matricial

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ÁLGEBRA MATRICIAL.
1. La traspuesta de A′ es A; (A′)′ = A.
2. La inversa de A−1 es A; (A−1)−1 = A.
3. (AB)′ = B′A′.
4. Las matrices A′A y AA′ son simétricas.
5. (AB)−1 = B−1A−1, si A y B son no singulares.
6. Los escalares conmutan con las matrices; kA = Ak.
7. Si D1 y D2 son matrices diagonales, entonces la matriz producto es
diagonal; D1D2 = D2D1 = D.
8. Sean X e Y son vectores y A una matriz no singular, si se verifica la
ecuación Y = AX entonces X = A−1Y .
9. El rango de la matriz producto AB es menor o igual que el rango de la
matriz A y de la matriz B.
10. El rango de la matriz suma A + B es menor o igual que la suma del
rango de la matriz A y el de la matriz B.
11. Sea A una matriz n × n. El rango de A es menor que n si y solo si
|A| = 0.
12. Si el rango de A es menor que n entonces los vectores filas de A no
son independientes; los vectores columnas de A tampoco son indepen-
dientes.
13. Si el rango de A es m ≤ n, entonces el número de vectores filas (colum-
nas) linealmente independientes es m.
14. Si A′A = 0 entonces A = 0.
15. Sea A una matriz no singular. El rango de las matrices AB y BA
coincide con el rango de B.
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16. Si AB = 0 entonces o bien A = 0 o B = 0 o A y B son singulares.
17. Si A y B son matrices n× n de rango r y s, respectivamente, entonces
el rango de AB es menor o igual que r + s− n.
18. Los rangos de las matrices AA′, A′A, A y A′ son todos iguales.
Formas Cuadráticas.
Una matriz A se dice que es semidefinida positiva si Y ′AY ≥ 0 para todo
vector Y 6= 0. Diremos que es definida positiva si Y ′AY > 0 para todo vector
Y 6= 0.
Una matriz C es ortogonal si C ′C = I.
Diremos que un escalar λ es una ráız caracteŕıstica de la matriz A si para
algún vector X 6= 0 se verifica que AX = λX. Las ráıces caracteŕısticas
coinciden con las ráıces del polinomio caracteŕıstico |A− λI| = 0.
1. Si P es una matriz no singular y si A es definida positiva (semidefinida
positiva) entonces P ′AP es definida positiva (semidefinida positiva).
2. Una condición necesaria y suficiente para que la matriz simétrica A
sea definida positiva es que exista una matriz no singular P tal que
A = P ′P (A = PP ′).
3. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea definida
positiva es que sus mayores principales sean positivos.
4. Si A es una matriz n ×m de rango m < n, entonces A′A es definida
positiva y AA′ es semidefinida positiva.
5. Si A es una matriz n×m de rango k, k < n y k < m, entonces A′A y
y AA′ son semidefinidas positivas.
6. Sea C es una matriz ortogonal y Y = CZ entonces Y ′Y = Y ′IY =
Z ′C ′ICZ = Z ′C ′CZ = Z ′Z.
7. El número de ráıces caracteŕısticas no nulas de una matriz coincide con
su rango.
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8. Las ráıces caracteŕısticas de A coinciden con las ráıces caracteŕısticas
de CAC−1. Si C es una matriz ortogonal, entonces las ráıces carac-
teŕısticas de A y de CAC ′ son idénticas.
9. Las ráıces caracteŕısticas de una matriz simétrica son reales.
10. Las ráıces caracteŕısticas de una matriz definida positiva son positivas,
las de una matriz semidefinida positiva son no negativas.
11. Para cualquier matriz simétrica A existe una matriz ortogonal C tal
que C ′AC = D, donde D es una matriz diagonal cuyos elementos son
las ráıces caracteŕısticas de A.
12. Sean A1, A2, . . . , Ak matrices n×n simétricas. Una condición necesaria
y suficiente para que exista una matriz ortogonal C tal que C ′A1C, C ′A2C, . . . , C ′AkC
sean matrices diagonales es que las matrices producto AiAj sean simétricas
(o AiAj = AjAi) para todo i y j.
Determinantes.
La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal.
1. El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de sus
elementos diagonales.
2. Si A y B son matrices n× n, entonces |AB| = |BA| = |A| |B|.
3. Si A es singular entonces |A| = 0.
4. Si C es una matriz ortogonal entonces |C| = +1 o |C| = −1.
5. Si C es una matriz ortogonal entonces |C ′AC| = |A|.
6. El determinante de una matriz definida positiva es positivo.
7. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los
elementos de la diagonal.
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8. Sea A una matriz cuadrada tal que
A =
(
A11 A12
A21 A22
)
donde A11 y A22 son matrices cuadradas. Si A12 = 0 o A21 = 0 entonces
|A| = |A11| |A22|.
9. Sean A1 y A2 matrices simétricas. Si A2 es definida positiva y A1−A2
es definida positiva (o semidefinida positiva) entonces |A1| ≥ |A2|.
10. tr(AB) = tr(BA).
11. tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA); esto es, la traza del producto de
matrices es invariante bajo cualquier permutación ćıclica de matrices.
12. tr(I) = n.
13. Si C es una matriz ortogonal entonces tr(C ′AC) = tr(A).
14. Sea A una matriz simétrica definida positiva tal que
A =
(
A11 0
0 A22
)
entonces
A−1 =
(
A−111 0
0 A−122
)
.
15. Sea A una matriz simétrica definida positiva tal que
A =
(
A11 A12
A21 A22
)
y B su matriz inversa
B =
(
B11 B12
B21 B22
)
.
Entonces A−111 = B11 −B12B−122 B21 y A−122 = B22 −B21B−111 B12.
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16. Sea A una matriz cuadrada tal que
A =
(
A11 A12
A21 A22
)
.
Si A22 es no singular entonces |A| = |A22| |A11−A12A−122 A21|. Si A11 es
no singular entonces |A| = |A11| |A22 − A21A−111 A12|.
Matrices Idempotentes.
Una matriz cuadrada es A se dice que es idempotente si AA = A.
1. Las ráıces caracteŕısticas de una matriz idempotente son cero o uno.
2. Si A es idempotente y no singular, entonces A = I.
3. Si A es idempotente de rango k, existe una matriz ortogonal P tal
que P ′AP = Ek donde Ek es una matriz diagonal con los k primeros
elementos uno y el resto ceros.
4. Todas las matrices idempotentes que no son de rango máximo son
semidefinidas positivas.
5. Sea A una matriz idempotente. Si un elemento de la diagonal es nulo
entonces la fila y la columna correspondientes son nulas.
6. Si A es idempotente de rango k entonces tr(A) = k.
7. Sean A y B matrices idempotentes, entonces AB es idempotente si
AB = BA.
8. Si A es idempotente y P es ortogonal entonces P ′AP es idempotente.
9. Si A es idempotente y A + B = I, entonces B es idempotente y AB =
BA = 0.
10. Sean A1, A2, . . . , An matrices idempotentes. Una condición necesaria y
suficiente para que exista una matriz ortogonal tal que P ′A1P, P ′A2P,
. . . , P ′AnP sean matrices diagonales es que AiAj = AjAi para cada i
y j.
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11. Sean A1, A2, . . . , An matrices simétricas. Cualesquiera dos de las sigu-
ientes condiciones implica la tercera
(a) A1, A2, . . . , An son matrices idempotentes.
(b) La suma B =
n
∑
i=1
Ai es idempotente.
(c) AiAj = 0 para todo i 6= j.
Si se satisfacen dos de las condiciones entonces el rango de la matriz B
es igual a la suma de los rangos de las matrices Ai.
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