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13. Integrales Impropias
“asdfasdfasdfasdfasdf.”
Wang Zhenyi (1768-1797)13.1 Integrales impropias
Cuando se define la integral definida
∫ b
a
f (x)dx en el Módulo 11 se consideran funciones
f definidas en el intervalo finito [a, b] que denominamos integrables (Definición 11.4.1). El
Teorema 11.4.1 plantea que es posible calcular integrales definidas para funciones continuas
en un intervalo [a, b] o que presentan una cantidad finita de discontinuidades de tipo salto. En
este módulo extenderemos el concepto de integral definida a los casos en que:
El intervalo en consideración sea infinito. O sea, de la forma
[a,+∞) (−∞, b] (−∞,+∞)
La función no sea continua en el intervalo [a, b] presentando algún comportamiento
asintótico vertical.
Cualquiera de los dos casos anteriores, o sus combinaciones, se llamarán integrales
impropias. Tienen mucha importancia y se usan con frecuencia, por ejemplo, en el área de
probabilidades y estadística al estudiar distribuciones de probabilidades.
13.2 Integrales impropias de funciones continuas en intervalos infini-
tos.
Comenzaremos desarrollando como ejemplo la función f (x) =
1
x2
y la función g(x) =
1
x
en el intervalo [1,+∞).
x
y
Figura 13.1: Gráfica de f (x) =
1
x2
.
� Ejemplo 13.1 Consideremos como primer ejemplo la función f (x) =
1
x2
que es continua
en el intervalo [1,+∞). Presentamos su gráfica completa en la Figura 13.1 y la porción
correspondiente a [1,+∞) en la Figura 13.2 marcando allí la región S que está debajo
de la gráfica de la función, sobre el eje x y a la derecha de la recta vertical x = 1.
x
y f (x) =
1
x2
1 2 3 4 5
Región S
Figura 13.2: Región S comprendida entre la gráfica de f (x) = 1
x2
, el eje x y a la
derecha de x = 1.
2 Capítulo 13. Integrales Impropias
La región S se extiende hacia la derecha en forma infinita y nunca termina.
Consideraremos intervalos finitos que comienzan en x = 1 y terminan en algún valor
real mayor que 1. Por ejemplo, podemos considerar los intervalos de la forma [1, 2],
[1, 3], [1, 5] o más grandes
[1, 100] [1, 1000] [1, 1010] ... etc
En cualquier caso estamos considerando una porción del intervalo completo [1,+∞)
como se representa en la Figura 13.3.
2 x
y
1 3 4 5
∫ 2
1
1
x2
dx
4 x
y
1 2 3 5
∫ 4
1
1
x2
dx
5
x
y
1 2 3 4
∫ 5
1
1
x2
dx
Figura 13.3: Porciones de la región S considerando los intervalos [1, 2], [1, 4] y [1, 5].
Definiremos la función integral tal como lo hicimos en el Teorema Fundamental
del Cálculo del Módulo 12 (Teorema 12.4.1)
F(B) =
∫ B
1
1
x2
dx
que representa el área debajo de la gráfica de la función f (x) y encima del eje x en
el intervalo [1, B]; y luego veremos cómo se comporta cuando agrandamos el intervalo
hacia la derecha con B→ +∞.
Calculamos la integral
F(B) =
∫ B
1
1
x2
dx =
∫ B
1
x−2dx =
x−1
−1
����B
1
=
B−1
−1
−
1−1
−1
= −
1
B
+ 1
13.2 Integrales impropias de funciones continuas en intervalos infinitos. 3
y luego calculamos el límite lı́m
B→+∞
F(B)
lı́m
B→+∞
F(B) = lı́m
B→+∞
−
1
B︸︷︷︸
→0
+1 = 1 (13.1)
El valor 1 que obtuvimos en 13.1 representa el valor del área de la región S.
�
x
y
Figura 13.4: Gráfica de g(x) =
1
x
.
� Ejemplo 13.2 Utilizaremos el mismo procedimiento anterior para estudiar el área de la
región S debajo de la gráfica de la función g(x) =
1
x
, encima del eje x y hacia la
derecha de x = 1. Presentamos su gráfica completa en la Figura 13.4 y la región S en
la Figura 13.5. La función g(x) =
1
x
es continua en el intervalo [1,+∞).
x
y
g(x) =
1
x
1
Región S
Figura 13.5: Región S comprendida entre la gráfica de f (x) = 1
x
y el eje x y a la
derecha de x = 1.
Definiremos la función integral para determinar el área de la región debajo de la
gráfica de g(x), encima del eje x en el intervalo [1, B].
F(B) =
∫ B
1
1
x
dx = ln |x |
����B
1
= ln |B | − ln |1| = ln B
y luego calculamos el límite
lı́m
B→+∞
F(B) = lı́m
B→+∞
ln B = +∞ (13.2)
En esta oportunidad el límite 13.2 no existe; no obtuvimos un valor real que pueda
representar el área de la región S. �
Los ejemplos anteriores muestran la manera que utilizaremos para extender la noción de
integral definida a casos en los que el dominio de integración es un intervalo infinito. En ambos
casos trabajamos con el intervalo [1,+∞) pero podríamos contemplar casos similares para
abarcar dominios de la forma genérica
(−∞, b] [a,+∞) (−∞,+∞)
4 Capítulo 13. Integrales Impropias
x
y
a
Figura 13.6: Integral impropia de la
forma
∫ +∞
a
f (x)dx.
x
y
b
Figura 13.7: Integral impropia de la
forma
∫ b
−∞
f (x)dx.
Definición 13.2.1 — Integrales impropias de funciones continuas en intervalo infinito.
a) Si f (x) es continua en el intervalo [a,+∞) se define la integral impropia∫ +∞
a
f (x)dx = lı́m
B→+∞
∫ B
a
f (x)dx (13.3)
Ver Figura 13.6.
b) Si f (x) es continua en el intervalo (−∞, b] se define la integral impropia∫ b
−∞
f (x)dx = lı́m
A→−∞
∫ b
A
f (x)dx (13.4)
Ver Figura 13.7.
Estas integrales impropias se dicen convergentes cuando los límites 13.3 o 13.4
existen (da un número real). Caso contrario se dicen divergentes.
Teorema 13.2.1 Las integrales impropias de la forma∫ +∞
1
1
xr
dx
son convergentes para los casos que r > 1 y divergentes para los casos r ≤ 1.
Demostración La demostración se realiza usando directamente la definición observando
que las funciones f (x) =
1
xr
son continuas en el intervalo [1,+∞). El caso r = 1 ya fue
desarrollado en el Ejemplo 13.2. Por eso sólo nos enfocaremos en los casos en que r , 1.
Calculamos la función integral correspondiente y luego el límite para B→ +∞
F(B) =
∫ B
1
1
xr
dx =
∫ B
1
x−rdx =
x−r+1
−r + 1
����B
1
=
B−r+1
1 − r
−
1
1 − r
lı́m
B→+∞
F(B) = lı́m
B→+∞
→ 0 (si r > 1)
→ +∞ (si r < 1)︷ ︸︸ ︷
B−r+1
1 − r
−
1
1 − r
=

1
r − 1
si r > 1
+∞ si r < 1
Actividad 13.1 Determinen cuáles de las siguientes integrales impropias son convergentes
o divergentes. En los casos que sean convergentes, calcular su valor.
a)
∫ +∞
1
1
√
x
dx b)
∫ −3
−∞
1
x3
dx c)
∫ +∞
0
e−xdx
d)
∫ +∞
1
ln(x)
x
dx e)
∫ +∞
0
xe−xdx
�
13.3 Integrales impropias de funciones con discontinuidades asintóticas verticales. 5
13.3 Integrales impropias de funciones con discontinuidades asintóti-
cas verticales.
Para extender la noción de integral impropia en los casos de funciones que poseen disconti-
nuidades de tipo asintótica vertical utilizaremos un procedimiento similar. Desarrollaremos
como primer ejemplo la función f (x) =
1
x2
en el intervalo [0, 1].
x
y
1.5
Figura 13.8: En el intervalo [.5, 1].
x
y
1.2
Figura 13.9: En el intervalo [.2, 1].
x
y
10+ ← A
Figura 13.10: En el intervalo [A, 1].
� Ejemplo 13.3 La función f (x) =
1
x
es continua en el intervalo (0, 1] y tiene un comporta-
miento asintótico vertical en x = 0. Nos interesa la región R que se encuentra debajo
de la gráfica de la función f , sobre el eje x y con base en el intervalo [0, 1] como se
representa en la Figura 13.11.
x
y
f (x) =
1
x
1
Región S
Figura 13.11: Región S comprendida entre la gráfica de f (x) = 1
x
, el eje x y con base
en el intervalo [0, 1].
En este proceso consideraremos intervalos más pequeños pero de la forma [A, 1]
para valores con 0 < A < 1; calcularemos la integral definida en ese intervalo y luego
haremos A→ 0+.
F(A) =
∫ 1
A
1
x
dx = ln |x |
����1
A
= ln |1| − ln |A| = − ln |A|
lı́m
A→0+
F(A) = lı́m
A→0+
− ln |A|︸︷︷︸
→−∞
= +∞
Al igual que en el Ejemplo 13.2 obtenemos que el límite no existe y por lo tanto
no es posible asignar un valor al área de la región S comprendida debajo de la gráfica
de la función f (x), el eje x y con base en el intervalo [0, 1]. �
6 Capítulo 13. Integrales Impropias
En el ejemplo anterior se desarrolló un caso de integrales impropias con un compor-
tamiento asintótico vertical por la derecha. De manera similar se desarrollarán integrales
impropias con comportamiento vertical por la izquierda. La siguiente definición es similar a
la propuesta en la Definición 13.2.1 y contempla estas situaciones.
x
a
yb
Figura 13.12: Integral impropia con
comportamiento asintótico vertical
por derecha.
x
b
y
a
Figura 13.13: Integral impropia con
comportamiento asintótico vertical
por izquierda.
Definición 13.3.1 — Integrales impropias de funciones con comportamientos asintóticos ver-
ticales.
a) Si f (x) es continua en el intervalo (a, b] se define la integral impropia∫ b
a
f (x)dx = lı́m
A→a+
∫ b
A
f (x)dx (13.5)
Ver Figura 13.12.
b) Si f (x) es continua en el intervalo [a, b) se define la integral impropia∫ b
a
f (x)dx = lı́m
A→b−
∫ A
a
f (x)dx (13.6)
Ver Figura 13.13.
Estas integrales impropias se dicen convergentes cuando los límites 13.5 o 13.6
existen (da un número real). Caso contrario se dicen divergentes.
Teorema 13.3.1 Las integrales impropias de la forma∫ 1
0
1
xr
dx
son convergentes para los casos que r < 1 y divergentes para los casos r ≥ 1.
C La demostración es similar a la realizada para el Teorema 13.2.1. Debe calcularse la
función integral F(A) y luego calcular el límite para A→ 0+ considerando los casos
que r < 1, r > 1 y r = 1 (este caso corresponde al Ejemplo 13.3).
Actividad 13.2 Determinen cuáles de las siguientes integrales impropias son convergentes
o divergentes. En los casos que sean convergentes, calcular su valor.
a)
∫ 1
0
1
√
x
dx b)
∫ 0
−1
1
x3
dx c)
∫ e
0
ln(x)dx
d)
∫ 2
1
1
3√2 − x
dx
�
Las definiciones 13.2.1 y 13.3.1 son las primeras definiciones que permiten extender la
noción de integral definida e involucran las situaciones más sencillas. Podremos extender la
noción de integral impropia para casos más generales que contemplen situaciones “mixtas”
con dos o más casos del estilo 13.2.1 o 13.3.1 a la vez y que se considerarán también como
integrales impropias. Algunos de estos casos son los siguientes:
a)
∫ +∞
0
1
x2
dx b)
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx c)
∫ 1
−1
1
x
dx
13.3 Integrales impropias de funciones con discontinuidades asintóticas verticales. 7
x
y
Figura 13.14: Integral impropia∫ +∞
0
1
x2
dx.
x
y
Figura 13.15: Integral impropia∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx.
x
y
1
−1
Figura 13.16: Integral impropia∫ 1
−1
1
x
dx.
Caso a): Se trata de un intervalo infinito [0,+∞) pero además, la función f (x) = 1
x2
tiene
un comportamiento asintótico vertical en x = 0 por derecha. Para analizar la convergencia de
la integral impropia deberemos tomar algún valor cualquiera mayor que 0, por ejemplo c = 1,
y estudiar la convergencia de las integrales impropias separadas∫ 1
0
1
x2
dx y
∫ +∞
1
1
x2
dx
Si ambas integrales integrales son convergentes entonces la integral impropia completa también
lo es. Si alguna es divergente entonces la integral impropia completa también lo es. La primer
integral es divergente (Teorema 13.3.1); por lo tanto también es divergente la integral impropia∫ +∞
0
1
x2
dx
Caso b): La función g(x) = 11+x2 es continua en todo R (no tiene comportamientos
asintóticos verticales) pero se trata del intervalo infinito hacia ambos lados (−∞,+∞). Para
analizar la convergencia de la integral impropia deberemos tomar un valor cualquiera, por
ejemplo c = 0, y estudiar la convergencia de las integrales impropias separadas∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx y
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx
Si ambas integrales integrales son convergentes entonces la integral impropia completa también
lo es. Si alguna es divergente entonces la integral impropia completa también lo es. Estudiamos
la primera integral impropia calculando la función integral
F(A) =
∫ 0
A
1
1 + x2
dx = arctan(x)
����0
A
= arctan(0) − arctan(A) = − arctan(A)
y calculando el límite (recordar la gráfica de la función arctan(x))
lı́m
A→−∞
F(A) = lı́m
A→−∞
− arctan(A) = π2
por lo que la integral impropia es convergente. De manera similar se puede estudiar la segunda
integral impropia resultando también convergente. Podemos concluir que la integral impropia
completa es convergente y además su valor es la suma las integrales impropias separadas∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx =
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx +
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx =
π
2
+
π
2
= π
Caso c): Es un intervalo finito [−1, 1] pero la función h(x) = 1x tiene un comportamiento
asintótico vertical en x = 0 que se encuentra en el interior del intervalo. Para analizar la
convergencia de la integral impropia deberemos tomar x = 0 (la discontinuidad asintótica de
la función) y analizar la convergencia de las integrales impropias separadas∫ 0
−1
1
x
dx y
∫ 1
0
1
x
dx
En acuerdo a los Teoremas 13.2.1 y 13.3.1, ambas integrales impropias son divergentes. Por lo
tanto, la integral impropia completa también lo es.
Actividad 13.3 Determinen cuáles de las siguientes integrales impropias son convergentes
o divergentes. En los casos que sean convergentes, calcular su valor.
a)
∫ +∞
0
e
√
x
√
x
dx b)
∫ +∞
−∞
xe−x
2
dx c)
∫ 1
0
1
x ln(x)
dx
�
	13 Integrales Impropias
	13.1 Integrales impropias
	13.2 Integrales impropias de funciones continuas en intervalos infinitos.
	13.3 Integrales impropias de funciones con discontinuidades asintóticas verticales.