Álgebra lineal Selectividad CCSS 2013

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2013
1. [ANDA] [EXT-B] Sean las matrices A = 
1
5
0
- 2
5
3
5
, B = 
3
5
-1
4
5
4
5
, C = 1 0 -1
2 1 3
.
a) Resuelva la ecuación matricial (2A+B)·X = 3A-B.
b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: C·D +A, Ct·D·C,
D·Ct, C·D·Ct.
2. [ANDA] [JUN-A] Sean las matrices A = 2 -1
a b
 y B = -1 1
3 0
.
a) Obtenga a y b sabiendo que A2 = 5 -2
-2 1
. ¿Es A simétrica?
b) Para los valores a = 3 y b = 1 calcule la matriz X tal que A·B = 2 X-3I2 .
3. [ARAG] [EXT-A] Dadas las matrices: A = 
1 0 -1
-3 2 3
-1 3 0
, B = 
2 1
0 -1
1 2
, C = 1 -1 0
1 0 1
a) Encontrar, si existe, una matriz X tal que 3X + 2A = BC.
b) Encontrar, si existe, la matriz inversa de A.
4. [ARAG] [JUN-A] Discutir según los valores de a el sistema: 
x+ay+z = -1
-x+y+az = 0
2x-y+z = a
. Resolverlo para a = -2.
5. [ASTU] [EXT-A] Sean las matrices A = m·y -1
2-2·x 2
, B = -1
-m
, C = x -1
2 y
 y D = m
m
.
a) Si A·B + C·D = D, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.
b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema
para m = 1.
6. [ASTU] [JUN-A] Sean las matrices A = x y
x 1
, B = 2 0
-1 3
, C = m
1
 y D = -2x
mx
.
a) Si (A·B - B·A)·C = D, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro
m.
b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema
para m = 1.
7. [ASTU] [JUN-B] Una gran superficie vende dos productos estrella: reproductores de DVD y televisores. Con cada reproductor
pierde 200 euros y con cada televisor gana 400 euros, obteniendo un día determinado unos beneficios de 10000 euros por la
venta de ambos tipos de productos. Se sabe además que el número de reproductores de DVD que se han vendido ese día es m
veces el número de televisores.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de televisores y de
reproductores de DVD vendidos. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que se hayan
vendido el doble de reproductores de DVD que de televisores?
b) Suponiendo que se ha vendido el mismo número de televisores que de reproductores de DVD, ¿cuántos televisores se han
vendido?
8. [C-LE] [EXT-A] Se considera el sistema de ecuaciones: 
x+y-z = 25
2x-y+10z = 50
3x+ay-4z = 10
a) Clasifica este sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Resuelve el sistema para a = 0.
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9. [C-LE] [JUN-A] Se consideran las matrices A = 
x 1
2x -1
-x 1
, B = 1
y
, C = 
z
2z
-z
, D = 
1
0
1/3
 donde x, y, z son desconocidos.
a) Sabiendo que A·B + C = 3D, plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y, z.
b) Estudia el sistema planteado en función del número de sus soluciones y calcula una de ellas, si es posible.
10. [C-MA] [EXT-A] En un departamento de una empresa internacional trabajan 18 personas de tres nacionalidades: franceses,
ingleses y alemanes. El número de empleados franceses es igual al doble del número que resulta al sumar el número de ingleses y
alemanes. Y el número de alemanes es el doble del número de ingleses.
a) Plantea el sistema que permita ontener el número de trabajadores de cada nacionalidad.
b) Resuelve el problema planteado en el apartado anterior.
11. [C-MA] [EXT-B] a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: -7·I - 5·X + A·X = B, suponiendo que todas las matrices
son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad).
b) Si A = 3 0
-3 -1
, calcula la matriz X que cumple X·A = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
12. [C-MA] [EXT-B] Una floristería elabora, para el día de la madre, tres tipos de centros florales: tipo I, tipo II y tipo III, que
llevan margaritas, gerberas y liliums, en las siguientes cantidades:
Tipo I Tipo II Tipo III
Margaritas 12 4 8
Gerberas 10 15 5
Liliums 3 6 12
Si se dispone de 100 margaritas, 125 gerberas y 75 liliums:
a) Plantea el sistema que permita averiguar cuántos centros florales de cada tipo se pordrán elaborar utilizando todas las flores
disponibles.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
13. [C-MA] [JUN-A] Para recaudar dinero para el viaje de fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorras a
10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 2980 euros. El número total de prendas vendidas ha sido 380. El número
de camisetas vendidas fue el doble del número de gorras vendidas.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el número de camisetas, bufandas y gorras que se vendieron.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
14. [C-MA] [JUN-B] Dadas las matrices A = 
1 -1 1
1 3 1
1 0 1
 y B = -1 1
5 0
a) Calcula la matriz M = 3·I + A2, donde I es la matriz identidad de orden 3.
b) Calcula la matriz X tal que X·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
15. [C-MA] [JUN-B] Una empresa produce tres tipos de bicicletas: de montaña, de paseo y estáticas. Para su fabricación cada
bicicleta necesita piezas de acero, alumninio y fibra de carbono en las cantidades que se indican en la tabla siguiente:
Bicicleta de montaña Bicicleta de paseo Bicicleta estática
Piezas de acero 2 3 1
Piezas de aluminio 6 4 6
Piezas de fibra de carbono 8 6 6
Si se dispone de 9 piezas de acero, 28 piezas de aluminio y 34 piezas de fibra de carbono:
a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número de bicicletas de cada tipo que se podrán fabricar utilizando todas las
piezas.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
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16. [CANA] [EXT-A] Entre los tres trabajadores activos de una familia, madre, padre y hermano mayor, han ganado un total de
66000 euros. Si la madre gana el 125% de lo que gana el padre y las ganancias conjuntas de padre y hermano mayor igualan la
suma de lo que gana la madre más la mitad de lo que gana el padre,
a) Plantear el sistema correspondiente.
b) ¿Cuánto gana cada uno?
17. [CANA] [JUN-A] Se gastan 3031,25 euros en comprar 1000 cajas de papel de tres colores diferentes: amarillo, blanco y celeste.
La caja de papel amarillo cuesta 5,50 euros, la caja de papel blanco cuesta 3,75 euros y, como es reutilizado, la caja de papel
celeste cuesta 2,25 euros.
Sabiendo que el número de cajas celestes es el número de cajas amarillas más el doble del número de cajas blancas, se pide:
a) Plantear el sistema que permita hallar la cantidad de cajas de cada tipo que se han comprado.
b) Resolver dicho sistema.
18. [CATA] [EXT] Sean las matrices A = 2 1
-1 -1
 y B = -2 5 .
a) Resuelva la ecuación matricial X + 2A = X·A, donde X es la matriz incógnita.
b) Hay alguna matriz Y que verifique Y·A = B? ¿Y que verifique A·Y = B? Justifique sus respuestas.
19. [CATA] [EXT] Julia, Pol y María han ido a comprar fruta. Julia ha comprado un kilogramo de manzanas, dos de melocotones y tres
de naranjas, y ha pagado 9 €. Pol ha comprado dos kilogramos de manzanas y cuatro de melocotones, y ha pagado 12 €. María, en
cambio, ha comprado cuatro kilos de manzanas y dos de naranjas, y ha pagado 8 €. Calcule el precio del kilogramo de cada fruta.
20. [CATA] [EXT] En los dos últimos años, el valor de las acciones en bolsa de una empresa ha bajado un 20% anual.
a) Este año, en cambio, las acciones han subido un 30%. ¿Cuál es el porcentaje global de pérdida en estos tres años?
b) ¿Cuál debería ser el porcentaje de ganancias de este tercer año si el balance global de los tres años acaba siendo equilibrado,
es decir, sin pérdidasni ganancias?
21. [CATA] [JUN] Sean las matrices A = 2 a
-2 0
 y B = 3 0
b -1
.
a) Determine el valor de los parámetros a y b para que A·B = B·A.
b) Determine el valor de a para el cual se verifica A2 = 2A.
22. [EXTR] [EXT-B] Sean las matrices A = 1 -1
2 0
, B = 2 0
-3 -1
 y C = -1 2
0 1
.
Hallar la matriz X que sea solución de la ecuación matricial A·X = B·X + C.
23. [EXTR] [JUN-B] Sea la matriz A = 1 a
0 -1
. Se pide, justificando las respuestas:
a) Calcular su matriz inversa.
b) Comprobar que para todo valor de a se verifica que A2 = I, con I la matriz identidad de orden 2.
c) Calcular A37.
24. [MADR] [EXT-A] Se consideran las matrices A = 0 2
3 0
 y B = -3 8
3 -5
.
a) Calcúlese la inversa de la matriz A.
b) Resuélvase la ecuación matricial A·X = B-I, donde I es la matriz identidad.
25. [MADR] [EXT-B] Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro k:
kx + y = 0
x + ky - 2z = 1
kx - 3y + kz = 0
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a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema para k = 1.
26. [MADR] [JUN-A] Dada la matriz A = 
3 2 0
1 0 -1
1 1 1
a) Calcúlese A-1.
b) Resuélvase el sistema de ecuaciones dado por: A
x
y
z
 = 
1
0
1
.
27. [MADR] [JUN-B] Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
ax - 2y = 2
3x - y - z = -1
x + 3y + z = 1
a) Discútase en función de los valores del parámetro a.
b) Resuélvase para a = 1.
28. [MURC] [EXT-A] En un avión viajan un total de 360 pasajeros, el número de hombres duplica al de la suma de mujeres y los niños.
El número de adultos menos el de niños duplica al número de hombres menos el de mujeres. Determir el número de hombres,
mujeres y niños que viajan en el avión.
29. [MURC] [JUN-A] Dadas las matrices A = 
1 1 5
0 1 6
a 0 1
, B = 
2 b
1 2
-1 0
 y C = -2 -5 1
3 c 1
.
a) Hallar a, b y c para que se cumpla que A·B = Ct. (Ct denota la traspuesta de C)
b) Para a = 0 calcular la inversa de A.
30. [RIOJ] [EXT] San las matrices A = 1 1
0 1
 e I = 1 0
0 1
. Determinar los valores reales, p y q, para los que se cumple la ecuación
A2+p·At+q·I = 2·A-1.
(Nota: At indica la matriz traspuesta de la matriz A y A2 indica el producto de matrices A·A).
31. [RIOJ] [EXT-A] Consideremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas siguiente: 
ax+y = 1
x+y+2z = 1
3(y+3z) = a
a) Determinar los valores del parámetro a para los que el sistema es compatible y determinado.
b) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema es compatible e indeterminado?, ¿e incompatible?
c) Resolver el sistema para a = 3.
32. [RIOJ] [JUN] Consideremos el sistema de ecuaciones ax - 
y
a
 = 1
-ax + ay = 2
 donde  es un cierto parámetro que no es nunca cero.
¿Existe algún valor de a para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para un valor del parámetro a para el que
sea compatible.
33. [RIOJ] [JUN-A] Consideremos la matriz A = a-1 -2a+3
1 a-1
.
a) Determinar los valores de a para los que existe la matriz inversa A-1.
b) Tomando a = -1, calcular las matrices B = A-1·At y C = At 2.
c) Tomando a = -1, determinar una matriz X tal que 6·A·X - At = A· At 2.
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(Nota: At indica la matriz traspuesta de A)
34. [VALE] [EXT-A] Sean las matrices A = 1 2
0 3
, B = 2 -1
1 2
 y C = 0 1
-1 2
. Resuelve la ecuación XAB - XC = 2C.
35. [VALE] [JUN-A] a) Calcula las matrices X e Y sabiendo que X+Y = 3 1
4 3
 y 2X-Y = 0 5
-7 -3
.
b) Obtén la inversa de la matriz A = 3 2
2 2
.
c) Obtén la matriz X tal que XA = 1 0
8 6
.
36. [VALE] [JUN-B] Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades de memoria externa, de lectores de libros
electrónicos y de tabletas gráficas a un precio de 100, 120 y 150 euros la unidad, respectivamente. El importe total de la compra
fue de 1160 € y el número total de unidades adquiridas 9. Además, compró una unidad más de tabletas gráficas que de lectores
de libros electrónicos. ¿Cuántas unidades compró de cada producto?
 Soluciones
1. a) 1
2
-2 3
-2 1
 b) 3x2; 2x2; mx3; 3x3 2. a) -1, 0; si b) 1
2
1 2
0 9
 3. a) 1
3
1 -2 3
5 -4 -7
5 -7 2
 b) 1
2
9 3 -2
3 1 0
7 3 -2
 4. a{-1,0}: inc; a{-1,0}: c.d.; -5
4
, 1
4
,3
4
 5. a) mx-my = m
2x+my = m+2
 b)
m=-2: inc; m=0: c.i.; m{-2,0}: c.d.; 4
3
, 1
3
 6. a) 2x+(1-m)y = 0
-mx+y = m
 b) m{-1,2}: inc; m{-1,2}: c.d.; (0,1) 7. a) no b) 50 8. a) a= 13
4
: inc; a 13
4
: c.d. b) (10,20,5) 9.
x+y+z = 3
2x-y+2z = 0
-x+y-z = 1
 b) c.i. (1-k,2,k) 10. a) 
x+y+z = 18
x = 2(y+z)
z = 2x
 b) (12,2,4) 11. a) (A-5I)-1(B+7I) b) 1
3
1 0
-3 -3
 12. a) 
12x+10y+3z = 100
4x+15y+6z = 125
8x+5y+12z = 75
 b) (2,7,2) 13. a) 
10x+5y+7z = 2980
x+y+z = 380
x = 2z
b) (180,110,90) 14. a) 
4 -4 1
5 11 5
2 -1 5
 b) 1
5
0 1
5 1
 15. a) 
2x+3y+z = 9
6x+4y+6z = 28
8x+6y+6z = 34
 b) (2,1,2) 16. a) 
x+y+z = 66000
x = 1'25y
y+z = x+ y
2
 b) (27500,22000,16500) 17. a)
5'5x+3'75y+2'25z = 3031'25
x+y+z = 1000
z = x+2y
 b) (125,250,625) 18. a) 6 2
-2 0
 b) -7 -12 ; no 19. (1'50,2'25,1) 20. a) 16'8% b) 56'25% 21. a) 0, -4 b) 0 22. 1
4
-1 3
5 -11
 23.
a) 1 a
0 -1
 c) 1 a
0 -1
 24. a) 1
6
0 2
3 0
 b) 1 -23
-2 4
 25. a) k{-3,3}: inc; k=0: c.i.; k{-3,0,3}: c.d. b) 1
8
,-1
8
,-1
2
 26. a) 
-1 2 2
2 -3 -3
-1 1 2
 b) 
1
-1
1
 27. a) a=-4: inc; a-4: c.d.
b) 2
5
,-4
5
,3 28. (240,90,30) 29. a) 1, 1, 2 b) 
1 -1 1
0 1 -6
0 0 1
 30. 0, -3 31. a) a3 b) a=3; no c) (k,1-3k,k) 32. a{-1,1}: inc; a{-1,1}: c.d. a
2+2
a3-a
, 3a
a2-1
 33. a)
a - 2, 2 b) 21 -8
8 -3
, 9 -4
-20 9
 c) 5 -2
-2 1
 34. 1
2
-2 2
-6 5
 35. a) 1 2
-1 0
, 2 -1
5 3
 b) 1 -1
-1 3/2
 c) 1 -1
2 1
 36. (2,3,4)
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