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Radicación
En matemáticas, la radicación es el proceso de hallar raíces de orden n de
un número a.1 .
 
De modo que se verifica que , donde n es llamado índice u orden, a
es llamado radicando, y x es una raíz enésima.2 3 
La raíz de orden dos de , se llama raíz cuadrada de y se
escribe como o también 
La raíz de orden tres de , se llama raíz cúbica de y se
escribe como 
Las raíces de órdenes superiores se nombran usando números
ordinales, por ejemplo raíz cuarta o raíz séptima.
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
Definición y notación
Fundamentos matemáticos
Relación con la potenciación
Singularidad de las raíces de números positivos
Raíces de números negativos
Propiedades
Raíz de un producto
Raíz de un cociente
Raíz de una raíz
Potencia de una raíz
Otras propiedades
Formas simplificadas
Suma y resta de radicales
Racionalización
Cálculo de la raíz enésima
Mediante funciones
Algoritmo de la raíz enésima
Series infinitas
Números complejos
Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
En un sistema de coordenadas
cartesianas se han representado las
curvas de algunas raíces, así como de
sus potencias, en el intervalo [0,1]. La
diagonal, de ecuación y = x, es eje de
simetría entre cada curva y la curva de su
inversa.
Índice
Definición y notación
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_c%C3%BAbica
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Nombres_de_los_n%C3%BAmeros_en_espa%C3%B1ol#N%C3%BAmeros_ordinales
https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:RootAndPowerFunctions.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Curva
https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_unitario
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_identidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Eje_de_simetr%C3%ADa
Se define la raíz enésima de un número a, donde n es un número entero positivo, a cualquiera de las n soluciones reales o
complejas de la ecuación
de incógnita x y se denota como . De esta manera se tiene la equivalencia:4 
.
La raíz cuadrada (n=2), por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: en vez de . Para el caso n=1 el símbolo de
raíz ni siquiera se escribe, puesto que .
Dentro de los números reales positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es
negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar.4 La raíz enésima de un número negativo no es un
número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.
Dentro de los números complejos, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.
La radicación de orden n y la potenciación del mismo orden se anulan entre sí. Tomando la definición general de raíz para reales
positivos a y para naturales n se tiene que:
La raíz de cierto orden n de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa . De acuerdo con las reglas
de potenciación,
de manera que la radicación de orden n puede ser interpretado en realidad como otra forma de expresar una potenciación de
exponente .
Aunque el problema mencionado antes de hallar las raíces de números positivos tiene realmente dos soluciones con distinto signo
cuando el índice n es par, el símbolo aplicado al radicando denota una función y por tanto tiene que devolver un único valor
que en principio es para la solución positiva. Por ejemplo, la ecuación tiene las soluciones +2 y -2 pero a se le asigna
el valor 2 y no -2. De manera general, para índices de raíz par se cumple que
Fundamentos matemáticos
Relación con la potenciación
Singularidad de las raíces de números positivos
Raíces de números negativos
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejos
https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
El tratamiento de raíces de números negativos no es uniforme. Por ejemplo, de
se tiene que -2 es el único número real cuyo cubo da -8. En general, las potencias de exponente natural impar de números
negativos dan de nuevo números negativos.
Con respecto a las raíces impares de números negativos, se sigue la pauta de no representar el signo negativo dentro del
radicando, pudiendo ser considerado indefinido o no permitido. Tomando este criterio, la solución a la ecuación
debe representarse como y no como . Escrito de esta manera, las raíces de números negativos se permiten si el índice
de la raíz es un número impar (3, 5, 7, ...), siendo
Representar las raíces de esta manera evita ciertas incompatibilidades y contradicciones con algunas propiedades de las raíces que
son válidas para radicandos positivos. Una muestra de ello puede ser,
La representación considerada indefinida tampoco funciona con la fórmula
dado que el logaritmo de un número negativo no está definido (a no puede ser negativo).
Las raíces de índice par de números negativos no pueden ser números reales, puesto que las potencias de exponente par de estos
números nunca son negativas. No existe un número real x, tal que , por lo que no se puede hallar dentro de
los números reales. La necesidad de raíces de números negativos permitió la introducción de los números complejos. Sin
embargo, en el dominio de los números complejos las raíces de números negativos también tienen ciertas restricciones.
Por lo descrito antes, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se
cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores
nombrados anteriormente.
Ejemplo:
Propiedades
Raíz de un producto
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n#Propiedades_de_la_potenciaci%C3%B3n
 = = 
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador
entre la raíz del denominador.
 = 
Ejemplo:
 = 
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y
se conserva el radicando.
 = 
Ejemplo
Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa
potencias .
Ejemplo: si m = 3 y n = 4:
Raíz de un cociente
Raíz de una raíz
Potencia de una raíz
Utilizando las propiedades fundamentales, se pueden obtener otras propiedades, como por ejemplo, el cálculo de la raíz de un
producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el
radicando elevado a la suma de los índices.
.
Una expresión radical no anidada se dice que está en forma simplificada si5 
1. No tiene factores en el radicando que puedan escribirse como potencias mayores o iguales que el índice.
2. No hay fracciones bajo el signo radical
3. No hay radicales en el denominador.
Por ejemplo, para escribir la expresión radical en forma simplificada, se procede como sigue. Primero, se buscan cuadrados
perfectos bajo el signo de la raíz cuadrada y se eliminan:
Después, hay una fracción bajo el signo radical, la cual se cambiara como:
Finalmente, se elimina el radical del denominador como sigue:
Radicales semejantes son aquellos radicales que después de simplificados tienen el mismo índice y el mismo radicando. Para
sumar y restar radicales semejantes se saca factor común el radical semejante de todos los términos. En el caso en que no sean
semejantes, no se pueden sumar ni restar, por ejemplo:
Racionalizar una expresión consiste en eliminar los radicales del denominador, transformando la expresión en otra equivalente.2 
El caso más sencillo es cuando se tiene solo una raíz enésima en el denominador, de forma que se simplifica el denominador
multiplicando el numerador y el denominadorpor .
Otras propiedades
Formas simplificadas
Suma y resta de radicales
Racionalización
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_(desambiguaci%C3%B3n)#Matem.C3.A1ticas
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Factor_com%C3%BAn&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Racionalizaci%C3%B3n_de_radicales
Cuando hay un denominador que contiene radicales, siempre es posible encontrar un factor para multiplicar el numerador y el
denominador y así simplificar la expresión.6 7 Por ejemplo, usando la factorización de la suma de dos cubos:
El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:
donde x tiene que ser un número real positivo.
La raíz enésima de un número A puede ser calculada mediante el algoritmo de la raíz enésima, un caso especial del método de
Newton. Comienza con un supuesto valor inicial x0 y luego se itera usando la relación de recurrencia
hasta que se alcance la precisión deseada.
Dependiendo de la aplicación, puede ser suficiente con usar únicamente la primera aproximación del método de Newton:
Por ejemplo, para encontrar la raíz quinta de 34, nótese que 25 = 32 por lo tanto x = 2, n = 5 e y = 2 en la fórmula anterior. Esto
proporciona
El error en la aproximación es de solo del 0.03%.
El método de Newton se puede modificar para producir una fracción continua generalizada para la raíz enésima que puede ser
representada de diversas maneras, entre las que están:
Cálculo de la raíz enésima
Mediante funciones
Algoritmo de la raíz enésima
https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n#Suma_o_diferencia_de_cubos
https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Algoritmo_de_la_ra%C3%ADz_en%C3%A9sima&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continua_generalizada
La raíz enésima puede representarse mediante la serie infinita:
siendo
con el valor inicial por ser un producto vacío. Esta serie converge para y su expresión se deriva de la serie
binomial.
Si z es un número complejo, entonces admite una representación mediante módulo y argumento (forma polar) de la forma:
, donde 
De esta manera, en forma polar, las raíces n-ésimas de z, necesarias para la ecuación , pueden ser calculadas por medio de
la fórmula:
Por tanto, un número complejo tiene n raíces enésimas distintas. En el plano complejo están dispuestas en los vértices de un
polígono regular de n lados con centro en el origen del plano complejo. La raíz cúbica y la distancia del centro de dicho polígono
a sus vértices es 
Ejemplo
Series infinitas
Números complejos
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_infinita
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vac%C3%ADo
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Serie_binomial&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Valor_absoluto_de_un_n%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Argumento_(an%C3%A1lisis_complejo)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Representaci%C3%B3n_polar
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular
Raíz cuadrada
Raíz cúbica
Raíz de la unidad
Función exponencial
Radical jerarquizado
Racionalización de radicales
Función
elemental
Función
algebraica
Función
potencial
Función polinómica
Función racional
Radicación
Función trascendente
Función trigonométrica
Función exponencial
Logaritmo
 
1. Diccionarios Rioduero Matemática, versión y adaptación de Walter Ströbt Editorial La Católica S. A. Madrid
(1977)
2. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez,
Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada.
p. 19. ISBN 9788421659854.
3. Taylor- Wade. Matemáticas básicas con vectores y matrices Editorial Limusa- Wiley, S.A. México
4. Haaser-La Salle-Sullivan, Análisis matemático 1. Curso de introducción, Editorial Trillas ,México D. F. (1980),pg.
29
5. McKeague, Charles P. (2011). Elementary algebra (https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&printsec=f
rontcover&dq=editions:q0hGn6PkOxsC&hl=sv&ei=52CsTqv9Go7sOZ_tldAP&sa=X&oi=book_result&ct=result&re
snum=2&ved=0CDEQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false). p. 470.
6. B.F. Caviness, R.J. Fateman, "Simplification of Radical Expressions", Proceedings of the 1976 ACM Symposium
on Symbolic and Algebraic Computation, p. 329 full text (http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.p
df)
7. Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", Journal of Symbolic Computation 1:189-210
(1985) doi 10.1016/S0747-7171(85)80014-6 (https://dx.doi.org/10.1016/S0747-7171(85)80014-6)
Andoni Blanco, Suárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Caracas:
Editorial Santillana.
Véase también
Referencias
Bibliografía
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_c%C3%BAbica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_la_unidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Radical_jerarquizado
https://es.wikipedia.org/wiki/Racionalizaci%C3%B3n_de_radicales
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_elemental
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_algebraica
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_potencial&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788421659854
https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&printsec=frontcover&dq=editions:q0hGn6PkOxsC&hl=sv&ei=52CsTqv9Go7sOZ_tldAP&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDEQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false
http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Digital_object_identifier
https://dx.doi.org/10.1016/S0747-7171(85)80014-6
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i%C3%B3n) de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons
Compartir-Igual 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es).
Weisstein, Eric W. «nth Root» (http://mathworld.wolfram.com/nthRoot.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld
(en inglés). Wolfram Research.
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