Integrales Selectividad CCNN 2010

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Selectividad CCNN 2010
1. [ANDA] [SEP-B] Considera la función f:    dada por f(x) = x2+4.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta de ecuación y = 2x+3. Calcula su área.
2. [ANDA] [SEP-A] Sea I = 
5
1+ e-x
dx.
a) Expresa I haciendo el cambio de variable t2 = e-x.
b) Determina I.
3. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f dada por f(x) = 5-x y la función g definida como g(x) = 4
x
, para x  0.
a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte.
b) Calcula el área de dicho recinto.
4. [ANDA] [JUN-A] Calcula 
2
sen x dx.
0
Sugerencia: Efectúa el cambio x = t.
5. [ARAG] [SEP-B] Sea f(x) = 
x
1- 1+x
 una función definida en [-1,+).
a) ¿Cuánto debe valer f(0) para asegurar que f(x) es continua en su dominio? Calcular 
2
f(x)
1- 1+x
dx
1
.
b) Para G(x) = 
x
f(t)
1- 1+t
dt
1
 calcular G'(x).
6. [ARAG] [SEP-A] a) Utilizar el cambio de variable t3 = 1-x para calcular el siguiente límite lim
x0
(1-x)1/3-1
x
.
b) Estudiar la continuidad de f(x) = x
2+1 , x < 1 
1-x , x  1
 y obtener 
1/2
f(x)dx
-1/2
.
7. [ARAG] [JUN-B] a) Hallar el área encerrada entre la curva y = x3-3x y la recta y = x.
b) Calcular lim
x
2 ln n
ln 7n2
ln n
.
8. [ARAG] [JUN-A] Sea f(x) = 
x2+2x , - < x  0
sen(ax) , 0 < x < 
(x-)2+1 ,   x < +
a) Calcular los valores de a para los cuales f(x) es una función continua.
b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para cada uno de esos valores.
c) Obtener 
0
f(x)dx
-1
.
9. [ASTU] [SEP-B] La curva y = x2+3 y la recta y = 2x+3 limitan un recinto finito en el plano. 
a) Dibuje un esquema del recinto. 
b) Calcule su área.
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10. [ASTU] [SEP-A] Resuelva por partes excos3xdx.
11. [ASTU] [JUN-B] Resuelva por cambio de variable e
x-4e2x
1+ex
dx.
12. [ASTU] [JUN-A] a) Resuelva por partes la siguiente integral: x(1-lnx)dx.
b) De todas las primitivas de f(x) = x(1-lnx) calcule la que pasa por el punto (1,3).
Nota: ln x denota el logaritmo neperiano de x.
13. [C-LE] [SEP-B] Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y2 = x y la recta de ecuación y = x-2.
14. [C-LE] [SEP-A] Determinar la función f tal que f'(x) = x
4+x+1
x2+x
 y con f(1) = 2.
15. [C-LE] [JUN-A] a) Dadas las funciones f(x) = ln(x) y g(x) = 1-2x, hallar el área del recinto plano limitado por las rectas x = 1,
x = 2 y las gráficas de f(x) y g(x).
b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él
16. [C-LE] [JUN-A] a) Si el término independiente de un polinomio p(x) es -5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede
asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0,3]? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que
se utilicen.
b) Calcular cos(x)
1+sen2(x)
dx.
17. [C-MA] [SEP-B] a) Enuncia la formula de integración por partes.
b) Calcula la integral indenida: xLnxdx.
Nota: Ln x representa el logaritmo neperiano de x.
18. [C-MA] [SEP-A] a) Determina el dominio de la función f(x) = 2x+1.
b) Calcula la integral definida: 
0
f(x)dx
-1/2
.
19. [C-MA] [JUN-B] Calcula la integral indenida: cosx
1+sen2x
dx. (Nota: Puedes probar el cambio de variable y = sen x)
20. [C-MA] [JUN-A] a) Representa gráficamente las parabolas f(x) = x2-3x-1 y g(x) = -x2+x+5.
b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas.
21. [CANA] [SEP-B] Calcular:
a) 
2
x 2x2+1dx
0
.
b) x
2+3
x2-2x
dx.
22. [CANA] [JUN-A] Dadas las funciones f(x) = x2-4 y g(x) = 3x,
a) Representar el recinto limitado por sus gráficas, indicando vértice y puntos de corte con los ejes.
b) Calcular el área de dicho recinto.
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23. [CATA] [SEP] Dada la función f(x) = 8x
2
2x+1
, encuentre el área del recinto limitado por la gráfica de esta función, el eje OX y las
rectas x = 0 y x = 2.
24. [CATA] [JUN] La gráfica de la función f(x) = x·sen(x) es la siguiente:
a) Encuentre una primitiva de la función.
b) Aplicando el resultado del apartado anterior, calcule el área del recinto limitado por la
gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas desde x = 0 hasta x = .
25. [EXTR] [SEP-B] a) Represente, aproximadamente, el recinto plano limitado por la parábola y = 2x2 y la parábola y = x2+4.
b) Calcule el área de dicho recinto.
26. [EXTR] [SEP-A] Calcule el valor de la integral 
2
x-1
8
2/3
dx
1
.
27. [EXTR] [JUN-B] a) Diga cuándo una función F(x) es primitiva de otra función f(x).
b) Calcule una primitiva F(x) de la función f(x) = xex2 que cumpla F(0) = 0.
28. [EXTR] [JUN-A] a) Represente, de forma aproximada, la recta x = 1 y las curvas y = x
2
2
, y = 4
x
, y señale el recinto plano limitado
por ellas.
b) Calcule el área de dicho recinto.
29. [MADR] [SEP-A] Calcular: a) 
1
x
4-x2
dx
0
 ; b) 

xcosxdx
0
.
30. [MURC] [SEP-B] Calcular el área de la región delimitada por el eje x y la función f(x) = x- x.
31. [MURC] [SEP-A] Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral y calcular la integral siguiente: x
2
x2-9
dx.
32. [MURC] [JUN-B] Calcular la integral siguiente: 
1
x2
x2-x-2
dx
0
.
33. [MURC] [JUN-A] Calcular el área encerrada por las curvas f(x) = x3+x2+2x+1 y g(x) = 4x2 +1.
34. [RIOJ] [SEP] Dibuja las curvas y = x3-1, y = -x2+x. Halla el área comprendida entre ambas.
35. [RIOJ] [JUN] Calcula 2x
x2+5
dx
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36. [VALE] [SEP-A] Dadas las funciones f(x) = x3 y g(x) = 2x2-x , se pide:
a) Obtener razonadamente los puntos de intersección A y B de las curvas y = f (x) e y = g(x).
b) Demostrar que f (x)  g(x) cuando x  0.
c) Calcular razonadamente el área de la superficie limitada por las dos curvas entre los puntos A y B .
 Soluciones
1. a) y = 2x+3 b) 
1 2 3 4-1
1
3
5
X
Y
 1
3
 2. a) -10 1
t(1+t)
dt b) -10ln1+ e
-x
e-x
+c 3. a) (1,4), (4,1) b) 15-8ln4
2
 4. 2 5. a) -2; -1 b) -1 6. a) -1
3
 b) -{1};
13
12
 7. a) 8 b) 7
7
 8. a) 1
2
+2k b) no es derivable en x = 0 c) -2
3
 9. a) b) 4
3
 10. 3e
xsen3x+excos3x
10
 +c 11. -4ex+5ln ex+1 +c 12. a) 2x
2(1-lnx)+x2
4
 +c
b) a) 2x
2(1-lnx)+x2
4
 +4 13. 9
2
 14. x
3
3
 - x
2
2
 +x+ 1
2
ln|x|- 1
2
ln|x+2|+ 7
6
 +ln 3 15. a) 1+ln4 16. a) si b) arctg(senx)+c 17. b) x
2
2
lnx- x
2
4
 +c 18. a) -1
2
,+ b) 1
3
 19.
arctgsenx+c 20. a) 
2 4 6-2
2
4
-4
X
Y
 b) 64
3
 21. a) 10 b) x-3
2
ln|x|+ 7
2
ln|x-2|+c 22. a) b) 125
6
 23. 4+ln5 24. a) senx-xcosx b)  25. a)
 b) 12 26. 3
20
 27. b) e
x2-1
2
 28. a) b) 4ln2- 7
6
 29. 2- 3; -2 30. 1
6
 31. x- 3
2
ln|x+3|+ 3
2
ln|x-3|+c 32. 1- 5ln2
3
 33. 1
2
 34.
1 2-1
1
-2
-3
X
Y
 4
3
 35. ln x25+ +c 36. a) (0,0), (1,1) c) 1
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