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MasMates.com Colecciones de ejercicios Integrales Selectividad CCNN 2009 1. [ANDA] [JUN-A] Sea f: la función definida por f(x) = x|x-1|. a) Esboza la gráfica de f. b) Comprueba que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente. 2. [ANDA] [JUN-B] Considera la curva de ecuación y = x3-3x. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = -1. b) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y = 2. 3. [ANDA] [SEP-A] La curva y = 1 2 x2 divide al rectángulo de vértices A=(0,0), B=(2,0), C=(2,1) y D=(0,1) en dos recintos. a) Dibuja dichos recintos. b) Halla el área de cada uno de ellos. 4. [ANDA] [SEP-B] Sea f la función definida por f(x) = x 4-9x4 . Halla la primitiva F de f que cumple F(0) = 3 Sugerencia: Utiliza el cambio de variable t = 3 2 x2 . 5. [ARAG] [JUN] a) Calcular los siguientes límites: lim x+ 12x2 x2-7x 9x6+5x ; lim x0 (cosx+senx)1/x. b) Obtener xcos x2 dx /2 . 6. [ARAG] [JUN] Sea f(x) = 1 x-x2 . a) Determinar su dominio. b) Estudiar si f(x) es una función simétrica respecto al origen de coordenadas. c) Obtener el área encerrada por f(x) y el eje OX entre x = 1 4 y x = 3 4 . 7. [ARAG] [SEP] Sea f(x) = x 3+2x2 x+2 a) Calcular su dominio. b) Encontrar los puntos de corte de f(x) con el eje OX y estudiar si la función es creciente en el intervalo (0,1). c) Obtener lim x+ f(x) x+2 . d) Hallar 1 f(x)dx -1 . 8. [ARAG] [SEP] a) Calcular /2 cos3(x)dx 0 . b) Sea f(x) = eax, con a. Calcular f(n)(x)-anf(x), siendo f(n) la derivada n-ésima de f(x). 9. [ASTU] [JUN] Esboce la gráfica de la parábola y = -x2+x+ 7 4 y halle el área de la región del plano determinada por la parábola y la recta que pasa por los puntos 0, 1 4 y 1 6 ,0 . 10. [ASTU] [SEP] Represente gráficamente las parábolas y2-4x = 0 y x2-4y = 0 y calcule el área que encierran. 11. [C-LE] [JUN-A] Sea la función f(x) = x2-x-2 . a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica. b) Demostrar que no es derivable en x = 2. c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = -2, x = 0. Página 1 de 4 5 de diciembre de 2009 MasMates.com Colecciones de ejercicios Integrales Selectividad CCNN 2009 12. [C-LE] [JUN-A] Calcular 1 1-x2 dx 13. [C-LE] [JUN-B] Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función y = -x2+a4 y el eje OX es de 256 3 unidades de superficie. 14. [C-LE] [SEP-A] Sea la función f(x) = x 3 x2+1 . a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. b) Calcular el valor de 1 f(x)dx 0 . 15. [C-LE] [SEP-B] Sea la función f(x) = sen(x)+cos(x), definida en el intervalo [0,2]. a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. Esbozar su gráfica. b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = 0, x = 4 e y = 2. 16. [C-LE] [SEP-B] Calcular dx (1+x) x 17. [C-MA] [JUN] Encuentra una primitiva de la función f(x) = x+36 4+9x2 . 18. [C-MA] [JUN] Calcula la integral definida 4 x+e x x dx 1 (puede ayudarte hacer un cambio de variable). 19. [C-MA] [SEP] Calcula las integrales: a) tan(x)dx; b) 1+tan2(x) dx; c) arctan(x)dx. 20. [C-MA] [SEP] a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = x 2+4x+3 si x < -1 1-x2 si x -1 . b) Determina el área encerrada por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas. 21. [CANA] [JUN] Representar las regiones limitadas por la curva y = -x2+6x-8, la recta x = 1 y el eje OX, calculando el área total de dichas regiones. 22. [CANA] [SEP] Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4-x2, la recta 8x+2y = 16 y la recta y =4x+8. 23. [CANA] [SEP] Calcular las integrales: i) dx x2-1 . ii) x2e3xdx. 1 2 3 4 5-1 1 2 3 4 -1 X Y 24. [CATA] [JUN] La gráfica de la función f(x) = 3+x x , desde x = 1 hasta x = 4 es la siguiente: a) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos de abscisa x = 1 y x = 3. b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función y las dos rectas tangentes que has calculado en el apartado anterior. c) Encuentra los vértices de este recinto. d) Calcula la superficie del recinto anterior. Página 2 de 4 5 de diciembre de 2009 MasMates.com Colecciones de ejercicios Integrales Selectividad CCNN 2009 25. [CATA] [JUN] Considera la función f(x) = x(a-x) a3 , con a > 0. a) Encuentra las puntos de corte de la función f(x) con el eje OX. b) Comprueba que el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas no depende del valor del parámetro a. 26. [EXTR] [JUN-A] a) Exprese f(x) = x·|x| como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada. b) Calcule la integral definida 1 x·|x|dx -1 . c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f(x), el eje OX, la recta x = -1 y la recta x = 1. 27. [EXTR] [JUN-B] a) Escriba la fórmula, o regla, de la integración por partes. b) Aplíquelo para calcular la siguiente integral indefinida: x2cosx·dx. 28. [EXTR] [SEP-A] Dada la parábola de ecuación y = -x2-2x+3, sea r su recta tangente en x = -1 y sea s su recta tangente en x = 1. a) Calcule las ecuaciones de r y s. b) Represente, de forma aproximada, el recinto plano limitado por la parábola, la recta r y la recta s. c) Calcule el área de dicho recinto. 29. [EXTR] [SEP-B] a) Calcule la primitiva de la función racional: f(x) = 1 1-x2 . b) Calcule la integral 1 cos x dx (puede utilizarse el cambio de variable t =senx). 30. [MADR] [JUN-A] Calcular la integral: F(x) = x t2e-tdt 0 . 31. [MADR] [JUN-B] Si la derivada de la función f(x) es: f'(x) = (x-1)3(x-5), obtener: a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Los valores de x en los cuales f tiene máximos relativos, mínimos relativos o puntos de inflexión. c) La función f, sabiendo que f(0) = 0. 32. [MURC] [JUN] i) Enunciar el teorema fundamental del cálculo. ii) Calcular la integral x 3 x2+3x+2 dx. 33. [MURC] [JUN] Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = xln(x) para 1 x 2, la recta x = 2 y el eje X. 34. [MURC] [SEP] a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo. b) Calcular la integral 1 x3 x2+1 dx 0 . 35. [MURC] [SEP] Calcular el área encerrada por las funciones f(x) = x2 y g(x) = x3-2x2+2x. 36. [RIOJ] [JUN] Calculad la función f tal que f'(x) = x 1+x4 , f(1) = 0. 37. [RIOJ] [JUN] Dada la función f(x) = ax3+bx2+c, determinad a, b, c para que se cumpla que la función tenga un mínimo en el punto (2,-3) y que 2 f(x)dx = -2 0 . 38. [RIOJ] [SEP] Hallad todos los valores de a para los que se cumple a 8 x3 dx = 3 1 . Página 3 de 4 5 de diciembre de 2009 MasMates.com Colecciones de ejercicios Integrales Selectividad CCNN 2009 39. [VALE] [JUN] a) Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 1 (3-x)(3+x) . b) Obtener razonadamente los valores A y B tales que 1 (3-x)(3+x) = A 3-x + B 3+x . c) Calcular, razonadamente, el área de la superficie S limitada por la curva y = 1 (3-x)(3+x) , el eje OX y las rectas de ecuaciones x = -2 y x = 2. 40. [VALE] [JUN] Dada la función real f(x) = ex-e-x, se pide calcular razonadamente: a) La función f(x) + f(-x). b) La integral a f(x)dx -a , donde a es un número real positivo. c) El punto de inflexión de f(x). 41. [VALE] [SEP] Se consideran las funciones reales f(x) = 2x2+12x-6 y g(x) = (x-2) x2+9 . Se pide obtener razonadamente: a) Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función f(x) g(x) . b) La función H(x) = f(x) g(x) dx que cumple H(3) = 3 . Soluciones 1. a) 1 2-1 1 -2 X Yc) 1 2. a) y = 0 b) 27 4 3. a) 1 2 1 2 X Y b) 2 2 3 , 6-2 2 3 4. 1 6 arcsen3 2 x2+3 5. a) 4, e b) -1 2 6. a) - {0,1} b) no c) 2ln3 7. a) - {-2} b) (0,0); si c) 1 d) 1 8. a) 2 3 b) 0 9. 1 3 5-1 1 -3 -5 X Y 343 48 10. 1 2 3 4 5-1 1 3 -2 X Y 16 3 11. a) 1 2 3 4-1 1 3 X Y c) 3 12. 1 2 ln|x+1|- 1 2 ln|x-1|+c 13. 2 14. a) 1 2-1 1 2 -2 X Y b) 1-ln2 2 15. a) crec: 0, 4 5 4 ,2 ; 1 2 3 4 5 6 1 X Y b) -2 2 16. 2arctg x+c 17. 1 18 ln 4+9x2 +6arctg3x 2 18. 3+2e2-2e 19. a) -ln|cosx|+c b) tanx+c c) x·arctanx- 1 2 ln 1+x2 +c 20. a) cont. y der. en b) 8 3 21. 8 3 22. 16 3 23. i) -1 2 ln|x+1|+ 1 2 ln|x-1|+c ii) 9x 2-6x+2 e3x 27 +c 24. a) y = -3x+7; y = -1 3 x+3 b) c) (1,4),(3,2), 3 2 ,5 2 d) -3+3ln3 25. a) (0,0), (a,0) b) A = 1 6 26. a) f(x) = -x 2 si x < 0 x2 si x 0 1 2-1-2 1 2 -2 X Y b) 0 c) 2 3 27. b) x2senx+2xcosx-2senx+c 28. a) y = 4; y = -4x+4 b) c) 2 3 29. a) ln 1+x 1-x +c b) ln cosx 1+senx +c 30. 2-x2e-x-2xe-x-2e-x 31. a) crec: (-,1)(5,+) b) max: 1; min: 5; p.i: 4 c) x 5 5 -2x4+6x3-8x2+5x 32. ii) x 2 2 -3x-ln|x+1|+8ln|x+2|+c 33. 2ln2- 3 4 34. b) 1-ln2 2 35. 1 2 36. 1 2 arc tg x2- 8 37. 1, -3, 1 38. 2 39. a) D: - {-3,3}; crec: (0,+) b) 1 6 , 1 6 c) ln5 3 40. a) 0 b) 0 c) 0 41. a) x = 4; y = 0 b) 2ln|x-2|+4arctgx 3 - 2 3 Página 4 de 4 5 de diciembre de 2009
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