Integrales Selectividad CCNN Valencia

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1. [2014] [EXT-A] Sea f la función real definida por f(x) = xex-3x. Se pide obtener razonadamente:
a) Los puntos de corte de la curva y = f(x) con el eje X.
b) El punto de inflexión de la curva y = f(x), así como la justificación de que la función f es creciente cuando x > 2.
c) El ára limitada por el eje X y la curva y = f(x), cuando 0  x  ln3, donde ln significa logaritmo neperiano.
2. [2014] [JUN-A] Obtener razonadamente:
a) El valor de m para el cual la función f(x) = 
m(x+1)e2x , x  0
(x+1)senx
x
, x > 0
 es continua en x = 0.
b) Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función (x+1)e2x.
c) La integral (x+1)e2xdx, y el área limitada por la curva y = (x+1)e2x y las rectas x = 0, x = 1 e y = 0.
3. [2013] [EXT-B] En el plano XY está dibujada una parcela A cuyos límites son dos calles de ecuaciones x = 0 y x = 40,
respectivamente, una carretera de ecuación y = 0, y el tramo del curso de un río de ecuación y = f(x) = 30 2x+1, con 0  x  40,
siendo positivo el signo de la raíz cuadrada.
Se pretende urbanizar un rectágulo R inscrito en la parcela A, de manera que los vértices de R sean los puntos (x,0), x,f(x) ,
40,f(x) y (40,0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El área de la parcela A.
b) los vértices del rectángulo R al que corresponde área máxima.
c) El valor de dicha área máxima.
4. [2012] [EXT-A] Se definen las funciones f y g por f (x) = -x2+2x y g(x) = x2.
Obtener razonadamente:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de esas dos funciones.
b) El máximo relativo de la función f (x) = -x2+2x y el mínimo relativo de g(x) = x2.
c) Los puntos de intersección de las curvas y = -x2+2x e y = x2.
d) El área encerrada entre las curvas y = -x2+2x e y = x2, donde en ambas curvas la x varía entre 0 y 1.
5. [2012] [JUN-A] Con el símbolo ln x se representa el logaritmo de un número positivo x cuando la base del logaritmo es el número
e. Sea f la función que para un número positivo x está definida por la igualdad f(x) = 4xlnx. Obtener razonadamente:
a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo.
b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = 4xlnx en el punto (1,0).
c) El área limitada entre las rectas y = 0, x = e y x = e2 y la curva y = 4xlnx .
6. [2012] [JUN-B] Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A=(0,12) , B=(-x,x2) y C=(x,x2), siendo x2 < 12.
Obtener razonadamente:
a) El área del triángulo T en función de la abscisa x del vértice C.
b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima.
Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima la superficie S limitada entre la recta y = 4 y el arco de
parábola y = x2, cuando -2  x  2.
Obtener razonadamente:
c) El área de la superficie S.
d) El área total del escudo.
7. [2011] [EXT-B] Un coche recorre el arco de parábola  de ecuación 2y = 36-x2, variando la x de -6 a 6. Se representa por f(x) a
la distancia del punto (9,0) al punto (x,y) del arco  donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente:
a) La expresión de f(x).
b) Los puntos del arco  donde la distancia f(x) tiene mínimos relativos.
c) Los valores máximo y mínimo de la distancia f(x).
d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola  y el segmento rectilíneo que une los puntos (-6,0) y (6,0).
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8. [2011] [JUN-A] Sea la función f definida por f(x) = x
x2-3x+2
. Obtener razonadamente:
a) El domino y las asíntotas de la función f(x).
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x).
c) La integral f(x)dx = x
x2-3x+2
dx.
9. [2010] [EXT-A] Dadas las funciones f(x) = x3 y g(x) = 2x2-x , se pide:
a) Obtener razonadamente los puntos de intersección A y B de las curvas y = f (x) e y = g(x).
b) Demostrar que f (x)  g(x) cuando x  0.
c) Calcular razonadamente el área de la superficie limitada por las dos curvas entre los puntos A y B .
10. [2009] [EXT] Se consideran las funciones reales f(x) = 2x2+12x-6 y g(x) = (x-2) x2+9 . Se pide obtener razonadamente:
a) Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función f(x)
g(x)
.
b) La función H(x) = f(x)
g(x)
dx que cumple H(3) = 
3
.
11. [2009] [JUN] a) Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
f(x) = 1
(3-x)(3+x)
.
b) Obtener razonadamente los valores A y B tales que 1
(3-x)(3+x)
 = A
3-x
 + B
3+x
.
c) Calcular, razonadamente, el área de la superficie S limitada por la curva y = 1
(3-x)(3+x)
, el eje OX y las rectas de ecuaciones
x = -2 y x = 2.
12. [2009] [JUN] Dada la función real f(x) = ex-e-x, se pide calcular razonadamente:
a) La función f(x) + f(-x).
b) La integral 
a
f(x)dx
-a
, donde a es un número real positivo.
c) El punto de inflexión de f(x).
13. [2008] [EXT] Dada la función f(t) = at+b (con a y b constantes reales), se define F(x) = x
x+1
f(t)dt
1
. Se pide obtener
razonadamente:
a) La integral 
x+1
f(t)dt
1
.
b) La expresión de la derivada F'(x) de la función F(x).
c) La relación entre los valores a y b para la que se verifica: F''(0) = 0.
14. [2008] [EXT] Para cada número real positivo , se considera la función f(x) = x2+. Se pide calcular razonadamente:
a) El área de la región del plano limitada por el eje X, el eje Y, la recta x = 6 y la curva y = g(x).
b) El valor de  para el que la curva y = x2+ divide al rectángulo de vértices (0,0), 6,0 , 6,6+ , 0,6+ en dos regiones de
igual área.
15. [2008] [JUN] Se considera, en el primer cuadrante, la región R del plano limitada por: El eje X, el eje Y, la recta x = 2 y la curva
y = 1
4+x2
.
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a) Calcular razonadamente el área de la regió R.
b) Encontrar el valor de  para que la recta x =  divida la región R en dos partes A (izquierda) y B (derecha) tales que el área de
A sea el doble que la de B.
16. [2007] [EXT] Dadas las funcione reales f(x) = 4x2+2x+10 y g(x) = x3+x2+5x+5, se pide:
a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función f(x)
g(x)
.
b) Calcular la función H(x) = f(x)
g(x)
 que cumple H(0) = 0.
17. [2007] [JUN] Se consideran las funciones reales f(x) = 12x3-8x2+9x-5 y g(x) = 6x2-7x+2. Se pide:
a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función f(x)
g(x)
.
b) Calcular la función H(x) = f(x)
g(x)
 que cumple H(1) = 1.
18. [2006] [EXT-A] Dadas las funciones f(x) = x3-3x+8 y g(x) = -3x, se pide:
a) Calcular el máximo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-3,0].
b) Calcular el punto de corte de la curva y = f(x) y la recta y = g(x).
c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y = f(x) y las rectas y = g(x), x = -3 y x = 0.
19. [2006] [JUN-A] a) Dibujar razonadamente la gráfica de la función f(x) = x2-4, cuando -1  x  4.
b) Obtener razonadamente los valores máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = x2-4 en el intervalo -1,4 .
c) Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = f(x) y las rectas x = -1, x = 4 e y = 0.
20. [2005] [JUN-A] Dadas las curvas y = (x-1)3, y = 5-x2, calcular razonadamente:
a) Su punto de corte.
b) El área encerrada por ellas y el eje OY.
21. [2004] [EXT-A] Sea f(x) = x2+mx (donde m es un parámetro real) y f'(x) la función derivada de f(x). Se pide:
a) Hallar el valor del parámetro m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x = - 3
4
.
b) Para el valor de m calculado en a), determinar el área de la región comprendida entre la curva y = f(x) y la recta de ecuación
y = f'(x).
22. [2004] [EXT-A] Se tienen inicialmente 10 bacterias en un cultivo de laboratorio y cada día se duplican. Averigua, razonadamente,
el número de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido 10 días.
b) Para otro cultivo, sea P(t) el número de bacteriastranscurrido el tiempo t medido en días. Averigua el aumento de bacterias al
cabo de 10 días, sabiendo que P(0) = 500, P(3) = 1100 y que la derivada P'(t) es constante para 0  t  10.
23. [2004] [EXT-B] a) Obtener razonadamente la siguiente integral: 4x+11
(x+1)2+1
dx.
b) Aplicando la regla de Barrow, calcular 
3-1
4x+11
(x+1)2+1
dx
0
.
24. [2004] [JUN-A] En un plano, el trazado de una carretera discurre según la ecuación y = x
2
4
 -x, siendo un río el eje OX. En el
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terreno entre el río y la carretera hay un pinar. Si expresamos las distancias en kilómetros, ¿cuánto vale el pinar si la hectárea
se paga a 60 euros?
25. [2004] [JUN-B] Hallar todos los valores reales z tales que 
z
-16
x2-2x-15
dx
0
 = ln25.
26. [2003] [EXT-B] a) Representar la superficie S limitada entre el eje OX y la curva y = x2-4, cuando -2  x  2. Obtener
razonadamente, mediante una integral, el área de la superficie S.
b) Hallar el volumen del cuerpo engendrado al dar un giro completo alrededor del eje OX la superficie S considerada en el
apartado anterior, indicando cómo se ha obtenido el volumen.
27. [2003] [JUN-A] a) Dibujar la recta de ecuación y = 2

x y la curva de ecuación y = senx cuando - 
2
  x  
2
. Obtener
razonadamente por cálculo integral el área limitada entre la recta y la curva.
b) Calcular la integral del producto de las dos funciones consideradas en el apartado antereior, es decir 2

xsenxdx, indicando
los pasos realizados.
 Soluciones
4. a) (-,1); (0,+) b) f: max. en 1; g: min. en 0 c) (0,0), (1,1) d) 1
3
 5. a) 1
e
 b) y = 4x-4 c) 3e4-e2 6. a) 12x-x3 b) B(-2,4), C(2,4) c) 32
3
 d) 80
3
 7. a) f(x) 0
x4-32x2+324
2
 b) (-4,01), (4,10) c) 117, 17 d) 144 8. D: -{1,2}; x = 1, x = 2, y = 0 b) crec - 2,1  1, 2 c) 2ln|x-1|-ln|x-3|+c 9. a) (0,0), (1,1) c) 1
12
 10. a) x
= 4; y = 0 b) 2ln|x-2|+4arctgx
3
 - 2
3
 11. a) D: - {-3,3}; crec: (0,+) b) 1
6
, 1
6
 c) ln5
3
 12. a) 0 b) 0 c) 0 13. a) ax
2+2(a+b)x
2
 b) 3ax
2+4(a+b)x
2
 c) a+b = 0 14. a)
(2+) 6 b) a 15. a) 
8
 b) 2 3
3
 16. a) x = -1; y = 0 b) 2ln|x+1|+ln|x2-5|-ln5 17. a) x= 1
2
; x=2
3
; y = 2x+1 b) x2+x+ln|3x+2|+ln|2x+1|-1 18. a) -1,10 b) -2,6 c) 21
4
19. a) 
2 4-2
2
4
6
-4
X
Y
 b) 2,0 , 4,12 c) 59
3
 20. a) (2,1) b) 22
3
 21. a) 3
2
 b) 125
48
 22. a) 10240 b) 2500 23. a) 2ln (x+1)2+1 +7arctag(x+1)+c b) ln4+7
12
 24. 16000€
25. 3, 9 26. a) 32
3
 b) 512
15
 27. a) 
1-1
1
-1
X
Y
 4-
2
 b) 2

(-xcosx+senx)+c
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