2464 
 
1.2. Funciones de probabilidad discretas. 
 
Son aquellas que permite calcular las probabilidades o la posibilidad de ocurrencia de cada 
uno de los eventos de un experimento o de una variable discreta. 
 
1.2.1. La distribución de probabilidad de Poisson. 
 
Aplica cuando se requiere calcular la probabilidad de que se presenten hechos poco 
frecuentes, donde la proporción de casos sea (p≤0.20) y la cantidad de casos posible (n˃30). 
Esta forma parte de las distribuciones de probabilidad que aplican a los llamados casos raros. 
Esta distribución de probabilidad se basa en el promedio de hechos que ocurran en una unidad 
de tiempo o de espacio. Por Ejemplo: el que un artículo salga defectuoso de un proceso de 
producción, tiempo que tardan las personas en espera, etc. 
 
La misma tiene varias aplicaciones, por eso se presentan varios tipos de ejemplos. 
 
Donde. 
 
 λ >0 y representa la media aritmética de la característica que se esté analizando. λ es el 
promedio, el valor esperado o la esperanza matemática. λ =np=e(x)=μ. 
 Var(x) también es igual a λ =np=e(x)=μ. Esta es una propiedad exclusiva la 
distribución de probabilidad de Poisson. 
 p es la proporción de eventos que cumplen con la condición que se tenga como objetivo. 
Por lo general p<0.20. 
 n es la cantidad de eventos posibles, por lo general n>30. 
 “x” es la cantidad de elementos que se prefiere obtener con la característica o la condición 
objetivo en una muestra de “n” elementos. Siempre 0 ≤ x ≤ n. 
 e=2.7183 
 
Ejemplo 1: Se sabe por análisis anteriores que el 8% de los jóvenes que se inscriben en el 
programa de emprendimiento tienen éxitos en los proyectos que emprenden. Si 40 jóvenes 
se inscriben y reciben todas las orientaciones del lugar, cual es la probabilidad de que menos 
de cinco de ellos tengan éxito en sus iniciativas productivas? 
λ =np=e(x)=μ=40*0.08=3.20. 
 
k=0, 1, 2, 3, 4 ó k≤5 
 
x=4 
P(X<5)=Σ P(X=k) =P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4). 
 x=0 
 
P(X=0)=2.7183-3.20 x 3.200 / 0!= 0.0408 
P(X=1)=2.7183-3.20 x 3.201 / 1!= 0.1304 
P(X=2)=2.7183-3.20 x 3.202 / 2!= 0.2087 
P(X=3)=2.7183-3.20 x 3.203 / 3!= 0.2226 
P(X=4)=2.7183-3.20 x 3.204 / 4!= 0.1781 
Total …………………………=0.6910 
 
Total P(X<5) = 0.6910 
 
La probabilidad de seleccionar aleatoriamente un joven emprendedor que tenga éxito en el 
proyecto que emprenda es de 0.6910. 
 
Ejemplo 2: Los empleados del Ministerio realizan distintos cursos de especialización para 
fortalecer sus capacidades de responder a las necesidades de los usuarios. El Departamento 
de Capacitación ha determinado que los empleados en promedio han realizado 8.37 de esos 
cursos. Para enviar un entrenamiento a nivel internacional se requiere saber la probabilidad 
de seleccionar aleatoriamente un empleado que cumpla las siguientes especificaciones: 
 
9.2.1. Que haya hecho menos de tres cursos de especialización 
 
P(X=k)=e-λ*λk/k! 
 
K=0,1,2 ó k≤2 
 
λ =e(x)=μ=8.37 
k=2 
P(X<3)=Σ P(X=k) =P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2) 
k=0 
P(X=0)=2.7183-8.37 x 8.370 / 0!=0.0002 
P(X=1)=2.7183-8.37 x 8.371 / 1!=0.0019 
P(X=2)=2.7183-8.37 x 8.372 / 2!=0.0081 
Total = P(X<3)= ..…………… 0.0103 
 
9.2.2. Que haya hecho entre tres y seis cursos de especialización 
 
P(X=k)=e-λ*λk/k! 
 
K=3,4,5,6 ó 3≤k≤6 
 
 k=6 
P(3≤X≤6)=Σ P(X=k) =P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5) + P(X=6) 
 k=3 
 
P(X=3)=2.7183-8.37 x 8.373 / 3!=0.0226 
P(X=4)=2.7183-8.37 x 8.374 / 4!=0.0474 
P(X=5)=2.7183-8.37 x 8.375 / 5!=0.0793 
P(X=6)=2.7183-8.37 x 8.376 / 6!=0.1106 
Total = P(3≤X≤6)= …..……… 0.2600 
 
 
9.2.3. Que haya hecho más de cuatro cursos de especialización 
 
P(=k)=e-λ*λk/k! 
 
K >4 
 
P(X >4) = 1- P(X≤4) = 1- ΣP(X=k)=1- [P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)] 
 k≤4 
P(X=0)=2.7183-8.37 x 8.370 / 0!=0.0002 
P(X=1)=2.7183-8.37 x 8.371 / 1!=0.0019 
P(X=2)=2.7183-8.37 x 8.372 / 2!=0.0081 
P(X=3)=2.7183-8.37 x 8.373 / 3!=0.0226 
P(X=4)=2.7183-8.37 x 8.374 / 4!=0.0474 
Total = P(X≤4)= …..………….0.0803 
 
P(X >4) = 1-0.0803= 0.9197 
 
Ejemplo 3: Durante los días de consulta los pacientes hacen largas filas o colas en los 
consultorios médicos para recibir atención. Los analistas de proceso han determinado que en 
promedio los pacientes tardan (μ=17.45) minutos para ser atendidos. Y requieren saber la 
probabilidad de que un paciente sea atendido por el médico en 12 minutos. 
 
λ = e(x)=μ=17.45. 
 
K=12 
 
P(X=k)=e-λ*λk/k! 
 
P(X=12)= 2.7183-17.45*17.4512/12! = 0.0439 
 
1.2.2. Función de Probabilidad de Bernoulli 
 
En teoría de probabilidades y estadística, la distribución Bernoulli corresponde a una variable 
dicotómica que solamente puede tomar dos valores, donde la ocurrencia del primero elimina 
la ocurrencia del segundo y viceversa. Es una distribución de probabilidad discreta. 
 
En tal caso el experimento “X” se ejecuta una sola vez, y los eventos serían (A o B), (1 o 2), 
(1 o 0), etc. Donde la P(X=A)+P(X=B)=1, P(X=1)+ P(X=2)=1, P(X=1)+ P(X=0)=1, 
respectivamente. 
 
 
La función de distribución acumulada de Bernoulli de una variable aleatoria 
 
Su media está dada por 
 
Varianza 
 
 
Una persona aplica para un puesto de trabajo, por la revisión de su perfil se determinó que 
tiene una posibilidad (p=0.68) de ser escogido de manera aleatoria, entonces la varianza seria 
Var(X)=P-P2= P(1-P)= 0.68 x (1-0,68)=0.2176. 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Media_(matem%C3%A1ticas)
1.2.3. La distribución de probabilidad Binomial 
 
Es una ampliación de la distribución Bernoulli, donde el experimento se repite varias veces. 
Aplica específicamente cuando la proporción de casos favorables o que cumplen con la 
característica objetivo oscila en el rango (0.30 ≤ p ≤ 0.70) y la cantidad de casos posibles (1< 
n ≤30) 
 
 
Dónde 
 =n!/(x!(n-x)!) 
 “n”en la cantidad de elementos que se esté analizando. Por lo general oscila entre “n≤30”. 
 “p” es la proporción de elementos que presentan la característica o la condición que se 
tiene como objetivo. Por lo general el valor varía entre “0.30<p<0.7”. 
 “q=1-p” que es la proporción de elementos que no presentan la característica o la condición 
objetivo. 
 En todo caso p+q=1. 
 “x” es la cantidad de elementos que se prefiere obtener con la característica o la condición 
objetivo en una muestra de “n” elementos. Siempre 0 ≤ x ≤ n. 
 
La media aritmética es µ=np 
 
La varianza es S2=np(1-p) 
 
El coeficiente de asimetría viene dado por la expresión 
 
 
 
El índice de curtosis se calcula de la manera siguiente: 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Se ha determinado que el 43.17% de las personas registradas en los programas nunca han 
recibido orientación. Si se eligen aleatoriamente n=16 jóvenes, cual es la probabilidad de que 
aparezcan exactamente 5 jóvenes que no hayan tomado ese tipo de servicio. 
 
P(X=5)= 16! /(5! x (16-5)!) x 0.43175x(1-0.4317)(16-5)= 0.1308. 
 
La probabilidad de que aparezcan cinco jóvenes que hayan trabajado antes es 0.1308. 
1.2.4. La distribución de probabilidad Geométrica 
 
Describe la posibilidad de que un elemento tomado aleatoriamente pertenezca a un subgrupo 
que formeparte de un conjunto. 
 
P(X=k) = (1-p)x p 
 
Donde. 
 
 “p” es la proporción de elementos que presentan la característica o la condición que se tiene 
como objetivo. En todo caso “0 ≤ p ≤ 1”. 
 “x” es la cantidad de elementos que se prefiere obtener con la característica o la condición 
objetivo en una muestra de “n” elementos. Siempre x ≥0. 
 
La media aritmética µ= 1 / p, indica la cantidad promedio de elementos que cumplen la 
condición x. 
 
La moda es igual a cero, Mo=0. 
 
La varianza de las cantidades de elementos que cumplen la condición x viene dada por la 
expresión S2= (1-P)/P2 
 
Coeficiente de asimetría As= 
 
Curtosis de la función geométrica. α4= 
 
Ejemplo: Los analistas financieros han determinado a lo lardo de su tiempo de labores que 
un 12.71% o (0.1271) de los contratos presentan algún tipo de errores que ellos han tenido 
que corregir. En el último mes se elaboraron una gran cantidad de contratos a igual cantidad 
de suplidores, se requiere saber la probabilidad de que aparezcan no más de tres contratos 
con algún error. 
x=3 
P(X≤3) = Ʃ(1-p)x p 
x=1 
 
P(X≤3)= P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3) = 
 
P(X=0) =(1-0.1271)0 x 0.1271=0.12710 
P(X=1) =(1-0.1271)1 x 0.1271=0.11095 
P(X=2) =(1-0.1271)2 x 0.1271=0.09684 
P(X=3) =(1-0.1271)3 x 0.1271=0.08454 
 
Total o P(X≤3)=………….... =0.41943. 
 
 
1.2.5. La distribución de probabilidad Hipergeométrica 
 
En teoría de la probabilidad y estadística es una distribución de probabilidad discreta 
relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población 
de N elementos de los cuales, dentro de los cuales K de ellos pertenecen a la categoría A y 
N-K pertenecen a la categoría B. Esta mide el grado de posibilidad de obtener “x” elementos 
de la categoría “A” en una muestra de “n” elementos tomados aleatoriamente sin reemplazo 
de la población N. 
Una aplicación sería: Si en una institución hay (N=40) empleados entre los cuales hay (k=17) 
que ingresaron en el último año. Se seleccionan aleatoriamente (n=12) de los “N” empleados 
para participar en un curso, se requiere calcular la probabilidad de que en “n” a parezca una 
cantidad aparezcan “x=4” empleados de los que ingresaron en el último año. 
 
 
 N=k+(N-k) 
 n=x + (n-x) 
 =N!/(n!(N-n)!) 
 
Dónde: 
 
 “N” es la cantidad total de elementos de un conjunto de elementos. 
 
 “k” es la cantidad de elementos que presentan la característica o la condición que se tiene 
como objetivo. 
 
 “N-k” es la cantidad de elementos que no presentan la característica o la condición que se 
tiene como objetivo. 
 
 “n” es la muestra de elementos tomada del conjunto de elementos. 
 
 “k” es la parte de la muestra “n” de elementos que presentan la característica o la condición 
que se tiene como objetivo. 
 “n-x” es la parte de la muestra “n” de elementos que no presentan la característica o la 
condición que se tiene como objetivo. 
 
 N ≥ n 
 k ≥ x 
 
El promedio o la media aritmética viene dada por µ=nK/N, el cual indica la cantidad de 
esperada de elementos con la característica de interés en la muestra n. 
 
La moda viene dada por la expresión , que indica la cantidad de 
elementos con mayor probabilidad de obtener la características de interés. 
 
La varianza de las cantidades de elementos con la característica de interés viene expresada 
como por . Con la misma se mide el grado dispersión entre los eventos 
“x” de la distribución de probabilidad. 
 
El coeficiente de asimetría que indica la forma en que se distribuye las cantidades de eventos 
con la característica de interés, viene dada por la siguiente expresión: 
 
. 
Curtosis de la función hipergeométrica, que indica el grado de concentración de las 
cantidades de elementos que podrían tener la característica de interés: 
 
 
 
Ejemplo: En un lote de (N=53) unidades de productos los supervisores han identificado 
(k=8) unidades defectuosas, los analistas han seleccionado de manera aleatoria (n=12) 
unidades de esos productos, se requiere sabe la probabilidad de que aparezcan no más de dos 
(x ≤ 2) unidades defectuosas. 
 
 
 
N=53, k=8, n =12, x ≤ 2, N-k=53-8=45, n-x=12-0=12, 12-1=11 y 12-2=10 
 
P(X ≤ 2)=P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)=0.10780+0.30438+0.33482 = 0.74701 
 
1.3. Distribución conjunta de probabilidad discreta 
 
Hablar distribuciones conjuntas de probabilidad es equivalente a referirse al grado de 
posibilidad de que ocurra un evento en base a la presencia o no de un conjunto de eventos 
que respectivamente pertenecen a experimentos distintos. Es lo mismo que decir el grado de 
Mo= 
S2= 
As= . 
(α4)= 
posibilidad de que ocurra la combinación de varios eventos donde cada uno corresponde a 
un experimento distinto. 
 
Como toda distribución de probabilidad debe cumplir las siguientes propiedades: 
ⱯX [a,b], ⱯY [c,d] y ⱯZ [e,f], siendo a≤b, c≤d y e≤f 
Ʃ P(X,Y,Z)=1 
0 ≤ P(X,Y,Z)≤ 1 
 
Ejemplo: Para que una persona consiga un trabajo (Yi) debe tener los siguientes atributos: 
Edad>18 años (x>18) Estudios universitarios (n=4), conocimientos de tecnología (t=1) y 
hablar correctamente idioma inglés (h=1). 
 
P(Yi) = f(x>18, n=4, t=1, h=1) 
 
Ejemplo: Para un mejor entendimiento aquí se presenta en siguiente esquema que se refiere 
a la combinación de tres variables: edad, nivel educativo y sexo. 
 
Entrevistados por sexo y nivel educativo, según edad, 
 
Edad (X) 
Total 
Sexo (S) 
1. VARON 2. HEMBRA 
Nivel educativo (Y) Nivel educativo (Y) Nivel educativo (Y) 
1. 
Prima-
rio 
2. 
Secun-
dario 
3. 
Univer-
sitario 
Total 
1. 
Prima-
rio 
2. 
Secun-
dario 
3. 
Univer-
sitario 
Total 
1. 
Prima-
rio 
2. 
Secun-
dario 
3. 
Univer-
sitario 
Total 
1 < 20 años 44 46 46 136 28 12 24 64 16 34 22 72 
2 20 a 30 46 29 39 114 21 14 26 61 25 15 13 53 
3 30 a 40 48 43 45 136 14 16 21 51 34 27 24 85 
4 40 a 50 28 49 31 108 13 14 16 43 15 35 15 65 
5 50 a 60 44 48 30 122 22 16 19 57 22 32 11 65 
6 60 o + 35 36 43 114 20 23 27 70 15 13 16 44 
Total 245 251 234 730 118 95 133 346 127 156 101 384 
 
 
1.3.1. Probabilidad conjunta 
 
La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una persona que tenga edad entre 20 y 30 
años, un nivel educativo universitario y que sea varón, 
 
P(X=2, Y=3, S=1)=26 / 730 =0.03561 
 
La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una persona que tenga edad menor de 30 
años, un nivel educativo secundario o universitario y que no sea hembra. 
 
P(X≤2, Y˃1, S≠2)=(12+14+24+26) / 730 =0.1041 
 
La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una persona que tenga edad entre 40 y 50 
años, un nivel educativo secundario y que sea hembra. 
 
P(X=4, Y=2, S=2)=35 / 730 =0.04795 
 
La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una persona que tenga mayor de 50 años, 
un nivel educativo mayor a secundario y que sea hembra. 
 
P(X˃4, Y≥2, S=2)= (32+11+13+16) / 730=0.0986 
 
 
1.3.2. Probabilidad condicional e independencia 
 
Es el grado de posibilidad de que ocurra un hecho, evento o suceso de experimento, luego de 
haber ocurrido o seleccionado otro evento correspondiente a otro experimento. Por la 
expresión P(A|B) indica la probabilidad de que ocurra el u A habiendo pasado el evento 
B. 
Matemáticamente se define como la probabilidad de que presente la intercepción entre 
evento A y B dividida la probabilidad de que ocurra el evento B, o sea P(A|B)=P(A ∩ 
B)/P(B) 
 
Entrevistados por nivel educativo, según edad 
Edad (X) 
Nivel educativo (Y) 
1. 
Prima-
rio 
2. 
Secun
-dario 
3. 
Univer-
sitario 
Total 
1 < 20 años 44 46 46 136 
2 20 a 30 46 29 39 114 
3 30 a 40 48 43 45 136 
4 40 a 50 28 49 31 108 
5 50 a 60 44 48 30 122 
6 60 o + 35 36 43 114 
Total 245 251 234 730 
 
La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una persona que tenga edad entre 30 y 40 
años, dentro del grupo que tiene un nivel educativo secundario. 
 
P(X=3|Y=2)=P(X=3,Y=2)/ P(Y=2) = (43 / 730) / (251 /730)= 43 / 251=0.1713 
 
La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una persona que tenga edad mayor de 30 años 
y menor de 50, dentro del grupo que tiene un nivel educativo secundario o universitario. 
 
P(2<X≤4|Y˃1)=P(2<X≤4, Y˃1) / P(Y˃1) = 
[(43+49+45+31) / 730] / [(251+ 234) /730]=168 / 485=03464 
 
La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una persona que tenga un nivel educativo 
mayor o igual al secundario, dentro del grupo que tenga una edad mayor 30 años y menor 
de 60. 
 
P(Y≥2|3≤X≤5)= P(Y≥2,3≤X≤5) / P(3≤X≤5) = 
 [(43+45+49+31+48+30)/ 730] /[(136+108+122)/ 730]=246/366=0.67213 
 
 
 
1.3.3. Eventos independientes 
 
Dos eventos A y B son independientes si y solo si la probabilidad del evento B no está 
influida por el evento A. Lo mismo si y solo si la probabilidad del evento A no está influida 
por el evento B 
 
En tal caso se debe cumplir P(X∩Y)= P(X)P(Y). De igual manera la P(X|Y)= P(X) 
 
Ejemplos: 
 
El empleado “X” tiene una probabilidad de llegar tarde (p=0.3676) y de llegar temprano 
(q=0.6324), y el empleado “Y” tiene una probabilidad de llegar tarde (l=0.4893) y de llegar 
temprano (m=0.5107) 
 
La probabilidad de que ambos lleguen temprano se expresa de la siguiente manera 
P(X=p∩Y=m)= P(X=p) x P(Y=m)= 0.6324 x 0.5107)=0.3230 
 
 
1.4. La distribución de probabilidad Continua 
 
1.4.1. La distribución uniforme 
 
Es útil para describir una variable aleatoria con probabilidad constante sobre los límites 
(a,b) en el que está definida. También es conocida como distribución rectangular por su 
función de densidad. 
 
Función de distribución 
 
Función de densidad 
 
Media aritmética y la mediana 
 
Varianza 
 
 
Ejemplo: El ingreso los hogares oscila entre (A=20,154 y B=27,634) pesos. La probabilidad 
de seleccionar un hogar tenga un ingreso entre (a=23,193 y b=24,365) sería: 
 A=20,154 B=27,634 siempre A<B 
 a= 23,193 b=24,365 siempre a<b 
 (b-a) Ɛ (B-A) → El intervalo (b-a) pertenece al intervalo (B-A) 
 
 
A a b B 
 
P(a< x < b)= (b-a) / (B-A)= (24,365 – 23,193) / (27,634 -20,154)=1,172/7,480=0.1567 
 
1.4.2. La distribución de probabilidad Exponencial 
 
Es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia 
de un cierto evento. 
Su función de distribución es viene dada por la expresión f(x)=ꞵe-ꞵx, donde x>0 y ꞵ>0 
La funcion de distribución acumulada o de densidad es F(x)=1-e-ꞵx. 
 
Ejemplo: El tiempo promedio para que un empleado permanezca de la empresa es µ=6.45 
años, calcular las probilidades: 
 Un empleado permanezca la empresa menos de cinco años f(X<5) 
 
ꞵ=1/µ=1/6.45 
 
F(X<5)=1-e-ꞵx=1-e-1/6.45(5)=0.5394 
 
 Un empleado permanezca la empresa mas de siete años f(X>7) 
 
ꞵ=1/µ=1/6.45 
 
F(X>7)=1-e-ꞵx=1-(1-e-1/6.45(7))=1-0.6622 =0.3378 
 
 Un empleado permanezca la empresa entre 4 y 8 años f(4<X<8 ) 
 
ꞵ=1/µ=1/6.45 
 
F(4<X<8)= F(X=8)- F(X=4)=1-e-1/6.45(8)- 1-e-1/6.45(4)=(1-0.7107)-(1-0.4621)= 0.2486 
 
 
1.4.3. La distribución de probabilidad Normal 
 
Está dada por la siguiente función: 
 
 
Donde 
 
 μ es la media aritmética de la característica que se esté analizando. 
 σ la desviación estándar de la característica que se esté analizando. 
 “x” es la medida objetivo de la característica que se esté analizando, la cual puede tomar 
valores dentro del intervalo de “ -∞, ∞”. 
 Π= 3.14286 
 e= 2.7183 
 
Esta es distribución continua de probabilidad que con mayor frecuencia se utiliza en el 
análisis estadístico y en las aplicaciones de la teoría de probabilidades. 
La distribución de probabilidad de los valores de la variable X usando la función normal tiene 
una forma de campana como la que aparece a continuación. 
 
Por esa forma de campana recibe el nombre de Campana de Gaus, en honor a quién la 
desarrolló. 
 
La misma tiene gran utilidad en el diseño de muestras, en la prueba de hipótesis, en el control 
de calidad, en análisis de regresión; procedimientos que se usan frecuentemente en la 
industria, en la medicina, economía sociología, psicología, política, ingeniería, ciencias 
naturales, entre otras áreas de aplicación. 
 
Tipificación 
 
Es el proceso a través del cual se transforma la variable de análisis (X) en la variable 
tipificada (Z). 
 
Z=(X- )/S 
 
La Z toma valores entre -5 y 5, con un promedio de “0” y su desviación estándar igual a “1”. 
Esto se puede comprobar a través de la siguiente tabla. 
 
_ 
X 
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidades
Cantidad de horas de labores semanales por los trabajadores. 
 
i X Z 
1 41 -0.0264 
2 30 -1.4769 
3 42 0.1055 
4 44 0.3692 
5 57 2.0834 
6 40 -0.1582 
7 49 1.0285 
8 36 -0.6857 
9 36 -0.6857 
10 37 -0.5538 
 
Promedio 41.2 0.0000 
Desviación Estandar S 7.5836 1.0000 
Donde es la media aritmética y S es la desviación estándar. 
 
Características de la distribución normal. 
 
 x=μ entonces f(x) es el máximo, o si z=0 entonces f(z) es máximo. 
 ∞ < z ≤ 0, el valor acumulado de f(z) es igual a 0.5. 
 0 < z ≤ ∞, el valor acumulado de f(z) es igual a 0.5. 
 ∞< z < ∞, el valor acumulado de f(z) es igual a 1. 
 -3.09< z < 3.09, el valor acumulado de f(z)=0.997. 
 -1.96< z < 1.96, el valor acumulado de f(z)=0.95. 
 -1.65< z < 1.65, el valor acumulado de f(z)=0.90. 
 El valor mínimo de f(z) diente a cero pero nunca llega a ser cero. 
 El valor máximo de f(z) se alcanza cuando z=0. 
 f(z) es una función asintótica. 
 f(z) es una simétrica en el punto (z=0). 
 Por lo general “z” oscila entre -5 y 5. 
 
Las probabilidades de los valores de variable tipificada (Z) aparecen tabuladas en la tabla 
normal estándar Z que se presenta a continuación. 
 
Ejemplo: 
 
Si el ingreso promedio de los trabajadores es 23,548 pesos y la desviación estándar es de 
2,459. Determine la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un trabajador que tenga un 
ingreso entre 20,000 y 25,000 pesos. 
 = 23,548 y S=2,459 
 
P(20,000 ≤X≤ 25,000) 
 
Z1=(X1- )/S=(20,000-23,548)/2,459=-1.44yZ2=(X2- )/S=(25,000-23,548)/2,459=0.59 
 
P(20,000 ≤X≤ 25,000) = P(-1.44 ≤ z≤0.59)= ϕ(z=0.59)- ϕ(z=-1.44)= 0.72240- 0.07493 
_ 
X 
_ 
X 
_ 
X 
_ 
X 
_ 
X 
 
P(20,000 ≤X≤ 25,000)=0.64747 
Tabla Normal (-Z) 
 
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
-4.00 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 
-3.90 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 
-3.80 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 
-3.70 0.00011 0.00010 0.00010 0.00010 0.00009 0.00009 0.00008 0.00008 0.00008 0.00008 
-3.60 0.00016 0.00015 0.00015 0.00014 0.00014 0.00013 0.00013 0.00012 0.00012 0.00011 
-3.50 0.00023 0.00022 0.00022 0.00021 0.00020 0.00019 0.00019 0.00018 0.00017 0.00017 
-3.40 0.00034 0.00032 0.00031 0.00030 0.00029 0.00028 0.00027 0.00026 0.00025 0.00024 
-3.30 0.00048 0.00047 0.00045 0.00043 0.00042 0.00040 0.00039 0.00038 0.00036 0.00035 
-3.20 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.00060 0.00058 0.00056 0.00054 0.00052 0.00050 
-3.10 0.00097 0.00094 0.00090 0.00087 0.00084 0.00082 0.00079 0.00076 0.00074 0.00071 
-3.00 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100 
-2.90 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139 
-2.80 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193 
-2.70 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264 
-2.60 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.00357 
-2.50 0.006210.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480 
-2.40 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639 
-2.30 0.01072 0.01044 0.01017 0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842 
-2.20 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.01101 
-2.10 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.01426 
-2.00 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.01831 
-1.90 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.02330 
-1.80 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938 
-1.70 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.03673 
-1.60 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551 
-1.50 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592 
-1.40 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811 
-1.30 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08692 0.08534 0.08379 0.08226 
-1.20 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.09853 
-1.10 0.13567 0.13350 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.12100 0.11900 0.11702 
-1.00 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.15 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.13786 
-0.90 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.16109 
-0.80 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673 
-0.70 0.24196 0.23885 0.23576 0.23270 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.21770 0.21476 
-0.60 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.24510 
-0.50 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.29460 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.27760 
-0.40 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.31207 
-0.30 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.34827 
-0.20 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.38591 
-0.10 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465 
0.00 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414 
 
 
 
Tabla Normal (+Z) 
 
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.00 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586 
 0.10 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535 
 0.20 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409 
 0.30 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173 
 0.40 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793 
 0.50 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240 
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