Álgebra lineal, Selectividad CCSS Castilla y León

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS Castilla y León
1. [2014] [EXT-B] Dada la matriz A = 
1 -1 0
0 1 t
1 t 2
a) Determina los valores de t para los que existe la matriz inversa de A:
b) Calcula la matriz inversa para t = 2.
2. [2014] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones: 
x-2y+z = -1
x+y+3z = 4
5x-y+az = 10
a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Resuelve el sistema para a = 3.
3. [2013] [EXT-A] Se considera el sistema de ecuaciones: 
x+y-z = 25
2x-y+10z = 50
3x+ay-4z = 10
a) Clasifica este sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Resuelve el sistema para a = 0.
4. [2013] [JUN-A] Se consideran las matrices A = 
x 1
2x -1
-x 1
, B = 1
y
, C = 
z
2z
-z
, D = 
1
0
1/3
 donde x, y, z son desconocidos.
a) Sabiendo que A·B + C = 3D, plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y, z.
b) Estudia el sistema planteado en función del número de sus soluciones y calcula una de ellas, si es posible.
5. [2012] [EXT-A] En un aparcamiento hay 24 coches aparcados, de color blanco, rojo o gris. El número de coches grises es igual al
doble del número de coches rojos. 
a) ¿Es posible saber, con estos datos, el número de coches blancos que hay aparcados? Razona tu respuesta. 
b) Si además se sabe que la mitad de coches son rojos o grises, ¿cuántos coches hay de cada color?
6. [2012] [EXT-B] Sea la matriz A = 
0 1 2
2 -1 1
0 0 -1
.
a) Halla A2-A+I2, donde I es la matriz identidad.
b) Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineal homogéneo que tenga a A como matriz asociada.
7. [2012] [JUN-A] Una fábrica produce tres tipos de herramientas: A, B y C. En la fábrica trabajan tres obreros, durante 8 horas
diarias cada uno, y un revisor para comprobar las herramientas durante 1 hora diaria. Para fabricar una herramienta de tipo A se
emplean 2 horas de mano de obra y se necesitan 6 minutos de revisión, para la fabricación de una de tipo B se emplean 4 horas de
mano de obra y 4 minutos de revisión y para una de tipo C se necesitan 1 hora de mano de obra y 4 minutos de revisión. Por
limitaciones en la producción, se deben producir exactamente 12 herramientas al día. Calcula el número de herramientas de cada
tipo que se elaboran cada día en la fábrica.
8. [2011] [EXT-A] Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: 
x-2y+z = 0
3x+2y-2z = 4
8x+8y+az = 8
.
a) Clasifica el sistema en función de sus posible soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Halla todas sus lociones para a = -3.
9. [2011] [JUN-A] Resuelve el siguiente sistema matricial: 
2X+3Y = 6 28
10 17
1 1
0 1
X = -1 12
2 7
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10. [2011] [JUN-B] Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de lotería, por un
importe de 1, 2 y 5 euros. Han recaudado, en total, 600 euros y han vendido el doble de participaciones de 1 euro que de 5 euros.
Si han vendido un total de 260 participaciones, calcula el número de participaciones que han vendido de cada importe.
11. [2010] [EXT-A] Sea el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+2y-az = 1
-y+2z = 0
ax+3z = -a
a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Halla todas sus soluciones para a = 2.
12. [2010] [JUN-A] Sean las matrices: A = 
2 -3 1
0 1 2
5 3 -1
 y B = 
2 0 1
3 -3 2
-1 -2 -3
. Halla una matriz X tal que 2X - BA = AB.
13. [2010] [JUN-B] El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total de 4600 €. El
valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende todos estos productos, añadiendo un
beneficio del 10% en el embutido, el 20% en las bebidas y el 15% en las conservas, obtendrá un importe total de 5305 €. Calculalo
que pagó por cada uno de ellos.
14. [2009] [EXT-B] Compramos tres regalos A, B y C para tres amigos. Sabemos que hemos pagado 117 euros por los tres regalostras
habernos hecho un descuento del 10% sobre el precio total. Además sabemos que el precio del regalo C es el doble que el del
regalo A y que el regalo C es 20 euros más caro que el regalo B. ¿Cuánto hemos pagado en cada regalo?
15. [2009] [JUN-A] Estudia el siguiente sistema en función del parámetro a. Resuélvelo siempre que sea posible, dejando las
soluciones en función de parámetros si fuera necesario. Resuélvelo para el caso particular a = 3: 
x+y+2z = 3
x+2y+3z = 5
x+3y+az = 7
16. [2008] [EXT-B] Sea la matriz A = 
5 -4 2
2 -1 1
-4 4 -1
.
a) Prueba que A2-2A+I = O, donde I es la matriz identidad y O es una matriz con todos sus elementos igual a cero.
b) Calcula A3.
17. [2008] [JUN-A] Sea el sistema a
2x+a3y = 1
x+a2y = 0
.
a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valors del parámetro a.
b) Resuélvelo para a = 2.
18. [2007] [EXT-B] Se considera el sistema: 
x-2y+z = 1
3x-5y+z = 4
x-y+(a-2)z = 2
.
a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a.
b) Halla todas las soluciones para a = 3.
19. [2007] [JUN-A] Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 20% del total, Miguel reparte 100
hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas.
Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la empresa paga 1 céntimo por
cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres.
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20. [2007] [JUN-B] Sean las matrices A = x y
0 y
, B = a
1
, C = y
ay
, D = 6-ay
1-a
.
a) Consideramos x e y dos variables y a un parámetro. Obtén el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que resulta de
plantear AB-C = D.
b) Estudia el sistema para los distintos valores de a.
c) Encuentra una solución para a = 2.
21. [2006] [EXT-A] En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de
administrativos más el triple del número de directivos, es igual al doble del número de electricistas.
a) ¿Es posible saber con estos datos el número de electricistas que hay?
b) Si además se sabe que el número de electricistas es el doble del de administrativos, ¿cuántas personas hay de cada tipo?
22. [2006] [JUN-A] Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compran 10
kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 3 kg de ternera y le sobran 3,1 euros. El siguiente mes adquieren 10 kg de carne de
pollo, 7 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera y le sobran 5,1 euros. El tercer mes compran 11 kg de carne de pollo, 6kg
de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, abonando en total 72 euros y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado elprecio
de la carne en estos meses, ¿cuánto cuesta el kilo de carne pollo, cerdo y ternera?
23. [2005] [EXT-A] Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que 2A+3B = -4 5
-2 -1
 y que A-B = 3 0
-1 2
.
24. [2005] [JUN-A] Sea A = 0 1
-1 0
.
a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz identidad.
b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A2005.
25. [2004] [EXT-A] Sean las matrices A = 1 0
1 2
, B = x 2
1 y
 y C = -1
1
, donde x e y son desconocidos.
a) Calcula las matrices ABC y AtC (At denota la matriz traspuesta de A).
b) Halla x e y para que se verifique ABC = AtC.
26. [2004] [JUN-A] La suma de las tres cifras de un número es 18, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si
se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 198 unidades. Calcula dicho número.
27. [2004] [JUN-B] Sea A = x -1
1 y
.
a) Calcula A2.
b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que A2 = x+1 -22 -1
.
28. [2003] [EXT-B] Sean las matrices A = 
x 1
2x -1
-x 1
, B = 1
y
, C = 
z
2z
-z
, D = 
1
0
1/3
, donde x, y, z son desconocidos.
a) Calcula las matrices (AB)+C y 3D.
b) Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantea el sistema de ecuaciones para encontrar x, y, z.
c) Estudia el sistema anterior. ¿Cuántas soluciones tiene? Encuentra una si es posible.
29. [2003] [JUN-A] Encuentra, si existen, matrices cuadradas A, de orden 2, distintas de la matriz identidad tales que
A 1 0
1 1
 = 1 0
1 1
A.
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 Soluciones
1. a) t{-2,1} b) 1
4
2 -2 2
-2 -2 2
1 3 -1
 2. a) a=11: c.i.; a11: c.d. b) 7
3
,5
3
,0 3. a) a= 13
4
: inc; a 13
4
: c.d. b) (10,20,5) 4. 
x+y+z = 3
2x-y+2z = 0
-x+y-z = 1
 b) c.i. (1-k,2,k) 5. no; 12, 6, 6 6. a)
3 -2 -3
-4 5 1
0 0 3
 b) (0,0,0) 7. 6, 2, 4 8. a) a = -7: inc; a  -7: c.d. b) 3
4
,-1
8
,-1 9. -3 5
2 7
, 4 6
2 1
 10. 160, 20, 80 11. a) a{1,3}:inc; a{1,3}: c.d. b) (-7,8,4) 12.
1
2
3 4 -6
17 -13 -9
3 -15 12
 13. 1000, 1300, 2300 14. 30, 40, 60 15. a=4: c.i. (1-k,2-k,2); a4: c.d. (1,2,0) 16. b) 
13 -12 6
6 -5 3
-12 12 -5
 17. a{0,1}: inc; a{0,1}: c.d. b) 1
2
,-1
8
 18. a)
a = 1: c.i; a  1: c.d. b) (3,1,0) 19. 5'5, 3, 6'5 20. a) ax+ay = 6
(1-a)y = 1-a
 b) a = 0: inc; a = 1: c.i; a{0,1}: c.d. c) (2,1) 21. no; 12, 6, 4 22. 2'5, 5'1, 7'1 23. 1 1
-1 1
, -2 1
0 -1
24. a) -I b) A 25. a) 2-x
2y-x
, 0
2
 b) 2, 2 26. 576 27. a) x
2-1 -x-y
x+y y2-1
 b) x=2; y=0 28. a) 
x+y+z
2x-y+2z
-x+y-z
, 
3
0
1
 b) 
x+y+z = 3
2x-y+2z = 0
-x+y-z = 1
 c) c.i. (1-k,2,k) 29. a 0
c a
 (a1 o c0)
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