Álgebra lineal Selectividad CCNN La Rioja

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Álgebra lineal
Selectividad CCNN La Rioja
1. [2014] [EXT-B] Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de , y resuélvelo cuando tenga solución única:
x + y = 
(+1)x + y + z = +3
y + z = 2
2. [2014] [JUN-B] Discute el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores del parámetro b, y resuelve cuando el sistema sea
compatible: 
bx+y+z = 3
x+y+z = 3
2x+y+bz = 3
.
3. [2013] [EXT] Encuentra los valores de a y b para los que A·At = I3, donde A = 
cos b sen b 0
-sen b cos b 0
0 0 a
, I3 es la matriz identidad de
orden 3 y At la matriz traspuesta de A.
4. [2013] [EXT-A] Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius.
En función del parámetro a, discute y resuelve cuando sea posible el sistema de ecuaciones lineales: 
x+y+z = a
x+y+az = 1
x+ay+z = 1
.
5. [2013] [JUN] Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con determinante |A| = 2. Calcula los determinantes de la matriz 2A, la
inversa A-1 y la traspuesta At.
6. [2013] [JUN-B] Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a y resuelve cuando sea compatible
determinado: 
(a-3)y+4z = 2
y-2z = -1
ax-y+2z = a
7. [2012] [EXT] Discute y resuleve, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+(1+a)y-az = 2a
x+2y-z = 2
x+ay+(1+a)z = 1
8. [2012] [JUN] Si A = 2 1
3 2
 y B = 1 -1
0 2
, determina la matriz X despejándola previamente de la ecuación matricial: 2A - AX = BX.
(Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la ecuación matricial tenga sentido).
9. [2012] [JUN] Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro a y resuelve completamente en los casos en que sea
posible: 
x-2y+z = -2
-x+y+az = 1
2x+ay+4z = -2
.
10. [2011] [EXT] Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen A2 = O, 1 1 A = O (O denota la matriz nula, A2 = A·A).
11. [2010] [EXT] Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen: A2 = O, 1 1 A = O (O denota la matriz nula,
A2 = A·A).
12. [2010] [JUN] Discute y resuelve, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones: 
x-y+z = a
x+y+z = 1
3x-3y+az = a
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13. [2009] [EXT] Hallad, según el valor de a, el rango de la matriz 
1 2 4
1 a 4
1 a a2
.
14. [2009] [EXT] Discutid, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+y+z = 3
x+2y-z = 2+a
2x+3y+az = 5
.
Resolvedlo cuando sea posible.
15. [2009] [JUN] Hallad las matrices A que verifican la ecuación 
1 2 3
2 3 1
3 1 2
A = 
6
6
6
.
16. [2008] [EXT] Sea A una matriz 2x2 no nula. ¿ Puede ocurrir que A·A sea la mitriz nula? Dad un ejemplo o mostrad que no es
posible.
17. [2008] [EXT] Sean las matrices A = 3 3
x y
 y B = z 0
0 z
; además, denotemos con At a la matriz traspuesta de A. Averiguad para
qué valores de x, y, z se cumple la relación AAt = B.
18. [2008] [JUN] Hallad, según el valor de a, el rango de la matriz 
1 1 1
1 a 1
1 1 a2
19. [2008] [JUN] Discutid, según los valores de a,b el siguiente sistema de ecuaciones: 
x-3y-4z = 3
ax+3y-az = 0
x+3ay-10z = b
20. [2007] [EXT] Obtener, en función de a, b y c, el determinante de a = 
1 1 1 1
1+a 1 1 1
1 1+b 1 1
1 1 1+c 1
.
21. [2007] [JUN] Sea P(x) = 
x 1 1 1
1 x 1 1
3 3 x 3
3 3 3 x
. Halla las raíces de este polinomio de grado cuatro.
22. [2007] [JUN] Discute, en función de los valores de a, y resuelve, en los casos en los que sea posible, el siguiente sistema de
ecuaciones lineales: 
x-y-az = 1
-3x+2y+4z = a
-x+ay+z = 0
.
23. [2006] [EXT] Encuentra un polinomio de 2º grado y = P(x) tal que y(0) = -1, y(1) = 0 e y(2) = 3. ¿Es único tal polinomio?
24. [2006] [EXT] Calcula la matriz A que haga que 1 3
4 2
 = A 2 1
5 3
.
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25. [2006] [JUN] Analiza, en función del parámetro a, y resuelve, el siguiente sistema: 
2x-ay+4z = 0
x+y+7z = 0
ax-y+13z = 0
26. [2006] [JUN] Discutir, según los valores que adopte el parámetro t (un número real), la compatibilidad o incompatibilidad del
sistema: 
tx+3y = 2
3x+2y = t
2x+ty = 3
27. [2005] [JUN] Discute, según los valores del parámetro a, el sistema 
x+y+z = a
x+(1+a)y+z = 2a
x+y+(1+a)z = 0
28. [2004] [EXT] Calcula la matriz X que verifica la ecuación X
1 -1 0
0 1 1
2 1 1
 = 1 -2 3 .
29. [2003] [EXT] ¿Para qué valores reales de a y b tiene inversa la matriz A = a+b b
2a a+b
? Calcula la matriz A-1 cuando exista.
30. [2003] [JUN] Obtener el valor de a para que el rango de la matriz A sea igual a 2: A = 
1 -2 3 0
2 3 0 -1
4 -1 6 a
.
 Soluciones
1. =-1: c.i.; -1: c.d. (1,0,2) 2. b=1: c.i. (0,3-k,k); b1: c.d. (0,3,0) 3. a=1, b 4. a=1: c.i. (1-k-m,k,m); a1: c.d. (a+2,-1,-1) 5. 16, 1
2
, 2 6. a=0: inc; a=1:c.i.; a{0,1}:
c.d. a-1
a
,0, 1
2
 7. a=0: inc; a=1: c.i. (-5k,1+3k,k); a{0,1}: c.d. -2a-3
2a
,2a+3
2a
,3-2a
2a
 8. 1
6
8 4
3 3
 9. a=-3: inc; a=-2: c.i. (-3k,1-k,k); a{-3,-2}: c.d. -2a-1
a+3
, 2
a+3
, -1
a+3
 10.
a a
-a -a
 11. a a
-a -a
, a 12. a=3: inc; a3: c.d; a
2+2a-3
2a-6
,1-a
2
,-2a
a-3
 13. a=2: 1; a=-2: 2; a{-2,2}: 3 14. a=0: c.i. (4-3k,2k-1,k); a0: c.d. (7-a,a-3,-1) 15. 
1
1
1
 16.
si ; 2 1
-4 -2
 17. 3, -3, 18 ; -3, 3, 18 18. a = 1: 1; a = -1: 2; a{-1,1}: 3 19. a{-2,-1}: b9, inc; b=9: comp.ind. ; a{-2,-1}: comp. det. (b) 20. -abc 21. 1, 3, -2+ 13,
-2- 13 22. a = 1: inc. ; a  1: c.d. -a
3-3a+2
3a2-6a+3
, -a
2+a-1
3a2-6a+3
, -a
2-2a+2
3a2-6a+3
 23. P(x) = x2-1; único 24. -12 5
2 0
 25. a = 3: c.i. -5k,2k,k ; a = -12
7
: c.i. 28k,-35k,k ;
a -12
7
,3 :c.d. 0,0,0 26. t = -5: c.d.; t  -5: inc. 27. a = 0: comp. ind. ; a  0: comp. det. 28. 5 5 -2 29. 1
a2+b2
a+b -b
-2a a+b
, a2+b20 30. -1
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