Matematica_IV_medio_2014-web-1-149-154

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Lección 1
Vectores en el plano cartesiano
Aprenderé a: identificar y describir puntos en el plano cartesiano. Representar gráficamente vectores en el plano y deducir 
la distancia entre dos puntos en el plano y aplicarla al cálculo de módulo de un vector.
El desplazamiento, tal como la velocidad y la fuerza, es un vector.
Un vector se caracteriza por su: 
•	 módulo: es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa 
gráficamente por la longitud de la flecha.
•	 dirección: está dada por la orientación en el plano o en el espacio de la recta 
que lo contiene. 
•	 sentido: se muestra mediante una punta de flecha situada en el extremo del 
vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
El vector se representa por un segmento orientado con origen en A y extremo en B, 
se representa por el símbolo AB
$
. La distancia entre A y B representa gráficamente 
el módulo del vector AB
$
.
Dos segmentos orientados representan al mismo vector si son paralelos (luego, tienen 
la misma dirección), tienen el mismo sentido y el mismo módulo o magnitud, sin impor-
tar dónde está ubicado su origen. Si alguna de 
estas condiciones no se cumple, decimos que 
los vectores son distintos.
Además, decimos que dos vectores son opuestos 
si tienen igual módulo y dirección, pero sentido 
contrario.
Observa el siguiente mapa 
y sigue las trayectorias 
que han hecho Vicente y 
Andrea, desde la Plaza de 
la Independencia:
Vicente caminó por Aníbal 
Pinto hasta Chacabuco, y 
dobló hacia su derecha 
hasta Colo-Colo. Andrea 
se fue por O’Higgins hasta 
llegar a Tucapel. 
•	 ¿Quién recorrió más?, ¿por qué? 
•	 Ahora, dibuja una flecha que indique el desplazamiento de cada uno. 
¿Quién se desplazó más? Justifica.
•	 Más tarde, Vicente y Andrea se reunieron en la Plaza Perú. ¿Cómo se 
representa el desplazamiento de cada uno?, ¿cuál es su desplazamiento 
total, en cada caso?
Repaso
1. Dibuja un plano 
cartesiano y ubica 
los siguientes 
puntos: 
a. P(4, 5)
b. Q(–2, 3)
c. R(3, –2)
d. S(0, 4) 
Invitado especial
René Descartes fue uno 
de los grandes filósofos y 
científicos del siglo XVII. 
Inventó la geometría 
analítica, unificando la 
geometría y el álgebra, 
al mostrar en su obra 
Géométrie (1637) que su 
sistema de ecuaciones 
cuadráticas unificaba las 
curvas llamadas cónicas. 
Ello también posibilitó el 
desarrollo de la física y la 
ingeniería. 
Sin embargo, Descartes 
es más conocido por su 
principio filosófico “pienso, 
luego existo” (deduzco 
que existo porque puedo 
pensar).
O´Hig
gins
Plaza Perú
Chaca
buco
Aníbal Pinto
TucapelColo-Colo
Plaza de la 
Independencia
148 Unidad 3 - Vectores 
3
Unidad
Con los vectores se pueden calcular algunas operaciones; 
por ejemplo, una forma de determinar gráficamente 
el vector suma s = a + b es dibujar uno de ellos, por 
ejemplo a y luego representar el vector b colocando 
el origen de b en el extremo de a . Entonces, el vector 
suma tiene su origen en el origen de a y su extremo, 
en el extremo de b .
Tomo nota
•	 Un vector es un segmento de recta dirigido caracterizable mediante una magnitud o módulo, una 
dirección y un sentido.
•	 Un vector puede representarse usando flechas sobre las letras correspondientes al punto inicial y 
final, esto es, AB o bien, sobre una letra minúscula, es decir, u".
•	 Dos vectores son iguales solo si son paralelos, con igual sentido y con el mismo módulo, a la vez.
•	 El vector 0 corresponde a un vector, pero de módulo 0, y se considera que no tiene dirección 
ni sentido.
Actividades 
1. Determina si los siguientes vectores son iguales, opuestos o distintos, en cada caso. Justifica. 
a. b. c. 
2. La figura ABCDEF es un hexágono regular. Determina:
a. dos parejas de vectores con igual sentido, dirección y módulo;
b. una pareja de vectores de distinta dirección pero con igual módulo;
c. una pareja de vectores con distinto módulo pero con igual dirección.
3. En cada caso, dibuja dos vectores:
a. que tengan la misma dirección, distinto sentido y que el módulo de uno sea el 
triple del módulo del otro;
b. con el mismo módulo, pero distinta dirección;
c. de la misma dirección, el mismo sentido y módulos diferentes;
d. de módulo y dirección iguales, pero distintos sentidos.
4. A partir de la siguiente figura, determina en cada caso, si el enunciado es 
verdadero o falso.
a. a + b = f 
b. c = d – e + f 
c. e + d = g + h 
d. a + b + k + g = 0
e. k + g = f 
f. g + h + e = d 
g. h – c = g – f 
h. a + b + c + h + g = 0
B
C
DE
F
A
Desafío 
¿Qué diferencias hay entre 
AB
$ y BA
$ ?
b
a f
g
e
k
h
d
c
a"
s" = a"+ b"
b" a
"
b" 
Vectores - Unidad 3 149
Lección 1
Cuando el origen de un vector coincide con el origen de un sistema de coordenadas, 
su extremo coincidirá con un punto del plano y lo representamos utilizando este 
punto y con paréntesis rectos, por ejemplo v = 〈x, y〉.
Si el vector está descrito usando sus coordenadas cartesianas, digamos 
v = 〈x, y〉, podemos calcular el valor de su módulo, que representamos como 
 || v ||, utilizando el teorema de Pitágoras. 
Como se cumple que || v ||2 = x2 + y2, tenemos que || v || = √x2 + y2 .
¿Cómo hacerlo?
Calcula el módulo del vector 〈6, 8〉.
Utilizando la expresión anterior y ya que el valor de x es 6 y el valor de y es 8, 
podemos calcular || v || = √62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10.
Por otra parte, si el origen del vector no coincide con el origen del sistema de coorde-
nadas, podemos calcular la diferencia, componente a componente, entre el extremo 
y el origen del vector para obtener la representación cartesiana del vector.
Dicho de otra manera, si v tiene su origen en el punto P(x
1
, y
1
) y su extremo 
en el punto Q(x
2
, y
2
), podemos calcular v = 〈x
2
 – x
1
, y
2
 – y
1
〉. 
En este caso, ya que conocemos los puntos P y Q, para determinar el 
módulo del vector PQ podemos calcular la distancia entre el origen y 
el extremo del vector. Considera el punto R, de coordenadas (x
2
, y
1
), 
entonces la medida de los lados estaría dada por: 
QR = (x
2
 – x
1
) y RP = (y
2
 – y
1
).
Aplicando ahora el teorema de Pitágoras, obtenemos que 
|| PQ ||2 = (x
2
 – x
1
)2 + (y
2
 – y
1
)2, de donde || PQ || = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
¿Cómo hacerlo?
Si A = (–5, 2) y B = (7, 3), determina el vector AB y calcula su módulo.
Como el origen de AB corresponde al punto (–5, 2) y su extremo al punto (7, 3), 
entonces, podemos calcular
|| AB || = √(7 – –5)2 + (3 – 2)2 = √122 + 12 = √144 + 1 = √145 .
Tomo nota
•	 Un vector OP que va desde el origen del plano cartesiano al punto P, se denomina vector posición 
de P y se representa por p . Las componentes de p coinciden con las coordenadas del punto P(px, py), 
dado que p = 〈px – 0, py – 0〉 = 〈px, py 〉. 
•	 Si el origen y extremo de un vector v" en el plano cartesiano corresponden a los puntos P(x1, y1) y 
Q(x2, y2), respectivamente, entonces la representación cartesiana de ese vector está determinada 
por: v = PQ = 〈x2 – x1, y2 – y1〉.
•	 El módulo de un vector, que está asociado a su longitud, se puede calcular mediante la expresión: 
|| v || = √x2 + y2 , si v = 〈x, y〉.
X
Y
P R
Q
x
1
y
1
y
2
x
2
X
v
X
Y
8
X
6
v
150 Unidad 3 - Vectores 
3
Unidad
Actividades 
1. Dibuja los siguientes vectores, centrados en el origen del plano cartesiano, y cuyo extremo es el punto 
dado, en cada caso. Luego, calcula su módulo.
a. A(3, 4)
b. B(–7, 12)
c. C(–9, –12)
d. D(–13, 12)
e. E(–1, 0)
f. F(0, –4)
2. Considera que a = 〈–4, 5〉, b = 〈6, –3〉 y c = 〈–2, –2〉. 
a. Grafica los vectores a , b y c .
b. Determina v de modo que v = a + b – c . 
c. Calcula el módulo de v . 
3. Determina el vector, en cada caso, a partir de los puntos: A = (25, 4), B = (7, 22), C = (21, 29) y D = (2, 6). 
Luego, calcula su módulo.
a. AB
b. AC
c. AD
d. BA
e. BD
f. DC
g. CB
h. BC
i. DA
4. Los puntos A(–1, 1), B(2, 0) y C(0, 2) son los vértices de un triángulo. Determina las coordenadasde los 
vectores que forman sus lados. 
5. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero parte a las doce en punto, representa gráficamente el 
vector desplazamiento de su punta, en cada caso, después de:
a. quince minutos.
b. media hora.
c. tres cuartos de hora.
d. una hora.
6. Si los puntos A(1, 1), B(1, 3) y C(7, 3) son los vértices del paralelogramo ABCD, calcula:
a. las coordenadas de D.
b. el vector BD .
7. ¿Cuántos vectores se pueden formar con los puntos A(4, 1), B(2, 5), C(0, 3) y 
D(–1, –2)? Descríbelos utilizando sus coordenadas y represéntalos gráficamente.
8. Sobre un cuerpo actúan las fuerzas f 1= 〈6, 8〉, f 2 = 〈–15, 20〉, f 3 = 〈–4, –16〉. 
Calcula: 
a. la magnitud del vector resultante;
b. la dirección del vector resultante.
Desafío 
Dos vectores de 
desplazamiento centrados 
en el origen tienen 
módulos iguales a 6 m 
y 8 m. 
¿Cuál debe ser la dirección 
y sentido de cada uno de 
estos vectores para que 
la resultante tenga un 
módulo igual a 14 m?, 
¿a 2 m?, ¿y a 6 m? 
Representa gráficamente 
cada caso.
Vectores - Unidad 3 151
Lección 1
La adición (o sustracción) de vectores a partir de su representación cartesiana se 
efectúa a través de sus coordenadas, sumando (o restando) componente a compo-
nente. Es decir, al sumar los vectores a = 〈2, 3〉 y b = 〈–1, 2〉, el vector a + b se calcula: 
〈2, 3〉 + 〈–1, 2〉 = 〈2 + –1, 3 + 2〉 = 〈1, 5〉.
Tal como en los números en general, la multiplicación puede interpretrar como la 
suma iterada de uno de sus factores, con los vectores, podemos representar la adición 
iterada de un mismo vector como el producto de un escalar con un vector.
En este caso, cuando se calcula el producto por un escalar de un vector, obtenemos 
un nuevo vector, que conserva la dirección del vector original, pero cuya magnitud y 
sentido cambian según el valor por el cual fue multiplicado. 
¿Cómo hacerlo? 
Dados los vectores a = 〈–6, 2〉 y b = 〈3, –4〉, ¿cuánto resulta 5 · (a + b )?
 5 · (a + b ) = 5 · a + 5 · b Se distribuye el producto sobre la suma
 = 5 · 〈–6, 2〉 + 5 · 〈3, –4〉 Remplazamos cada vector
 = 〈–30, 10〉 + 〈15, –20〉 Aplicamos el producto del escalar 
 por el vector, en cada caso
 = 〈–30 + 15, 10 + –20〉 Sumamos los vectores obtenidos
 = 〈–15, –10〉
Si λ es un escalar y v un vector, decimos que λ · v es un vector ponderado de v . 
El vector ponderado mantiene siempre la dirección de v , pero cambia su módulo, 
según el valor de λ, y su sentido, cuando λ es un número negativo.
Utilizando un vector ponderado, podemos representar una pareja de vectores para-
lelos como un vector ponderado uno del otro, si determinamos cuál es el valor de λ 
correspondiente. 
Tomo nota
•	 La suma de dos vectores v y w , de coordenadas v = 〈a, b〉 y w = 〈c, d〉 es el vector resultante 〈a + c, b + d〉.
•	 El producto de un escalar λ por un vector v , de coordenadas 〈x, y〉, es otro vector dado por λ v", y lo 
definimos como: λv = λ · 〈x, y〉 = 〈λ · x, λ · y〉. 
Decimos que λv
"
 es un vector ponderado de v .
•	 El vector ponderado λv tiene las siguientes características:
 - Mantiene la dirección de v .
 - || λv || = | λ | · || v ||.
 - Si λ > 0, el vector mantiene el sentido de v . 
Si λ < 0, el vector cambia de sentido.
 - Si λ = 0, entonces λv = 0 (vector nulo).
•	 Podemos expresar dos vectores paralelos, uno como ponderado del otro: w = λv o bien, v = μw .
λv
"
v
"
Y
X
v
vλ
152 Unidad 3 - Vectores 
3
Unidad
Actividades 
1. Dado el producto de µ · a , con a ≠ 0, ¿qué características cumple el producto, en cada caso? Justifica tu 
respuesta con la representación gráfica correspondiente.
a. ¿si µ > 1?
b. ¿si µ = 1?
c. ¿si 0 < µ < 1?
d. ¿si µ = 0?
e. ¿si µ = –1?
f. ¿si µ < –1?
2. Copia, en tu cuaderno, los vectores u , v y w . Luego, representa gráficamente:
a. u + v
b. 3v 
c. 2u – v 
d. v – 2w 
e. 2u – v + w 
3. Calcula el resultado de las siguientes operaciones.
a. 3 · 〈2, –1〉 – 3 · 〈2, 3〉 = 
b. –2 · 〈7, –3〉 + 5 · 〈0, 5〉 = 
c. 〈5, –2〉 – 〈3, 1〉 + 2 · 〈6, 0〉 = 
d. 5 · 〈3, –2〉 – 4 · 〈–1, 0〉 + 2 · 〈–1, –3〉 = 
4. Dados los vectores a = 〈3, –2〉, b = 〈–1, 5〉 y c = 〈4, 6〉, determina:
a. a − b + c 
b. b − c 
c. a − b − c 
d. a + b − c 
e. a + b + c 
f. a + c 
5. Si M es el punto medio de un segmento de recta AB, ¿qué se podría decir sobre los vectores de 
AM y BM ?
Desafío 
Santiago observó una 
araña, que estaba en un 
vértice de una sala cuyas 
dimensiones son 7 m de 
largo, 5 m de ancho y 3 m 
de alto. Más tarde, observó 
que se había trasladado 
al vértice diametralmente 
opuesto. 
a. Determina la distan-
cia mínima que pudo 
haber recorrido.
b. Describe el vector 
correspondiente al 
desplazamiento que 
realizó.
Antes de continuar
1. ¿En qué caso el resultado de la adición de vectores u + v 
es el vector 0 ?
2. ¿Es posible que el producto de un escalar λ por un vector v dé como resultado el vector 0 ? Explica.
u
v
w
Vectores - Unidad 3 153