Guía n4 Matemática II Medio

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1) Operaciones con números reales 
 
a) Multiplicación y división: En general, para poder multiplicar y dividir números reales, en especial 
los irracionales, debemos utilizar las propiedades de los números, tales como: 
a. Propiedad Distributiva = 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 
b. Propiedades de las Potencias: 
 
i. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
ii. 𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 
iii. 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑚 
iv. 𝑎𝑚: 𝑏𝑚 = (
𝑎
𝑏
)
𝑚
 
v. (
𝑎
𝑏
)
𝑚
=
𝑎𝑚
𝑏𝑚
 
vi. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 
vii. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
viii. (
𝑎
𝑏
)
−𝑛
= (
𝑏
𝑎
)
𝑛
 
ix. 
1
𝑎𝑛
= 𝑎−𝑛 𝑜 
1
𝑎−𝑛
= 𝑎𝑛 
x. 𝑎0 = 1 
 
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c. Productos Notables: por ejemplo. 
 
d. Propiedad de las Raíces: 
Antes de poder continuar, debemos conocer las propiedades de las raíces y algunas reglas 
específicas. 
√𝑎
𝑛
 
n: índice de la raíz 
a: subradical 
 
 Propiedad Descripción Ejemplo 
i. Raíz enésima 
√𝒂
𝒏
= 𝒙 ⟺ 𝒙𝒏 = 𝒂, 𝒏 ≠ 𝟎. 
 
Si x elevado a n es igual a la cantidad 
subradical (a), decimos que x es la raíz 
enésima de a. 
 
√𝟑𝟐
𝟓
= 𝟐 ⟺ 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐 
 
Entonces, 2 es la raíz quinta 
de 32, porque 2 elevado a 5 
es 32. 
ii. 
Raíz como 
Potencia 
Toda raíz enésima puede ser escrita como 
una potencia de exponente Fraccionario. 
√𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂
𝒎
𝒏 
 
√𝟑𝟐
𝟒
= 𝟑
𝟐
𝟒 
iii. 
Multiplicación 
de Raíces de 
igual índice. 
 
√𝒂
𝒏
∙ √𝒃
𝒏
= √𝒂𝒃
𝒏
 √𝟐 ∙ √𝟑 = √𝟔 
iv. 
División de 
Raíces de igual 
índice. 
 
√𝒂 ∶ √𝒃 = √
𝒂
𝒃
 
 
√𝟏𝟐 ∶ √𝟑 = 
 
 √
𝟏𝟐
𝟑
= √𝟒 = 𝟐 
v. Raíz de una Raíz √ √𝒂
𝒏𝒎
= √𝒂
𝒎 ∙ 𝒏
 √ √𝟐𝟏𝟔
𝟑𝟐
= √𝟐𝟏𝟔
𝟔
 
vi. Amplificación 
√𝒂𝒎
 𝒏
= √𝒂𝒎𝒛
𝒏𝒛
 
Si a una raíz se amplifica su índice y el 
exponente del subradical por un mismo 
número, las expresiones son equivalentes 
√𝒂𝟐
 𝟑
= √𝒂𝟒
𝟔
 
 Amplificado por 2. 
vii. 
Multiplicación 
de raíces de 
distinto índice y 
subradical 
√𝒂
𝒏
∙ √𝒃
𝒎
= √𝒂𝒎 
𝒏∙𝒎
∙ √𝒃𝒏
𝒏𝒎
 
Para poder igualar los índices, se amplifica 
cada raíz por el índice de la otra raíz, con lo 
cual se igualan los índices. 
√𝟐
𝟑
∙ √𝟓
𝟒
= √𝟐𝟒 
𝟏𝟐
∙ √𝟓𝟑
𝟏𝟐
 
√𝟐𝟒 ∙ 𝟓𝟑 
𝟏𝟐
 
viii. 
Composición de 
raíces 
𝒂 √𝒃𝒎
 𝒏
= √𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒎
𝒏
 
Se eleva al índice el número que multiplica a 
la raíz, luego se ingresa como una cantidad 
subradical que multiplica a lo que había. 
𝟑 √𝟐
 𝟑
= √𝟑𝟑 ∙ 𝟐
𝟑
 
= √𝟐𝟕 ∙ 𝟐
𝟑
 
= √𝟓𝟒
𝟑
 
 
e. Ejercicios: 
 
i. √2 ∙ √3 ii. √3 ∙ √12 
iii. √3𝑎 ∙ √2𝑎 ∙ √6 iv. √3𝑥
3
∙ √2𝑥
3
 ∙ √16𝑥2
3
 
v. √2𝑝3
4
∙ √5𝑝7
4
 ∙ √7𝑝2
4
 vi. 
vii. viii. 
ix. x. 
xi. xii. 
xiii. xiv. 
xv. xvi. 
xvii. xviii. 
xix. xx. 
xxi. xxii. 
xxiii. 
xxiv. 
 
2) Material de Apoyo. 
https://youtu.be/MGQD-7zyRoM 
https://youtu.be/DL3ITENNgOY 
https://youtu.be/NuXTtcGzgMM 
https://youtu.be/MaE6zwrKlxA 
https://youtu.be/T8xpiGDkgoE 
https://youtu.be/awfaWBAAq8s 
https://youtu.be/gqaPdYXa9O8 
https://youtu.be/desONj_65CY 
https://youtu.be/OsE2KqMz1ng 
https://youtu.be/Mk81I9L8awg 
https://youtu.be/qdjl4EhD2SA 
https://youtu.be/BgFWUQ33EG4 
https://youtu.be/XLkvJjeo9Gg 
https://youtu.be/kUF5hTw0Vy8 
 
https://youtu.be/MGQD-7zyRoM
https://youtu.be/DL3ITENNgOY
https://youtu.be/NuXTtcGzgMM
https://youtu.be/MaE6zwrKlxA
https://youtu.be/T8xpiGDkgoE
https://youtu.be/awfaWBAAq8s
https://youtu.be/gqaPdYXa9O8
https://youtu.be/desONj_65CY
https://youtu.be/OsE2KqMz1ng
https://youtu.be/Mk81I9L8awg
https://youtu.be/qdjl4EhD2SA
https://youtu.be/BgFWUQ33EG4
https://youtu.be/XLkvJjeo9Gg
https://youtu.be/kUF5hTw0Vy8