leccion1

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Lección 1
Integrales impropias. Integrales
dependientes de parámetros.
1.1 Introducción
Hasta este momento cuando dećıamos que una función real de variable real era integrable Riemann en un
intervalo I (lo notábamos como f ∈ RI) considerábamos que la función era acotada y que el intervalo era
cerrado y acotado. El propósito que nos planteamos, ahora, es extender el concepto de función integrable,
para ello consideraremos distintos casos:
1) Primero consideraremos que I no es acotado, es decir, trabajaremos con intervalos del tipo [a, +∞) o
(−∞, b] y diremos que se trata de integrales impropias de primera especie.
2) En segundo lugar extenderemos el estudio a funciones no acotadas paro definidas sobre intervalos que si
lo están, entonces diremos que se trata de integrales impropias de segunda especie.
3) Por último consideraremos funciones no acotada definida sobre intervalos que tampoco lo son, en este
caso diremos que se trata de integrales impropias de tercera especie.
También nos encontramos con muchas funciones que no pueden ser representadas por fórmulas algebraicas y
necesitan de una expresión integral que dependa de uno o de varios parámetros. Aśı aparecen, por ejemplo,
1
las funciones eulerianas
Γ(p) =
∫ +∞
0
e−x xp−1 dx; β(p, q) =
∫ 1
0
xp−1 (1− x)q−1 dx
El estudio de este tipo de funciones es lo que englobamos con el nombre de integrales dependientes de
parámetros. El estudio de la integración paramétrica es bastante complicado, realizaremos por tanto un
estudio sencillo del mismo.
1.2 Integrales impropias de primera especie.
Definición 1.2.1 Sea f : [a, +∞) → IR una función integrable en cualquier intervalo cerrado [a, b] con
b ≥ a. Denominamos integral generalizada o impropia de f en el intervalo [a, +∞) al ĺımite, si existe
lim
b→+∞
∫ b
a
f(x) dx
Representándola por
∫ +∞
a
f(x) dx.
Si el ĺımite es finito decimos que la integral es convergente. Si el ĺımite no existe o es infinito decimos
que la integral es divergente.
Nota 1.2.1 Análogamente podemos definir las integrales impropias del tipo
∫ b
−∞
f(x) dx
1.2.1 Propiedades de las integrales impropias de primera especie.
Sean f, h : [a, +∞) → IR funciones integrables Riemann en [a, b] con b ≥ a siendo
∫ +∞
a
f(x) dx y
∫ +∞
a
h(x) dx convergentes. Se verifican las siguientes propiedades:
1. (Linealidad) La integral
∫ +∞
a
(αf(x) + βh(x)) dx con α y β reales es convergente y además
∫ +∞
a
(αf(x) + βh(x)) dx = α
∫ +∞
a
f(x) dx + β
∫ +∞
a
h(x) dx
2. (Monotońıa) Si f(x) ≤ h(x); ∀x ∈ [a, +∞), entonces
∫ +∞
a
f(x) dx ≤
∫ +∞
a
h(x) dx
2
3. (Aditividad respecto al intervalo) Si b ∈ [a, +∞), entonces
∫ +∞
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx +
∫ +∞
b
f(x) dx
4. (Regla de Barrow) Si F es una primitiva de f y existe lim
b→+∞
F (b), entonces
∫ +∞
a
f(x) dx = lim
b→+∞
(F (b)− F (a))
Como aplicación de estas propiedades estudiaremos la convergencia de dos integrales que nos serán muy
útiles en el futuro para estudiar la convergencia de otro tipo de integrales impropias. Comenzamos con la
llamada p-integral:
∫ +∞
a
1
xp
dx
.
La función f(x) =
1
xp
está definida y es continua en [a, +∞) con a > 0, por tanto es integrable en
cualquier intervalo [a, b] con b ≥ a.
∫ +∞
a
1
xp
dx = lim
b→+∞
∫ b
a
1
xp
dx =



lim
b→+∞
[
x−p+1
−p + 1
]b
a
si p 6= 1
lim
b→+∞
[ln |x|]ba si p = 1
Distinguiremos tres casos según sea el valor de p
• Si p > 1, entonces
∫ +∞
a
1
xp
dx = lim
b→+∞
[
x−p+1
−p + 1
]b
a
= lim
b→+∞
[
b−p+1
−p + 1 −
a−p+1
−p + 1
]
= − a
−p+1
−p + 1
que es finito. Por lo tanto en este caso la integral es convergente.
• Si p < 1, entonces
∫ +∞
a
1
xp
dx = lim
b→+∞
[
x−p+1
−p + 1
]b
a
= lim
b→+∞
[
b−p+1
−p + 1 −
a−p+1
−p + 1
]
= +∞
Por lo tanto en este caso la integral es divergente.
• Si p = 1, entonces
∫ +∞
a
1
xp
dx = lim
b→+∞
[ln |x|]ba = limb→+∞ [ln |b| − ln |a|] = +∞
Por lo tanto en este caso la integral es divergente.
3
Estudiamos, ahora, la convergencia de la integral exponencial:
∫ +∞
a
etx dx
.
La función f(x) = etx está definida y es continua en [a, +∞), por tanto es integrable en cualquier
intervalo [a, b] con b ≥ a.
∫ +∞
a
etx dx = lim
b→+∞
∫ b
a
etx dx =



lim
b→+∞
[
etx
t
]b
a
si t 6= 0
lim
b→+∞
[x]ba si t = 0
Distinguiremos tres casos según sea el valor de t
• Si t > 0, entonces
∫ +∞
a
etx dx = lim
b→+∞
[
etx
t
]b
a
= lim
b→+∞
[
etb
t
− e
ta
t
]
= +∞
Por lo tanto en este caso la integral es divergente.
• Si t < 0, entonces
∫ +∞
a
etx dx = lim
b→+∞
[
etx
t
]b
a
= lim
b→+∞
[
etb
t
− e
ta
t
]
= −e
ta
t
Por lo tanto en este caso la integral es convergente.
• Si t = 0, entonces
∫ +∞
a
dx = lim
b→+∞
[x]ba = limb→+∞
(b− a) = +∞
Por lo tanto en este caso la integral es divergente.
Definición 1.2.2 Sea f : IR → IR e integrable en cualquier intervalo cerrado de IR, diremos que la integral
generalizada o impropia de f en el intervalo (−∞, +∞) converge cuando existe un número real a para el
cual convergen las integrales impropias
∫ +∞
a
f(x) dx y
∫ a
−∞
f(x) dx
Nota 1.2.2 Se representa por
∫ +∞
−∞
f(x) dx y se tiene que
∫ +∞
−∞
f(x) dx =
∫ a
−∞
f(x) dx +
∫ +∞
a
f(x) dx
Además si
∫ +∞
−∞
f(x) dx es convergente se tiene que
∫ +∞
−∞
f(x) dx = lim
b→+∞
∫ b
−b
f(x) dx.
4
El rećıproco no es cierto, puede ocurrir que exista lim
b→+∞
∫ b
−b
f(x) dx y en cambio
∫ +∞
−∞
f(x) dx no sea
convergente. Aśı ocurre con
∫ +∞
−∞
x dx. (Ejercicio que dejamos al alumno).
1.2.2 Criterios de convergencia.
En este apartado tratamos distintas formas de estudiar la convergencia o divergencia de una integral im-
propia. Ya hemos visto que si se conoce una primitiva de la función f , se puede estudiar la convergencia
o divergencia aplicando las propiedades y sin más que calcular un ĺımite. Veamos que ocurre cuando este
procedimiento no es posible o no es recomendable.
Criterio de comparación
Consideramos la función f : [a, +∞) → IR siendo f(x) ≥ 0 en todo su dominio.
Teorema 1.2.1 Sea f : [a, +∞) → IR siendo f(x) ≥ 0 e integrable en todo intervalo cerrado [a, b] con
b ≥ a. Entonces
∫ +∞
a
f(x) dx es convergente si y solo si existe un número real M tal que
∫ b
a
f(x) dx ≤ M ,
∀b ≥ a.
Demostración (T.C.): ⇒) Supongamos que
∫ +∞
a
f(x) dx es convergente, entonces existe lim
b→+∞
∫ b
a
f(x) dx =
l por lo tanto dado ε > 0 existe b0 ≥ a tal que ∀b ≥ b0 se tiene que
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(x) dx− l
∣∣∣∣∣ ⇒ l − ε <
∫ b
a
f(x) dx < l + ε
Basta tomar M = l + ε para ε fijo.
⇐) Supongamos que
∫ b
a
f(x) dx ≤ M , ∀b ≥ a, entonces lim
b→+∞
∫ b
a
f(x) dx tiene que ser o bien número
real positivo, o cero, o bien +∞. Supongamos que el ĺımite fuera +∞, entonces ∀H > 0 existiŕıa b0 ≥ a
tal que ∀b ≥ b0 se tiene que
∫ b
a
f(x) dx > H. Tomando H = M llegamos a una contradicción. Por tanto la
integral es convergente.
Teorema 1.2.2 (Criterio de comparación) Sean f, h : [a, +∞) → IR integrables y no negativas en [a, b]
con b ≥ a. Si existe k ≥ 0 y c ≥ a tales que 0 ≤ f(x) ≤ k h(x), para todo x ≥ c, entonces
1. Si
∫ +∞
a
h(x) dx es convergente, entonces
∫ +∞
a
f(x) dx es convergente.
2. Si
∫ +∞
a
f(x) dx es divergente, entonces
∫ +∞
a
h(x) dx es divergente.
5
Demostración (T.C.): Si 0 ≤ f(x) ≤ k h(x), para todo x ≥ c, entonces
∫ b
c
f(x) dx ≤ k
∫ b
c
h(x) dx.
1. Si
∫ +∞
a
h(x) dx es convergente, entonces
∫ +∞
c
h(x) dx es convergente, entonces existe un número real
M tal que
∫ b
c
h(x) dx ≤ M , ∀b ≥ a. Por tanto
∫ b
c
f(x) dx ≤ k
∫ b
c
h(x) dx ≤ k ·M = M ′ ∀b ≥ c ⇒
∫ +∞
a
f(x) dx
es convergente.
2. Si
∫ +∞
a
f(x) dx es divergente, entonces
∫ +∞
c
f(x) dx es divergente, entonces existen M > 0 y b ≥ a
tales que
∫ b
c
f(x) dx > M ⇒ k
∫ b
c
h(x) dx ≥
∫ b
c
f(x) dx > M ⇒
∫ b
c
h(x) dx >
M
k
= M ′ ⇒
∫ +∞
c
h(x) dx es divergente, por tanto
∫ +∞
a
h(x) dx también lo es.
Ejemplo 1.2.1 Estudiar la convergencia de
∫ +∞
1
|cos(x)|
x2
dx.
Utilizamos el criterio de comparacióncon la p-integral. Sabemos que |cos(x)| ≤ 1 por tanto si tomamos:
f(x) =
∣∣∣∣
cos(x)
x2
∣∣∣∣ y h(x) =
1
x2
⇒ f(x) ≤ h(x) ∀x ≥ 1
Como
∫ +∞
1
1
x2
dx es convergente (p = 2 > 1), entonces
∫ +∞
1
|cos(x)|
x2
dx es también convergente.
Ejemplo 1.2.2 Estudiar la convergencia de
∫ +∞
2
ex + 1
xex
dx.
Utilizamos el criterio de comparación con la p-integral. Sabemos que
ex + 1
ex
≥ 1 por tanto si tomamos:
f(x) =
1
x
y h(x) =
ex + 1
xex
⇒ f(x) ≤ h(x) ∀x ≥ 2
Como
∫ +∞
2
1
x
dx es divergente (p = 1), entonces
∫ +∞
2
ex + 1
xex
dx es también divergente.
Ejemplo 1.2.3 Estudiar la convergencia de
∫ +∞
1
1
2ex + 1
dx.
Utilizamos el criterio de comparación con la integral exponencial. Sabemos que 2ex > ex, por tanto
2ex + 1 > 2ex > ex y si tomamos:
f(x) =
1
2ex + 1
y h(x) =
1
ex
⇒ f(x) < h(x)
Como
∫ +∞
1
1
ex
dx es convergente (t = −1 < 0), entonces
∫ +∞
1
1
2ex + 1
dx es también convergente.
6
Teorema 1.2.3 (Criterio de comparación por paso al ĺımite) Sean f, h : [a, +∞) → IR integrables
y positivas en [a, b] con b ≥ a. Sea lim
x→∞
f(x)
h(x)
= l, entonces
1. Si l 6= 0 y finito, entonces
∫ +∞
a
f(x) dx tiene el mismo carácter que
∫ +∞
a
h(x) dx.
2. Si l = 0, entonces si
∫ +∞
a
h(x) dx es convergente, también
∫ +∞
a
f(x) dx es convergente.
3. Si l = +∞, entonces si
∫ +∞
a
h(x) dx es divergente, también
∫ +∞
a
f(x) dx es divergente.
Ejemplo 1.2.4 Estudiar la convergencia de
∫ +∞
1
x + 1
x3 + 4
dx.
lim
x→∞
x + 1
x3 + 4
1
x2
= lim
x→∞
x3 + x2
x3 + 4
= 1
Por tanto
∫ +∞
1
x + 1
x3 + 4
dx y
∫ +∞
1
1
x2
dx tienen el mismo carácter. Como la segunda integral es una p-integral
convergente (p = 2), entonces la integral dada es también convergente.
Nota 1.2.3 Los criterios de comparación se pueden ampliar a funciones no positivas, aśı:
1. Si la función f es negativa, entonces aplicamos los criterios a la función −f ya que
∫ +∞
a
f(x) dx = −
∫ +∞
a
−f(x) dx
2. Si la función f cambia de signo un número finito de veces y llamamos c al mayor valor de x donde la
función cambia de signo, estudiamos el carácter de
∫ +∞
c
f(x) dx que coincidirá con el de
∫ +∞
a
f(x) dx
El problema del estudio de la convergencia según los criterios de comparación queda sin resolver cuando
tenemos una función que en el intervalo [a, +∞) cambia de signo infinitas veces. Para tratar este tipo de
funciones definimos el concepto de convergencia absoluta.
1.2.3 Convergencia Absoluta. Convergencia condicional
Definición 1.2.3 Sea f : [a, +∞) → IR e integrable en cualquier intervalo cerrado [a, n]; ∀n ≥ a de IR,
diremos que la integral
∫ +∞
a
f(x) dx es absolutamente convergente cuando
∫ +∞
a
|f(x)| dx es convergente
Teorema 1.2.4 Si
∫ +∞
a
f(x) dx es absolutamente convergente, entonces
∫ +∞
a
f(x) dx es convergente.
7
Demostración(T.C.):
0 ≤ |f(x)| − f(x) ≤ |f(x)|+ |f(x)| = 2|f(x)| ∀x ≥ a
Por el criterio de comparación, como
∫ +∞
a
2|f(x)| dx es convergente, entonces
∫ +∞
a
(|f(x)| − f(x)) dx es
convergente y como f(x) = |f(x)| − (|f(x)| − f(x)) tenemos que
∫ +∞
a
f(x) dx es convergente.
Ejemplo 1.2.5 Estudiar la convergencia de
∫ +∞
π
cos(x)
x2
dx.
Como cos(x) cambia de signo infinitas veces en el intervalo [π, +∞), utilizamos el concepto de conver-
gencia absoluta y estudiamos el carácter de la integral
∫ +∞
π
|cos(x)|
x2
dx. Sabemos que esta última integral
es convergente, por tanto también será la dada inicialmente.
Nota 1.2.4 El rećıproco, en general, no es cierto. Es decir,
∫ +∞
a
|f(x)| dx puede ser divergente y sin
embargo
∫ +∞
a
f(x) dx ser convergente.
1.3 Integrales impropias de segunda especie
Vamos a estudiar en esta pregunta la convergencia de las integrales de funciones no acotadas definidas en
intervalos finitos. Hay de dos tipos según que el problema de la no acotación se presente en el extremo
inferior del intervalo de integración o en el superior, es decir:
• Sea f : (a, b] → IR siendo f integrable en cualquier intervalo de la forma [t, b] con t ∈ (a, b]. Un
ejemplo de este tipo de situación seŕıa la integral de la función f(x) =
1
x− 1 en el intervalo (1, 3]
• Sea f : [a, b) → IR siendo f integrable en cualquier intervalo de la forma [a, t] con t ∈ [a, b). Un
ejemplo de este tipo de situación seŕıa la integral de la función f(x) =
1
2− x en el intervalo [0, 2)
Definición 1.3.1 Sea f : (a, b] → IR siendo f integrable en cualquier intervalo de la forma [t, b] con
t ∈ (a, b], llamamos integral impropia de segunda especie y la denotamos por
∫ b
a+
f(x) dx, al ĺımite si existe
lim
t→a+
∫ b
t
f(x) dx = lim
ε→0+
∫ b
a+ε
f(x) dx
Si dicho ĺımite es finito, decimos que la integral impropia es convergente, en otro caso decimos que es
divergente.
8
Definición 1.3.2 Sea f : [a, b) → IR siendo f integrable en cualquier intervalo de la forma [a, t] con
t ∈ [a, b), llamamos integral impropia de segunda especie y la denotamos por
∫ b−
a
f(x) dx, al ĺımite si existe
lim
t→b−
∫ t
a
f(x) dx = lim
ε→0−
∫ b−ε
a
f(x) dx
Si dicho ĺımite es finito, decimos que la integral impropia es convergente, en otro caso decimos que es
divergente.
1.3.1 Propiedades de las integrales impropias de segunda especie.
Sean f, h : (a, b] → IR funciones integrables Riemann en [t, b]; ∀t ∈ (a, b] siendo
∫ b
a+
f(x) dx y
∫ b
a+
h(x) dx
convergentes. Se verifican las siguientes propiedades:
1. (Linealidad) La integral
∫ b
a+
(αf(x) + βh(x)) dx con α y β reales es convergente y además
∫ b
a+
(αf(x) + βh(x)) dx = α
∫ b
a+
f(x) dx + β
∫ b
a+
h(x) dx
2. (Monotońıa) Si f(x) ≤ h(x); ∀x ∈ (a, b], entonces
∫ b
a+
f(x) dx ≤
∫ b
a+
h(x) dx
3. (Regla de Barrow) Si F es una primitiva de f , entonces
∫ b
a+
f(x) dx = lim
t→a+
(F (b)− F (t))
Como aplicación de estas propiedades estudiaremos la convergencia de dos integrales que nos serán muy
útiles en el futuro para estudiar la convergencia de otro tipo de integrales impropias de segunda especie.
Comenzamos con:
∫ b
a+
1
(x− a)r dx
∫ b
a+
1
(x− a)r dx = limt→a+
∫ b
t
1
(x− a)r dx =



[
lim
t→a+
(x− a)−r+1
−r + 1
]b
t
si r 6= 1
[
lim
t→a+
ln |x− a|
]b
t
si r = 1
Distinguiremos tres casos según sea el valor de r
9
• Si r > 1, entonces
∫ b
a+
1
(x− a)r dx = limt→a+
[
(x− a)−r+1
−r + 1
]b
t
= lim
t→a+
[
(b− a)−r+1
−r + 1 −
(t− a)−r+1
−r + 1
]
= +∞
Por lo tanto es divergente.
• Si r < 1, entonces
∫ b
a+
1
(x− a)r dx = limt→a+
[
(b− a)−r+1
−r + 1 −
(t− a)−r+1
−r + 1
]
=
(b− a)1−r
1− r
Por lo tanto en este caso la integral es convergente.
• Si r = 1, entonces
∫ b
a+
1
x− a dx = limt→a+ [ln |x− a|]
b
t = lim
t→a+
(ln |b− a| − ln |t− a|) = +∞
Por lo tanto en este caso la integral es divergente.
Análogamente estudiaremos la convergencia de la integral:
∫ b−
a
1
(b− x)r dx
∫ b−
a
1
(b− x)r dx = limt→b−
∫ t
a
1
(b− x)r dx =



[
lim
t→b−
−(b− x)
−r+1
−r + 1
]t
a
si r 6= 1
[
lim
t→b−
− ln |b− x|
]t
a
si r = 1
Distinguiremos tres casos según sea el valor de r
• Si r > 1, entonces
∫ b−
a
1
(b− x)r dx = limt→b−
[
−(b− x)
−r+1
−r + 1
]t
a
= lim
t→b−
[
(b− a)−r+1
−r + 1 −
(b− t)−r+1
−r + 1
]
= +∞
Por lo tanto es divergente.
• Si r < 1, entonces
∫ b−
a
1
(b− x)r dx = limt→b−
[
(b− a)−r+1
−r + 1 −
(b− t)−r+1
−r + 1
]
=
(b− a)1−r
1− r
Por lo tanto en este caso la integral es convergente.
10
• Si r = 1, entonces
∫ b−
a
1
b− x dx = limt→b− [− ln |b− x|]
t
a = lim
t→b−
(ln |b− a| − ln |b− t|) = +∞
Por lo tanto en este caso la integral es divergente.
1.3.2 Criterios de convergencia para las integrales impropias de segunda especie.
En este apartado tratamos distintas formas de estudiar la convergencia o divergencia de una integral impropia
de segunda especie de una forma muy similar al estudio realizado con las integrales impropias de primera
especie. Ya hemos visto que si se conoce una primitiva de la función f , se puede estudiar la convergencia
o divergencia aplicando las propiedades y sin más que calcularun ĺımite. Veamos que ocurre cuando este
procedimiento no es posible o no es recomendable.
Criterio de comparación
Teorema 1.3.1 Sea f : (a, b] → IR siendo f(x) ≥ 0 e integrable en todo intervalo cerrado [t, b], ∀t ∈ (a, b].
Entonces
∫ b
a+
f(x) dx es convergente si y solo si existe un número real M tal que
∫ b
t
f(x) dx ≤ M , ∀t ∈ (a, b].
Teorema 1.3.2 (Criterio de comparación) Sean f, h : (a, b] → IR integrables y no negativas en todo
intervalo cerrado [t, b], ∀t ∈ (a, b]. Si existe k > 0 y c ∈ (a, b] tales que 0 ≤ f(x) ≤ k h(x), para todo
x ∈ (a, c], entonces
1. Si
∫ b
a+
h(x) dx es convergente, entonces
∫ b
a+
f(x) dx es convergente.
2. Si
∫ b
a+
f(x) dx es divergente, entonces
∫ b
a+
h(x) dx es divergente.
Ejemplo 1.3.1 Estudiar si
∫ 2
1+
1√
x2 − 1 dx es convergente o divergente.
Sabemos que x + 1 > 1 cuando x ∈ (1, 2], por tanto:
x2 − 1 = (x− 1)(x + 1) ≥ x− 1 ⇒
√
x2 − 1 ≥ √x− 1 ⇒ 1√
x2 − 1 ≤
1√
x− 1
Como
∫ 2
1+
1√
x− 1 dx es convergente ya que es una r-integral con r =
1
2
< 1 y por el criterio de comparación
la integral dada es convergente también.
11
Teorema 1.3.3 (Criterio de comparación por paso al ĺımite) Sean f, h : (a, b] → IR integrables en
todo intervalo cerrado [t, b], ∀t ∈ (a, b] y tales que f(x) ≥ 0, h(x) > 0 ∀x ∈ (a, b]. Sea lim
x→a+
f(x)
h(x)
= l,
entonces
1. Si l 6= 0 y finito, entonces
∫ b
a+
f(x) dx tiene el mismo carácter que
∫ b
a+
h(x) dx.
2. Si l = 0, entonces si
∫ b
a+
h(x) dx es convergente, también
∫ b
a+
f(x) dx es convergente.
3. Si l = +∞, entonces si
∫ b
a+
h(x) dx es divergente, también
∫ b
a+
f(x) dx es divergente.
Ejemplo 1.3.2 Estudiar si
∫ π
4
0+
sen(x)
x2
dx es convergente o divergente.
lim
x→0+
sen(x)
x2
1
x
= lim
x→0+
sen(x)
x
= 1
Por tanto la integral
∫ π
4
0+
sen(x)
x2
dx y la integral
∫ π
4
0+
1
x
dx tienen el mismo carácter. Como esta última
integral es divergente, la dada también lo será.
Nota 1.3.1 Los criterios de comparación se pueden ampliar a funciones no positivas, aśı:
1. Si la función f es negativa, entonces aplicamos los criterios a la función −f ya que
∫ b
a+
f(x) dx = −
∫ b
a+
−f(x) dx
2. Si la función f cambia de signo un número finito de veces y llamamos c al menor valor de x ∈ (a, b]
donde la función cambia de signo, estudiamos el carácter de
∫ c
a+
f(x) dx que coincidirá con el de
∫ b
a+
f(x) dx
El problema del estudio de la convergencia según los criterios de comparación queda sin resolver cuando
tenemos una función que en el intervalo (a, b] cambia de signo infinitas veces. Para tratar este tipo de
funciones definimos el concepto de convergencia absoluta.
1.3.3 Convergencia Absoluta. Convergencia condicional
Definición 1.3.3 Sea f : (a, b] → IR e integrable en cualquier intervalo cerrado [t, b] ∀t ∈ (a, b], diremos
que la integral
∫ b
a+
f(x) dx es absolutamente convergente cuando
∫ b
a+
|f(x)| dx es convergente
12
Teorema 1.3.4 Si
∫ b
a+
f(x) dx es absolutamente convergente, entonces
∫ b
a+
f(x) dx es convergente.
Ejemplo 1.3.3 Estudiar si
∫ kπ
0+
cos
(
1
x
)
√
x
dx, con k ∈ ZZ es convergente o divergente.
∣∣∣∣∣∣∣∣
cos
(
1
x
)
√
x
∣∣∣∣∣∣∣∣
≤ 1√
x
Como
∫ kπ
0+
1√
x
es convergente (r =
1
2
< 1), entonces
∫ kπ
0+
∣∣∣∣∣∣∣∣
cos
(
1
x
)
√
x
∣∣∣∣∣∣∣∣
dx es convergente también y por tanto
la integral dada es absolutamente convergente.
Nota 1.3.2 El rećıproco, en general, no es cierto.
Damos, ahora, definiciones análogas a las dadas cuando la función no está acotada en los extremos del
intervalo o no está acotada en un punto interior del intervalo.
Definición 1.3.4 Sea f : (a, b) → IR e integrable en cualquier intervalo cerrado contenido en (a, b), dire-
mos que la integral
∫ b−
a+
f(x) dx es convergente, si existe c ∈ (a, b) tal que
∫ c
a+
f(x) dx y
∫ b−
c
f(x) dx son
convergentes, en tal caso
∫ b−
a+
f(x) dx =
∫ c
a+
f(x) dx +
∫ b−
c
f(x) dx
Definición 1.3.5 Sea f : [a, b] → IR y c ∈ (a, b) tal que f es integrable en cualquier intervalo cerrado
contenido en [a, c) o en (c, b], diremos que la integral
∫ b
a
f(x) dx es convergente,
∫ c−
a
f(x) dx y
∫ b
c+
f(x) dx
son convergentes, en tal caso
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c−
a
f(x) dx +
∫ b
c+
f(x) dx
Ejemplo 1.3.4 Para estudiar la convergencia de
∫ 3−
0+
1
x(x− 3) dx se estudia la convergencia de las inte-
grales
∫ c
0+
1
x(x− 3) dx y
∫ 3−
c
1
x(x− 3) dx. La resolución de este ejercicio la dejamos para el alumno.
Ejemplo 1.3.5 Para estudiar la convergencia de
∫ 2
0
1
(x− 1) dx se estudia la convergencia de las integrales∫ 1−
0
1
(x− 1) dx y
∫ 2
1+
1
(x− 1) dx. La resolución de este ejercicio la dejamos para el alumno.
13
1.4 Integrales impropias de tercera especie
Si el intervalo de integración no es acotado y existe en dicho intervalo un número real donde dicha función
no es acotada, se dice que la integral es de tercera especie. El estudio de la convergencia se realiza descom-
poniendo la integral en suma de integrales de primera y de segunda especie. Será convergente cuando todas
y cada una de las integrales en que se descompone lo sean. Es decir:
∫ +∞
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx +
∫ +∞
b
f(x) dx
La primera integral es de segunda especie y la segunda integral es de primera especie.
Ejemplo 1.4.1
∫ +∞
0
1
(x− 1) dx =
∫ 2
0
1
(x− 1) dx +
∫ +∞
2
1
(x− 1) dx =
= lim
ε→0−
∫ 1−ε
0
1
(x− 1) dx + limε→0+
∫ 2
1+ε
1
(x− 1) dx + limb→+∞
∫ b
2
1
(x− 1) dx
Como
∫ 1−
0
1
(x− 1) dx es divergente, la integral de tercera especie también lo será.
1.5 Integrales dependientes de parámetros
1.5.1 Introducción
Muchas funciones no pueden ser representadas por fórmulas algebraicas y necesitan de una expresión integral
que dependa de de uno o de varios parámetros. Aśı aparecen las funciones eulerianas:
Γ(p) =
∫ +∞
0
e−x xp−1 dx; β(p, q) =
∫ 1
0
xp−1 (1− x)q−1 dx
La función caracteŕıstica asociada a una función de densidad f(x):
Ψ(t) =
∫ +∞
−∞
eitx f(x) dx
La transformada de Laplace de una función:
F (z) =
∫ +∞
0
e−zx f(x) dx
Las integrales paramétricas se caracterizan por definir una función F (y) mediante una integral que puede
ser de Riemann o impropia de primera o de segunda especie. Es decir:
F (y) =
∫ b
a
f(x, y) dx
14
F (y) =
∫ +∞
a
f(x, y) dx
F (y) =
∫ g(y)
a
f(x, y) dx
El estudio de la integración paramétrica se complica cuando la función no es continua en el intervalo o el
intervalo de integración no es finito, en este último caso la integral paramétrica debe ser uniformemente
convergente. Por ello realizaremos tan sólo un estudio básico cuando el intervalo de integración es finito y
la función es integrable.
Definición 1.5.1 Sea f : [a, b] × [c, d] ⊂ IR2 → IR, integrable en [a, b], ∀y ∈ [c, d]. La expresión
∫ b
a
f(x, y) dx depende del parámetro y. A esta integral la llamamos integral paramétrica y la repre-
sentamos por F (y).
Teorema 1.5.1 (Continuidad de las integrales paramétricas) Sea f : [a, b] × [c, d] ⊂ IR2 → IR,
continua y sea F : [c, d] ⊂ IR → IR, definida por F (y) =
∫ b
a
f(x, y) dx. Entonces la función F (y) es
continua en [c, d], es decir
lim
y→y0
∫ b
a
f(x, y) dx =
∫ b
a
lim
y→y0
f(x, y) dx =
∫ b
a
f(x, y0) dx; ∀y0 ∈ [c, d]
Ejemplo 1.5.1 Estudiar la continuidad de
∫ 1
0
xy sen5(xy) dx.
Como la función f(x, y) = xy sen5(xy) es continua en todo IR2, entonces F (y) =
∫ 1
0
xy sen5(xy) dx es
también continua en todo IR.
1.5.2 Derivación bajo el signo integral
Una vez que conocemos bajo que condiciones la función F (y) definida por una integral paramétrica es
continua, vamos a estudiar bajo que condiciones la podemos derivar y cuál es su derivada
Teorema 1.5.2 Sea [a, b]× [c, d] y supongamos que fijado y ∈ [c, d], existe F (y) =
∫ b
a
f(x, y) dx. Si
∂f
∂y
es
continua en [a, b]× [c, d], entonces existe F ′(y); ∀y ∈ (c, d) y además
F ′(y) =
∫ b
a
∂f(x, y)
∂y
dx
15
Ejemplo 1.5.2 Comprobar que se verifica la fórmula de la derivación de integrales paramétricas para
F (y) =
∫ 1
−1
[(x+ y)2 − 2x] dx.
Por una parte tenemos que:
F (y) =
∫ 1
−1
[(x + y)2 − 2x] dx =
∫ 1
−1
(x2 + y2 + 2xy − 2x) dx =
[
x3
3
+ y2x + x2y − x2
]1
−1
= 2y2 +
2
3
Por tanto F ′(y) = 4y.
Por otra parte
∂f(x, y)
∂y
= 2(x + y) es continua, entonces
F ′(y) =
∫ 1
−1
∂f(x, y)
∂y
dx =
∫ 1
−1
2(x + y) dx =
[
x2 + 2xy
]1
−1 = 4y
En el caso en que los ĺımites de la integral dependan de un parámetro, enunciamos el siguiente teorema
Teorema 1.5.3 Sean f y
∂f
∂y
continuas en [a, b] × [c, d]. Sean p, q : [c, d] → [a, b] diferenciables. Sea
F : [c, d] → IR definida por F (y) =
∫ q(y)
p(y)
f(x, y) dx, entonces ∀y ∈ (c, d) existe F ′(y) y se tiene que:
F ′(y) =
∫ q(y)
p(y)
∂f(x, y)
∂y
dx + f(q(y), y) · q′(y)− f(p(y), y) · p′(y)
Ejemplo 1.5.3 Calcular la derivada de F (y) =
∫ y2+3y
y−3
1
1 + x2 + y2
dx.
f(x, y) =
1
1 + x2 + y2
es continua en todo IR2.
p(y) = y − 3 es continua y diferenciable en todo IR.
q(y) = y2 + 3y es continua y diferenciable en todo IR.
∂f(x, y)
∂y
=
−2y
(1 + x2 + y2)2
es continua en todo IR2. Por tanto podemos aplicar el teorema anterior y aśı:
F ′(y) =
∫ y2+3y
y−3
−2y
1 + x2 + y2
dx +
1
1 + (y2 + 3y)2 + y2
· (2y + 3)− 1
1 + (y − 3)2 + y2 · 1
1.6 Funciones Eulerianas
1.6.1 Función Gamma
Definición 1.6.1 Definimos la función Γ(p) como
Γ(p) =
∫ +∞
0
xp−1 e−x dx
Teorema 1.6.1 Γ(p) es convergente cuando p > 0.
16
Propiedades de la función Gamma
1. Γ(p + 1) = pΓ(p)
2. Γ(p + 1) = p!
3. Conocida Γ(p) con 0 < p < 1, podemos conocer Γ(p) con p > 0.
4. Si n es un entero positivo, entonces Γ
(
1
n
)
= n
∫ +∞
0
e−x
n
dx
5. Γ
(
1
2
)
=
√
π
Ejemplo 1.6.1 Obtener, utilizando la función gamma,
∫ +∞
0
√
x e−x
3
dx.
Hacemos un cambio de variable x3 = t ⇒ x = t 13 ⇒ dx = 1
3
t−
2
3 dt
∫ +∞
0
√
x e−x
3
dx =
∫ +∞
0
t
1
6 e−t
1
3
t−
2
3 dt =
1
3
∫ +∞
0
t−
1
2 e−t dt =
1
3
Γ
(
1
2
)
=
1
3
√
π
1.6.2 Función Beta
Definición 1.6.2 Definimos la función β(p, q) como
β(p, q) =
∫ 1
0
xp−1 (1− x)q−1 dx
Teorema 1.6.2 β(p, q) es convergente cuando p > 0 y q > 0.
Propiedades de la función beta
1. β(p, q) = β(q, p)
2. β(p, 1) =
1
p
; β(1, q) =
1
q
3. La forma trigonométrica de la función beta viene dada por β(p, q) = 2
∫ π
2
0
cos2p−1(t) sen2q−1(t) dt
4. β(p, q) =
Γ(p) Γ(q)
Γ(p + q)
Ejemplo 1.6.2 Calcular utilizando las funciones gamma y beta
∫ 1
0
x4 (1− x)3 dx.
∫ 1
0
x4 (1− x)3 dx = β(5, 4) = Γ(5) Γ(4)
Γ(9)
=
4! · 3!
8!
=
1
280
17