Álgebra lineal Selectividad CCSS La Rioja

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Selectividad CCSS La Rioja
1. [2014] [EXT] Consideremos el sistema de ecuaciones ax+y = 1
4x+ay = 2
 donde a es un cierto parámetro real. ¿Existe algún valor de a
para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para a = 2.
2. [2014] [EXT-A] Consideremos la matriz A = 4-a 2a-5
-a a-1
a) Determinar los valores de a para los que existe la matriz inversa A-1.
b) Tomando a = 3, calcular las matrices B = A·At y C = 5·A-1 2.
c) Tomando a = 3, determinar una matriz X tal que A·X = 25·A-1 + A2·At.
(Nota: At indica la matriz traspuesta de la matriz A)
3. [2014] [JUN] Consideremos el sistema de ecuaciones ax-(3a-2)y = 1
x-ay = a
, donde a es un cierto parámetro real. ¿Existe algún valor
de a para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para a = 1.
4. [2014] [JUN] Sean las matrices A = 
2 1
-1 1
2
 y B = 
1 0
0 4
-2 2
. Calcular, si existe, una matriz X de tal forma que A·X = Bt.
(Nota: Bt indica la matriz traspuesta de la matriz B)
5. [2014] [JUN-B] El afamado cocinero Alfredo Azurmendi tiene un restaurante con tres comedores en los que sirve un Menú
Degustación, un Menú Executive y un Menú del Día. La distribución de comensales de un cierto día y los ingresos aparecen
reflejados en la tabla adjunta.
Menú
Degustación
Menú
Executive
Menú
del Día
Ingresos
Comensales comedor 1 10 4 10 680 €
Comensales comedor 2 10 3 5 610 €
Comensales comedor 3 5 5 2 370 €
a) Determinar el sistema de ecuaciones que permita conocer el precio de cada uno de los menús del restaurante.
b) Determinar el precio de cada uno de los menús.
c) Si el coste de elaboración y servicio de un Menú Degustación es 35 €, de un Menú Executive es de 14 € y el del Menú del Día es
6 €, determinar los beneficios del restaurante del día reflejado en la tabla. (Nota: para calular los beneficios debes aplicar que
Beneficios=Ingresos-Costes)
6. [2013] [EXT] San las matrices A = 1 1
0 1
 e I = 1 0
0 1
. Determinar los valores reales, p y q, para los que se cumple la ecuación
A2+p·At+q·I = 2·A-1.
(Nota: At indica la matriz traspuesta de la matriz A y A2 indica el producto de matrices A·A).
7. [2013] [EXT-A] Consideremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas siguiente: 
ax+y = 1
x+y+2z = 1
3(y+3z) = a
a) Determinar los valores del parámetro a para los que el sistema es compatible y determinado.
b) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema es compatible e indeterminado?, ¿e incompatible?
c) Resolver el sistema para a = 3.
8. [2013] [JUN] Consideremos el sistema de ecuaciones ax - 
y
a
 = 1
-ax + ay = 2
 donde  es un cierto parámetro que no es nunca cero.
¿Existe algún valor de a para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para un valor del parámetro a para el que
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sea compatible.
9. [2013] [JUN-A] Consideremos la matriz A = a-1 -2a+3
1 a-1
.
a) Determinar los valores de a para los que existe la matriz inversa A-1.
b) Tomando a = -1, calcular las matrices B = A-1·At y C = At 2.
c) Tomando a = -1, determinar una matriz X tal que 6·A·X - At = A· At 2.
(Nota: At indica la matriz traspuesta de A)
10. [2012] [EXT] Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro a. Resuelve para el valor a = 0. x+a
2y+z = 0
ax+a2y+z = 1
11. [2012] [EXT] Sea la matriz A = 4 -1
-3 1
. Calcula la inversa de A. Resuelve la ecuación matricial: A2X = 2I (donde I representa la
matriz identidad de orden 2).
12. [2012] [JUN] Calcula el valor de la expresión A(A+2I), siendo A = -1 0
4 -1
 e I la matriz identidad de orden 2. Utiliza lo anterior
para calcular la inversa de A.
13. [2012] [JUN] Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro : x+y = 1
x+3y = 3
.
Calcula las soluciones para  = 3.
14. [2012] [JUN] Los precios de las entradas a un partido de fútbol depende de la zona (Z1, Z2, Z3) donde se encuentre el asiento.
La suma de las tarifas de Z2 y Z3 es el triple que la tarifa de Z1. Comprar 10 entradas de cada zona cuesta en total 2400.
Además, cuesta lo mismo comprar una entrada en Z3 que una en Z2 rebajada un 20%.
i) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones.
ii) Calcula el precio de las entradas de cada zona.
15. [2011] [EXT] Encuentra un número real a que haga que el siguiente sistema con dos ecuaciones sea incompatible: x+ay = 1
ax+y = 1
.
16. [2011] [EXT] Dada la matriz A = 1 -1
1 0
, resuelve la ecuación matricial AX = 3(A+I), donde I representa la matriz identidad de
orden 2.
17. [2011] [EXT] a) La entrada normal a un museo cuesta 1 euro, pero se hace un descuento del 30% a los jóvenes y del 50% a los
jubilados. De una jornada se tienen los siguientes datos: se vendieron 200 entradas, se obtuvo una recaudación de 154 euros y
solo la mitad de las entradas vendidas tenían algún tipo de descuento. Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones y calcula
el número de visitantes que pagó cada una de las tres tarifas posibles.
b) Si añadimos a todo lo anterior: "se sabe que fueron la cuarta parte de jóvenes que de jubilados", ¿hay solución?
18. [2011] [JUN] Calcula las soluciones del sistema x+y+z = 2
x+y-z = 2
.
Si se añade la ecuación x = 3, ¿tiene solución el nuevo sistema?
19. [2011] [JUN] Consideramos la ecuación 2x+4y = 4. Añade otra ecuación de forma que el sistema resultante (dos ecuaciones y dos
incógnitas) sea compatible determinado, siendo su única solución y = 0, x = 2.
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20. [2010] [EXT] Encuentra un número real a que haga que el siguiente sistema con dos ecuaciones sea incompatible: x+ay = 1
ax+y = 1
.
21. [2010] [EXT] Dada la matriz A = 1 -1
1 0
, resuelve la ecuación matricial AX = 3(A+I), donde I representa la matriz identidad de
orden 2.
22. [2010] [EXT] a) La entrada normal a un museo cuesta 1 euro, pero se hace un descuento del 30% a los jóvenes y del 50% a los
jubilados. De una jornada se tienen los siguientes datos: se vendieron 200 entradas, se obtuvo una recaudación de 154 euros y
sólo la mitad de las entradas vendidas tenía algún tipo de descuento. Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones y calculael
número de visitantes que pagó cada una de las tres tarifas posibles.
b) Si añadimos a todo lo anterior: "se sabe que fueron la cuarta parte de jóvenes que jubilados", ¿hay solución?
23. [2010] [JUN] Dada la matriz A = 0 1
-1 1
, calcula la matriz A-1.
Calcula la matriz (A-I)A-1, donde I representa la matriz identidad de orden 2.
24. [2010] [JUN] Consideramos la matriz A = 
1 1 1
1 k 1
k 0 3
.
a) Calcula el rango de A según los valores del parámetro real k.
b) Clasifica y resuelve (según los valores de k) el sistema A
x
y
z
 = 
3
3
9
.
25. [2009] [EXT] Se considera el sistema: 
x-y = 1
2x-3y = 1-a
ay = a+1
a) ¿Para qué valores del parámetro a el sistema resultante es incompatible?
b) Resuelve el sistema para los valores de a que lo hagan compatible.
26. [2009] [EXT] Consideramos la matriz A = 1 a
a 0
, siendo a  0.
a) Calcula el determinante de la matriz A.
b) Calcula la matriz inversa de A.
c) Tomando a = 1, resuelve la ecuación matricial AX = A2+3I, donde I representa la matriz unidad (identidad) de orden 2.
27. [2009] [JUN] a) Prueba que para cualquier valor que tenga el número real a, la siguiente matriz tiene inversa: A = a -1
1 a
.
b) Calcula la inversa de A, tomando a = 0.
28. [2008] [EXT] Pon un ejemplo, dando los valores concretos del parámetro a, de un sistema de ecuaciones de la forma x+y = 4
x+ay = a
que tenga una solución única y otro ejemplo donde no tenga solución.
29. [2008] [JUN] Resuelve la ecuación matricial M·X = M + MT, siendo X una matriz desconocida de tamaño 2x2, M = 1 2
3 4
 y MT la
traspuesta de M.
30. [2008] [JUN] Discute, en función del parámetro a, la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales. Resuélvelo cuando sea
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posible. 
x+4y+z = 2
3x-y+2z = 1
2x-5y+az = -a
31. [2007] [EXT] Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa: A = 
3 2 1
a 5 0
1 2 3
.
32. [2007] [JUN] Un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas,, ¿puede ser compatible determinado? En caso afirmativo, da un
ejemplo.
33. [2006] [EXT] Sean A y B dos matrices de tamaño 2x2. ¿Es cierta la igualdad (A+B)(A-B) = A2-B2? Pruébalo si es cierto y busca un
contraejemplo si es falso.
34. [2006] [JUN] Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa: A = 
1 3 3
1 2 3
2 5 a
.
35. [2005] [EXT] Supongamos que A es una matriz 2x3 y B es una matriz 3x2. ¿Tiene sentido escribir (AB)-1 = B-1A-1?
36. [2005] [EXT] En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El número de matriculados en
primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los
de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. Calcula el número de los alumnos que hay matriculados en cada curso.
37. [2005] [JUN] ¿Es posible que una matriz de tamaño 3x2 coincida con su traspuesta? ¿Y con su inversa?
38. [2005] [JUN] Tres hermanos queiren reunir 26 euros para comprar un regalo a sus padres. Después de una larga discusión han
decidido que el mediano debe poner el doble que el pequeño y el mayor debe poner dos terceras partes de lo que ponga el
mediano. ¿Cuánto debe poner cada uno?
39. [2004] [EXT] Sea la siguiente matriz 2x2: A = 2 0
0 5
. Calcula AT y A-1.
40. [2004] [EXT] Discute y resuelve (si son compatibles) los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
x+y-2z = -5
2x-y+z = 2
3x+2y+z = 5
 ; 
-x+2y = -1
x-3y = 0
2x-5y = 1
41. [2004] [JUN] Una matriz cualquiera, ¿siempre se puede multiplicar por su traspuesta?
42. [2004] [JUN] Todo sistema con más ecuaciones que incógnitas es incompatible. ¿Verdadero o falso?
43. [2004] [JUN] Calcula el determinante de las siguientes matrices: A = 1 2
2 5
, B = 
1 -2 3
5 0 6
3 -6 9
.
44. [2003] [EXT] Sea la matriz 1x3: A = 1 2 a . Calcula el valor de A sabiendo que AAT = 5 .
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45. [2003] [EXT] En un taller de confección se han gastado un total de 300 euros en telas de 3 precios: 6 euros/metro, 9
euros/metro y 12 euros/metro. En total se han comprado 32 metros, y del precio mediano se ha comprado un metro más que del
precio más barato. Calcula cuántos metros se han comprado de cada precio.
46. [2003] [JUN] Sea la matriz 2x2: A = 1 a
2 4
. Calcula el valor de a sabiendo que no existe la matriz inversa de A.
47. [2003] [JUN] Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea incompatible.
 Soluciones
1. a=-2; (k,1-2k) 2. a) a 2 b) 2 -1
-1 13
, 1 -3
9 -2
 c) 3 -4
8 11
 3. a=2; (k+1,k) 4. 1
4
1 -8 -6
2 16 4
 5. a) 
10x+4y+10z = 680
10x+3y+5z = 610
5x+5y+2z = 370
 b) (50,20,10) c) 515 6. 0, -3 7. a) a3 b)
a=3; no c) (k,1-3k,k) 8. a{-1,1}: inc; a{-1,1}: c.d. a
2+2
a3-a
, 3a
a2-1
 9. a) a - 2, 2 b) 21 -8
8 -3
, 9 -4
-20 9
 c) 5 -2
-2 1
 10. a=1: inc; a1: c.i.; a=0: (-1,k,1) 11. 1 1
3 4
;
8 10
30 38
 12. -3 0
4 -3
; -1 0
-4 -1
 13. =3: c.i; 3: c.d.; =3: (k-1,k) 14. 
3x-y-z = 0
x+y+z = 240
4y-5z = 0
; 60,100,80 15. -1 16. 3 3
-3 6
 17. 100, 20, 80; si 18. (2,k,k); no 20. -1
21. 3 3
-3 6
 22. a) 100, 20, 80 b) si 23. 1 -1
1 0
, 0 1
-1 1
 24. a) k{1,3}: 2; k{1,3}: 3 b) k=1: c.i. (9-3m,2m-6,m); k=3: c.i. (3-m,0,m); k{1,3}: c.d. (0,0,3) 25. a) a{-1,1}
b) a=-1: (1,0); a=1: (3,2) 26. a) -a2 b) 1
a2
0 a
a -1
 c) 1 4
4 -3
. 27. b) 0 1
-1 0
 29. 1
2
2 -4
1 7
 30. a=1: c.i. (9k-3,k,5-13k); a1: c.d. 15
13
, 6
13
,-1 31. 10 32. si 33. no
34. 6 35. no 36. 200, 100, 50 37. no, no 38. 6, 12, 8 39. 2 0
0 5
, 1
10
5 0
0 2
 40. inc.; c.d: 1, 3 41. si 42. falso 43. 1, 0 44. 0 45. 9, 10, 13 46. 2
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