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III Convención Científica Internacional de Ciencia, Tecnología y Sociedad UCLV 2021 
Convención 2021 
CULTIVARES DE FRIJOL COMÚN CUBANA 23 Y ODILE: PROPIEDADES FÍSICAS Y 
COMPORTAMIENTO HIGROSCÓPICO DE LAS SEMILLAS 
 
 
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COMPORTAMIENTO HIGROSCÓPICO DE LAS SEMILLAS 
SIMPOSIO INTERNACIONAL SOBRE DESARROLLO 
AGROPECUARIO SOSTENIBLE 
 
Cultivares de frijol común CubaNa 23 y Odile: Propiedades físicas y 
comportamiento higroscópico de las semillas 
Common bean cultivars CubaNa 23 and Odile: Seeds physical properties 
and hygroscopic behavior 
Jesús Eleuterio Hernández Ruiz1, José Daniel Gutiérrez Pérez2, Víctor Daniel Gil 
Díaz3, Williams Morales González4 
1- Dpto. de Física, Facultad de Matemática, Física y Computación, Universidad Central 
“Marta Abreu” de Las Villas. Cuba. E-mail: jesusehr@uclv.edu.cu 
2- Dpto. de Física, Facultad de Matemática, Física y Computación, Universidad Central 
“Marta Abreu” de Las Villas. Cuba. E-mail: jgutierrez@uclv.cu 
3- Centro de Investigaciones Agropecuarias, Facultad de Ciencias Agropecuarias, 
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Cuba. E-mail: 
victorgil@uclv.edu.cu 
4- Dpto. de Física, Facultad de Matemática, Física y Computación, Universidad Central 
“Marta Abreu” de Las Villas. Cuba. E-mail: wmgonzalez@uclv.cu 
Resumen: La absorción de humedad por las semillas de leguminosas durante su 
almacenamiento impacta negativamente en su calidad. El estudio del comportamiento 
higroscópico de éstas en condiciones similares a las de conservación es un problema de 
interés científico y tecnológico. Este artículo describe la cinética de absorción de 
humedad en semillas de frijol común de los cultivares CubaNa 23 y Odile. Se midieron 
las propiedades físicas: esfericidad, contenido inicial de humedad, densidad real y 
aparente, y porosidad de muestras de semillas de ambos cultivares. Se encontró que en su 
estado inicial, las del cultivar Odile poseen valores de estas propiedades ligeramente 
superiores que las del CubaNa 23. 
Los estudios de la cinética de absorción de humedad en estas semillas se efectuaron en 
atmósfera controlada con humedad relativa y temperatura de 85 % y 17 °C 
respectivamente. Los parámetros cinéticos del proceso de humectación de las semillas 
fueron estimados mediante ajuste de los modelos de Peleg, sigmoidal y difusivo a los 
mailto:jesusehr@uclv.edu.cu
mailto:jgutierrez@uclv.cu
mailto:victorgil@uclv.edu.cu
mailto:wmgonzalez@uclv.cu
 
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datos de fracción de humedad absorbida en función del tiempo. Se determinó que la 
cinética de absorción de humedad en semillas de ambos cultivares, se aparta ligeramente 
de los procesos puramente difusivos, mostrando un comportamiento sigmoidal típico de 
los procesos de hidratación de semillas de algunas leguminosas. Además, las semillas del 
cultivar CubaNa 23 presentan un contenido de húmeda en base seca de equilibrio superior 
a las del Odile. De los modelos ajustados, el sigmoidal es el que mejor describe el 
comportamiento de la cinética de absorción de humedad por semillas de ambos cultivares. 
Abstract: The moisture absorption by leguminous seeds during its storage hits negatively 
on their quality. The study of the seeds hygroscopic behavior under similar conditions to 
those of conservation is a problem of both scientific and technological interest. This paper 
aims to describe the moisture absorption kinetics in seeds of the common bean cultivars 
CubaNa 23 and Odile. The physical properties were measured: sphericity, initial 
moisture content, real and apparent densities, and porosity of both cultivars seeds 
samples. It was found that in their initial state, the cultivar Odile seeds possess values of 
these properties slightly higher than those of the CubaNa 23. 
The studies of the moisture absorption kinetics in these seeds were carried out in a 
controlled atmosphere with relative humidity and temperature of 85 % and 17 °C 
respectively. The kinetic parameters of the seeds wetting process were estimated by fitting 
the Peleg, sigmoidal and diffusive models to the data of moisture absorbed ratio vs. time. 
It was determined that the kinetics of moisture absorption in seeds of both cultivars is 
shifted slightly from the purely diffusive processes, showing a typical sigmoidal behavior 
of the hydration processes in seeds of some leguminous. In addition, the seeds of cultivar 
CubaNa 23 show an equilibrium moisture content in dray base that is higher than those 
of Odile. Of the fitted models, the one that best describes the behavior of the moisture 
absorption kinetics by seeds of both cultivars is the sigmoidal model. 
Palabras Claves: Leguminosas, absorción de humedad, difusión de humedad, modelo de 
Peleg, modelo sigmoidal. 
Keywords: Leguminous, Moisture absorption, Moisture diffusion, Peleg’s model, 
Sigmoidal model. 
 
 
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1. Introducción 
El frijol común (Phaseolus vulgaris L) es la leguminosa más ampliamente cultivada y la 
de mayor consumo a nivel mundial. Aporta a la nutrición humana proteínas, 
carbohidratos, fibra dietética, vitaminas y minerales (Broughton et al., 2003; Shafaei, 
Masoumi, & Roshan, 2016; OECD, 2016). Además, esta leguminosa está considerada 
como una fuente alimenticia de alta funcionabilidad, pues contiene elementos bioactivos 
que ayudan en el tratamiento, prevención y regulación de una amplia gama de enfermeda-
des crónico-degenerativas, coronarias y el cáncer entre otras (Morris, 2003; Nyau, 2014; 
Suárez-Martínez et al., 2016; Mba, Kwofie & Ngadi, 2019). Asimismo, se emplea como 
materia prima en la elaboración de alimentos con alto valor nutracéutico y nutricional 
(Nyau, 2014; Barman, 2018). 
En Cuba, el frijol común junto al arroz, constituye la dieta básica de la inmensa mayoría 
de los cubanos. Este aporta los aminoácidos que faltan en el arroz y en otros cereales 
(Mba, Kwofie & Ngadi, 2019). Esto, junto alto contenido de proteínas vegetales en sus 
semillas lo sitúan como un cultivo estratégico para el país, ya que permite paliar el déficit 
de proteínas en la dieta alimentaria del cubano, lo cual constituye hoy día uno de los 
principales problemas de los países subdesarrollados (Chailloux et al., 1996; ONUDI, 
2017). 
La preferencia en el consumo y producción nacional de cultivares de frijol común ocurre 
en el siguiente orden de mérito, acorde al color de las semillas: negro, rojo, bayo, crema 
y blanco (Chailloux et al., 1996; Pacheco et al., 2016; Martínez, Gil & Colás, 2019). 
Según estas mismas preferencias, las proporciones de producción en el país en relación 
con los colores de las semillas, según reporta Pacheco y colaboradores (Pacheco et al., 
2016) son: negros (60 a 70 %), rojos y bayos (20 a 30 %) y cremas y blancos (5 a 10 %). 
Para cumplir con sus funciones, bien sea para el consumo directo como parte de la dieta 
humana, como materia prima en la industria de alimentoso para garantizar su capacidad 
de germinación, las semillas de frijol, como otros granos y semillas, requieren ser 
almacenadas y conservadas apropiadamente por tiempos más o menos prolongados. En 
la conservación de los granos y semillas durante su almacenamiento inciden múltiples 
factores (Mrema et al., 2011; Feitó et al., 2015; Pekmez, 2016, De Almeida et al., 2017; 
 
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Kugbei, 2018). Debido a su estrecha relación con los agentes biológicos, son la humedad 
y temperatura los factores físicos de mayor influencia en la conservación y el 
mantenimiento de su calidad (Chen et al., 2015; Kugbei, 2018). Esto adquiere una 
connotación especial en regiones tropicales y húmedas como Cuba, con predominio 
durante casi todo el año de altas temperaturas y humedad relativa media anual histórica 
en el entorno del 80 % (ONEI, 2019). 
Agua y matera seca son los constituyentes básicos de los granos y semillas, y se 
encuentran formando estas estructuras en proporciones muy variadas. El agua está 
presente en diferentes formas, a saber: como agua de composición y de imbibición, la que 
está fuertemente ligada a la estructura del grano o semilla, y como agua absorbida o agua 
"libre", débilmente ligada. La presencia o ausencia del agua libre, es la que determina de 
forma decisiva la capacidad de almacenamiento de los granos y semillas (Cruz & Diop, 
1990; Kugbei, 2018). 
Los granos y las semillas son materiales higroscópicos, es decir, son capaces de 
intercambiar agua en forma de vapor con el ambiente en que se encuentran 
(Muthokumarappan & Gunasekaran, 2008; Kugbei, 2018). Como se explicó antes, estas 
estructuras contienen agua y, por otro lado, se sabe que el aire ambiental contiene vapor 
de agua. Dependiendo de las condiciones en que se encuentren los granos y el aire del 
ambiente, se establece un intercambio de humedad entre éstos. Así, si los granos y 
semillas “secos” son expuestos en un ambiente húmedo, estos se recubren 
instantáneamente de humedad y posteriormente absorberán agua e incrementarán su 
contenido de humedad, mientras que cuando los granos húmedos son puestos en contacto 
con un aire seco liberarán humedad hacia el aire y se secarán. Tales cambios progresan 
gradualmente hacia el equilibrio, es decir, hasta alcanzar el equilibrio higroscópico o el 
contenido de humedad de equilibrio (Bustos-Vanegas, 2018; Kugbei, 2018; Tejada-
Ortigoza et al., 2020; Lana Drumond, 2020). 
La cinética de la absorción de agua por granos y semillas ha sido descrita empleando 
modelos teóricos y empíricos (Igathinathane et al., 2009; Miano & Augusto, 2018). Entre 
los modelos teóricos destacan expresiones analíticas derivadas del análisis del balance 
general de transferencia de masa (Nicolin et al., 2015B; Mercier et al., 2015; Nicolin et 
 
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al., 2017; Pramiu et al., 2017) o soluciones analíticas o numéricas derivadas de la segunda 
ley de la difusión de Fick (Hsu, 1983; Bello et al., 2010; Demirhan & Özbek, 2015; 
Nicolin et al., 2015). Sin embargo, el empleo de estos modelos ha sido relativamente 
limitado, sobre todo de aquellos basados en las leyes de la difusión, debido a que son 
considerados complejos e involucran varias funciones y parámetros, por lo que muchos 
investigadores no los consideran apropiados para cálculos prácticos (Igathinathane et al., 
2009). Esto se hace más crítico en los casos de coeficiente de difusión variable, como por 
ejemplo cuando existe dependencia del coeficiente de difusión con la concentración o 
cuando se tienen condiciones de fronteras variables, en cuyo caso, la solución de la 
ecuación de difusión requiere del empleo de métodos numéricos (Crank, 1975; Hsu, 1983; 
Bello et al., 2010; Nicolin et al., 2013; Nicolin et al., 2015A, Guillerme & Nicolin, 2020), 
con cálculos extensos y a veces muy engorrosos. Sin embargo, con el desarrollo 
computacional que se ha alcanzado en los últimos tiempos, que facilita considerablemente 
estos cálculos, se ha producido un auge en el desarrollo y empleo de estos métodos. En 
este contexto, además de las investigaciones de Hsu (1983), Nicolin y colaboradores 
(2013, 2015, 2015A), Guillerme & Nicolin (2020) antes citados y otros, Ford Versypt y 
Braatz (2014) han resuelto el problema de difusión con coeficiente variable en geometría 
esférica utilizando esquemas de discretización en diferencias finitas. Además, las 
soluciones analíticas generalmente en términos de series trigonométricas de Fourier 
pueden ser desarrolladas y/o acotadas apropiadamente para estimar el coeficiente de 
difusión de agua en los granos y semillas (Mercier et al., 2015; Montanuci et al., 2015; 
Xingjun & Ping, 2016; Kumar et al., 2018; Sharanagat, Kansal & Kumar, 2018; Bidkhori 
& Mohammadpour Karizaki, 2021). Procedimientos similares han sido empleados por 
Hernández-Ruiz y colaboradores (Hernández-Ruiz et al., 2002; Hernández-Ruiz, 
Quintana-Puchol, & Pino-Rivero, 2016) quienes han estimado los coeficientes efectivos 
de difusión de humedad en diferentes materiales empleando técnicas de ajustes no lineales 
de los modelos difusivos, obtenidos a partir de las soluciones analíticas de la ecuación de 
difusión de Fick, a datos experimentales clásicamente obtenidos mediante técnicas 
gravimétricas de absorción de humedad. 
 
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Al mismo tiempo, han sido empleados frecuentemente más de una decena de modelos 
empíricos (Miano & Augusto, 2018) debido a que los modelos que tienen como base la 
trasferencia de masa y las leyes de Fick requieren del entendimiento de los fenómenos 
físicos involucrados en el problema, en tanto los modelos empíricos obvian este particular 
(Morales-González, Hernández-Ruiz & Chinea-Martínez, 2019). Entre los modelos 
empíricos destacan el modelo propuesto por Peleg (1988) y sus modificaciones (Paquet-
Durand et al., 2015), así como modelos que reproducen el comportamiento en forma 
sigmoidea del proceso de hidratación de semillas de algunas leguminosas, entre las que 
se pueden encontrar diferentes cultivares de frijol común (Kaptso et al., 2008; Ibarz & 
Augusto, 2015; Miano & Augusto, 2018). 
En la búsqueda realizada y correspondiente revisión de la literatura, se ha podido 
constatar que existe una gran cantidad de estudios e investigaciones sobre la hidratación 
de los granos y semillas. Sin embargo, sobre el proceso de absorción de humedad 
ambiental el número de trabajos existentes es significativamente menor (Miano & 
Augusto, 2018). Al mismo tiempo, es notorio que en el caso de Cuba no se hayan 
encontrado reportes de uno u otro tipo de estudios, ni tampoco sobre la caracterización de 
las propiedades físicas de estasestructuras. Además, como se ha explicado antes, el 
estudio de la cinética de absorción de humedad por las semillas y granos puede resultar 
de interés en las condiciones climáticas de Cuba, sobre todo durante almacenamientos 
prolongados. 
El objetivo de este trabajo fue evaluar las propiedades físicas de semillas de los cultivares 
de frijol común CubaNa 23 y Odile, desarrolladas y cultivadas en Cuba, y empleando los 
modelos difusivo, de Peleg y sigmoidal, describir la cinética de absorción de humedad 
por estas semillas. 
2. Materiales y métodos 
2.1 Selección de las muestras a estudiar 
Se seleccionaron semillas de frijol común de los cultivares CubaNa 23 y Odile (MINAG, 
2019), cosechadas en marzo de 2019 en la Cooperativa de Producción Agropecuaria 
“Sabino Pupo” del municipio Cifuentes en la provincia Villa Clara, Cuba. Estas semillas, 
 
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después de cosechadas, se secaron al sol hasta contenidos de humedad en el entorno del 
13 % y posteriormente, encontrandose ya a temperatura ambiente, se almacenaron en 
frascos herméticamente sellados a temperatura de (4 ± 2) °C. 
En la figura 1 aparecen las fotografias de muestras de semillas de ambos cultivares. El 
CubaNa 23, de acuerdo con los estándares de clasificación del Centro Internacional de 
Agricultura Tropical (CIAT) (Voysest, 2000), clasifica como un frijol de color negro, en 
forma de ovoide, de tamaño mediano, mientras que el Odile es un frijol rojo, de 
características morfológicas similares. 
 
Figura 1. Fotografías de muestras de semillas de los cultivares CubaNa 23 y Odile. 
 Fuente: Elaboración propia. 
Las muestras se beneficiaron manualmente, retirándosele las semillas dañadas, restos de 
la cosecha y suciedad presentes. Para garantizar la homogeneidad y uniformidad de las 
muestras se seleccionaron semillas de forma y dimensiones similares. 
De las semillas previamente beneficiadas de cada uno de cultivares, se emplearon 280 
g para la determinación del contenido inicial de humedad y de la densidad aparente de 
las semillas, de las cuales se seleccionaron al azar 100 semillas de cada uno de los 
cultivares para la determinación de las dimensiones lineales y la esfericidad de las 
semillas. Asimismo, de ambos cultivares fueron seleccionados diez grupos de siete 
semillas cada uno para la determinación de la densidad real de las semillas. En todos los 
casos, después de ser beneficias y seleccionadas las muestras se envasaron en frascos 
herméticamente sellados, los que fueron colocados en lugares frescos y a temperatura 
ambiente hasta la realización de los ensayos correspondientes. También se escogieron 
cinco grupos de 60 semillas cada uno para los ensayos de absorción de humedad. Estos 
cinco grupos se conservaron en una desecadora ubicada en un lugar seco y a temperatura 
ambiente, hasta el momento en que fueron extraídos para ser sometidos al ensayo de 
absorción de humedad. 
 
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2.2. Determinación de las propiedades físicas de las semillas 
2.2.1. Esfericidad 
La esfericidad (∅) de las semillas de cada uno de los cultivares se determinó a partir de 
las dimensiones lineales de los grupos de 100 semillas seleccionadas al azar, empleando 
la siguiente expresión (Kaptso et al., 2008 Demirhan & Özbek, 2015; Kumar et al., 2018; 
Kumar et al., 2021): 
∅ =
(𝐿𝑊𝑇)1/3
𝐿
 × 100 % , (1) 
 
Figura 2. Dimensiones lineales de una semilla de frijol común. 
Fuente: Imagen adaptada de http://www.agritech.tnau.ac.in/seed/ 
donde 𝐿 es la longitud media, 𝑊 el ancho medio y 𝑇 el grosor medio de las semillas (ver 
figura 2). Las dimensiones lineales 𝐿, 𝑊 y 𝑇 se midieron empleando un tornillo 
micrométrico High Quality New Fuji de fabricación China con exactitud 0,02 mm. 
Conocidas las dimensiones lineales de las semillas se calculó el diámetro geométrico 
medio mediante la expresión (Kaptso et al., 2008; Demirhan & Özbek, 2015; Sharanagat, 
Kansal & Kumar, 2018; Oyedeji et al., 2021; Kumar et al., 2021): 
𝐷𝑔 = (𝐿𝑊𝑇)
1/3. (2) 
El área superficial 𝑆 y el volumen geométrico de las semillas 𝑉𝑔 se calcularon asumiendo 
que las semillas son esferas perfectas de diámetro geométrico medio 𝐷𝑔, de manera 
similar a cómo lo hacen otros autores (Demirhan & Özbek, 2015; Sharanagat, Kansal & 
Kumar, 2018; Oyedeji et al., 2021; Kumar et al., 2021). Sin embargo, en el caso del 
cálculo del volumen geométrico de las semillas 𝑉𝑔, también es usual el empleo otra 
http://www.agritech.tnau.ac.in/seed/
 
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fórmula, en la que para su planteamiento virtualmente se ha tenido en cuenta que la 
semilla de frijol común es un ovoide (Kaptso et al., 2008; Oyedeji et al., 2021). Aunque 
más cercana a la realidad, esta última fórmula no se emplea en este estudio debido, por 
una parte a que la diferencia que se obtiene con los cálculos del volumen por una y otra 
vía no son significativos y de otra a que en estos estudios se está asumiendo el modelo de 
semillas de geometría esférica al aplicar el modelo difusivo para describir la cinética del 
proceso de absorción de humedad. 
2.2.2. Contenido inicial de humedad 
El contenido de humedad en base húmeda (𝑀𝐶𝑤𝑏) de los granos y semillas, y de los 
alimentos en general, se define como la relación entre la masa de agua absorbida 
contenida en una muestra y la masa total de la muestra (Cruz & Diop, 1990), esto es: 
𝑀𝐶𝑤𝑏 =
𝑀𝑤 − 𝑀𝑑
𝑀𝑤
 × 100 % , (3) 
donde 𝑀𝑤 es la masa de la muestra húmeda y 𝑀𝑑 es la masa de la muestra seca. 
El contenido de humedad en base húmeda usualmente se mide por el método de la estufa. 
En este método una muestra de masa conocida (𝑀𝑤) se sitúa en una estufa ventilada con 
aire a una temperatura ligeramente mayor de 100 °C durante un tiempo determinado, al 
cabo del cual se mide la masa de agua perdida por la muestra (𝑀𝑤 − 𝑀𝑑). Finalmente, 
empleando la ecuación (3) se determina el contenido de humedad. 
Al mismo tiempo se define el contenido de humedad en base seca en un instante de 
tiempo (𝑀𝐶𝑑𝑏(𝑡)), frecuentemente usado, el que se expresa como la relación entre la 
masa de agua absorbida por una muestra en un instante de tiempo determinado y la masa 
de la muestra seca (Ghellam & Koca, 2020; Kumar et al., 2021), o sea: 
𝑀𝐶𝑑𝑏(𝑡) =
𝑀𝑤(𝑡) − 𝑀𝑑
𝑀𝑑
 × 100 % , (4) 
donde 𝑀𝑑 y 𝑀𝑤(𝑡) son la masa de la muestra seca y la masa de la muestra en un instante 
de tiempo t respectivamente. 
Nótese que ambos contenidos de humedad (ecuaciones (3) y (4)) son magnitudes 
adimensionales o de dimensión uno y se expresan en tanto por ciento, bien sea en 
porciento de base húmeda (% w.b.) o de base seca (% d.b.) segúnsea el caso. Véase 
 
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además que el contenido de humedad en base húmeda está en el rango de 0 a 100 %, 
mientras que el contenido de humedad en base seca su valor puede ser alto e incluso 
superior a 100 %. 
El contenido de humedad en base seca otros autores (Valencia-Morales et al., 2001; 
Hernández-Ruiz et al., 2002; Hernández-Ruiz, Quintana-Puchol & Pino-Rivero, 2016) lo 
han empleado para describir la cinética del proceso de absorción de humedad por 
materiales empleados en tecnologías de fundición, de soldadura y otros, pero lo han 
nombrado incremento porcentual en masa húmeda (𝐶̅(𝑡)). Estos mismos autores han 
definido el incremento porcentual en masa húmeda de equilibrio (𝐶∞̅), el cual 
teóricamente se logra cuando 𝑡 → ∞, pero en la práctica ocurre cuando se alcanza el 
equilibrio higroscópico; y han argumentado la idea de que 𝐶∞̅ es un criterio fuerte para la 
comparación del poder higroscópico, es decir, de la capacidad de absorción de humedad 
de diferentes tipos de materiales. 
En este estudio el contenido inicial de humedad en base seca de las semillas se midió 
directamente con un medidor de humedad, densidad y temperatura Wile 200, fabricado 
por FarmComp Agrolectronic en Finlandia. Se efectuaron 10 mediciones directas de la 
humedad de las semillas de ambos cultivares con exactitud de 0.1 %. 
2.2.3. Densidades aparente y real. Porosidad 
La densidad aparente (𝜌𝑏) de las semillas se define (Demirhan & Özbek, 2015; Fayed, 
El-Shal & Omar, 2020; Oyedeji et al., 2021) como el cociente entre la masa 𝑚 media de 
cierta cantidad de semillas y el volumen total ocupado por éstas, es decir, el volumen real 
de las semillas más el volumen intergranario, al cual se le conoce como volumen aparente 
(𝑉𝑏): 
𝜌𝑏 =
𝑚
𝑉𝑏
 . (5) 
La densidad aparente de las semillas puede medirse mediante métodos directos o 
indirectos. En este caso, la densidad aparente se midió mediante un método indirecto, 
empleando el medidor de humedad, densidad y temperatura Wile 200 antes referido. Se 
efectuaron 10 mediciones directas de la densidad aparente de las semillas de ambos 
cultivares con exactitud de 0.1 kg/hl. 
 
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La densidad real (𝜌𝑡) de las semillas, entendida como densidad volumétrica, o sea, masa 
de las semillas por unidad de volumen, se determinó indirectamente a partir de la relación 
(Oyedeji et al., 2021): 
𝜌𝑡 =
𝑚
𝑉𝑡
 , (6) 
donde 𝑚 es la masa media de una cierta cantidad de semillas y 𝑉𝑡 el volumen que 
verdaderamente éstas ocupan, es decir, sin tener en cuenta los espacios intergranarios. 
Con este fin, se midió la masa de cada uno de los diez grupos de siete semillas, empleando 
una balanza analítica digital Explorer Pro, fabricada por Ohaus Corporation en Suiza, 
modelo EP64, con exactitud de 0.1 mg, y el volumen real que ocupa cada uno de los 
grupos se determinó empleando el método de la probeta. En este método, el volumen de 
cada uno de los grupos de semillas se determinó mediante el volumen de agua desplazado 
al agregar las semillas de los diferentes grupos en 3 ml de agua destilada contenidos en 
una probeta de 5 ml de capacidad y con exactitud 0.1 ml. La duración de este proceder 
fue mínimo, de modo que la hidratación de las semillas durante ese tiempo y los 
correspondientes cambios de volumen de las mismas por este concepto, fueron 
despreciables. 
Empleando la ecuación (6) se determinó la densidad real de cada una de las muestras 
(grupos de semillas). A partir de estos datos se calculó la densidad real media y su 
incertidumbre. 
La porosidad de las semillas, entendida como fracción de espacios intergranarios, se 
calculó mediante la expresión (Demirhan & Özbek, 2015; Fayed, El-Shal & Omar, 2020; 
Oyedeji et al., 2021; Kumar et al., 2018; Kumar et al., 2021): 
𝜀 =
𝜌𝑟 − 𝜌𝑎
𝜌𝑟
 × 100 %. (7) 
En los cálculos se emplearon las densidades medias real y aparente obtenidas 
previamente. 
2.3. Ensayo de absorción de humedad 
En los experimentos para el estudio de la cinética de absorción de la humedad por semillas 
de cada uno de los cultivares se empleó una Cámara de Germinación Modelo RTOP-
 
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310D de fabricación China, la cual también puede ser empleada para estos fines (Bio-
Equip, 2019). 
Los ensayos se efectuaron en atmósferas controladas con (85 ± 5) % HR y temperatura 
de (17,0 ± 1,0) °C. Los valores de humedad relativa y temperaturas seleccionados 
obedecen a que estos se encuentran en el entorno de los valores medios de estas 
magnitudes en las condiciones de almacenamiento de los granos y semillas en los silos 
metálicos refrigerados instalados en Cuba (UEB-EMSIL Villa Clara, 2017). Además, en 
estas condiciones se garantiza que las semillas no germinen, al menos en los tiempos 
requeridos para los experimentos de absorción de humedad. 
Una vez que se midió la masa inicial de cada una de las muestras de 60 semillas de ambos 
cultivares, se procedió inmediatamente a situar las muestras en el ambiente previamente 
creado en la cámara, con humedad relativa y temperatura constante. La masa de las 
diferentes muestras durante los tiempos de exposición fue medida a de intervalos de 
tiempo predeterminados. Debido a que la tasa de absorción es más rápida en los primeros 
tiempos del ensayo, las mediciones de la masa de las muestras se efectuaron a intervalos 
de tiempo fijos de 1 h cada uno, para después, en tiempos posteriores, cambiar a intervalos 
de 2, 3, 4, 5, 6, 12 y 24 horas. La masa de las diferentes muestras se midió en una balanza 
analítica digital Explorer Pro, fabricada por Ohaus Corporation en Suiza, modelo EP64, 
con exactitud de 0.1 mg. 
Este ensayo proporciona los datos para la determinación de los contenidos de humedad 
en base seca o de los incrementos porcentuales en masa húmeda en diferentes instantes 
de tiempo empleando la ecuación (4). 
2.4 Modelos a ajustar 
Como se explicó antes, la cinética de transferencia de agua en semillas y granos se ha 
modelado empleando tanto modelos basados en la trasferencia de masa y las leyes de la 
difusión como modelos empíricos. En este trabajo se emplearon modelos de uno y otro 
tipo, o sea, modelo teóricos basados en las leyes de la difusión y modelos empíricos para 
describir la cinética de absorción de humedad en semillas de frijol común de los cultivares 
CubaNa 23 y Odile. 
 
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2.4.1 Modelo difusivo 
Aunque algunos autores (Miano & Augusto, 2018) han identificado modelos basados en 
las leyes de Fick, por el nombre de aquel o de aquellos investigadores que lo emplearon 
por primera vez, tal es el caso, por ejemplo, del modelo de Hsu (1983), que esencialmente 
se trata de un modelo difusivo, en este artículo se hablará simplemente de modelo 
difusivo. 
En el caso de semillas esféricas, o que puedan ser aproximadas a una esfera, tal es el caso 
de la mayoría de las semillas de los diferentes cultivares de frijol común, el proceso de 
difusión de humedad puede describirse empleando la ecuación de la segunda ley de Fick 
en coordenadas esféricas (Hsu, 1983; Hsu, 1984; Bello et al., 2010; Nicolin et al., 2013; 
Demirhan & Özbek, 2015; Nicolin et al., 2015; Nicolin et al., 2015A; Guillerme & 
Nicolin, 2020): 
En coordenadas esféricas la ecuación de la segunda ley de Fick, si se considera que la 
difusión de la sustancia ocurre en la dirección radial y además, se asume que el coeficiente 
de difusión es constante, se escribe (Crank, 1975): 
𝜕𝐶
𝜕𝑡
= 𝐷 (
𝜕2𝐶
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
∙
𝜕𝐶
𝜕𝑟
) , (8) 
donde 𝐶 = 𝐶 (𝑟, 𝑡) es la concentración de la sustancia difusora (en este caso humedad), 
𝐷 es el coeficiente de difusión de humedad asumido constante, 𝑟 es la distancia radial y 
𝑡 es el tiempo. Además, en este caso se ha despreciado el cambio de volumen de las 
semillas como consecuencia del proceso de absorción de humedad. 
Las semillas empleadas en el ensayo de absorción de humedad inicialmente se 
encontraban “secas”. Además, el centro de la semilla actúa como una pared impermeable, 
debido a que el flujo neto de humedad en este punto es nulo. De acuerdo con estas 
consideraciones, las condiciones iniciales y de frontera del problema de difusión de 
humedad en las semillas quedan expresadas de la siguiente manera: 
𝐶 = 𝐶1, 0 < 𝑟 < 𝑎, 𝑡 = 0, (9) 
𝐶 = 𝐶0, 𝑟 = 𝑎, 𝑡 > 0, (10) 
𝜕𝐶
𝜕𝑟
= 0 , 𝑟 = 0, 𝑡 > 0, (11) 
 
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en la que 𝐶1 es la concentración inicial de humedad en las semillas “secas” y 𝐶0 es la 
concentración en la frontera 𝑟 = 𝑎. La solución que se obtiene para la fracción de agua 
absorbida (𝑀𝑡 𝑀∞⁄ ) en un tiempo 𝑡 se escribe en términos de una serie trigonométrica de 
Fourier (Crank, 1975; Hsu, 1984): 
𝑀𝑡
𝑀∞
= 1 −
6
𝜋2
∑
1
𝑛2
∞
𝑛=1 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (−𝐷 ∙ 𝑛
2 ∙ 𝜋2 ∙
𝑡
𝑎2
), (12) 
donde 𝑀𝑡 es la masa de agua absorbida en un tiempo 𝑡, 𝑀∞ es la masa de agua absorbida 
teóricamente cuando 𝑡 → ∞, pero en la práctica es la masa de agua absorbida cuando se 
alcanza el equilibrio, simplemente masa de equilibrio, y 𝑎 es el radio de las semillas. 
Una vez conocida la fracción de agua absorbida (𝑀𝑡 𝑀∞⁄ ) en un tiempo 𝑡 para una semilla 
esférica dada, el coeficiente de difusión de humedad puede ser determinado empleando 
diferentes métodos. Un procedimiento simple consiste en desarrollar la serie de la 
ecuación (12) hasta lograr su convergencia y ajustar el modelo correspondiente a los datos 
experimentales. Desarrollando la ecuación (12) hasta el segundo término se obtiene: 
𝑀𝑡
𝑀∞
= 1 − [
6
𝜋2
𝑒𝑥𝑝 (−𝐷 ∙ 𝜋2 ∙
𝑡
𝑎2
) +
3
2𝜋2
𝑒𝑥𝑝 (−𝐷 ∙ 4 ∙ 𝜋2 ∙
𝑡
𝑎2
)]. (13) 
La estimación de los valores de los coeficientes de difusión de humedad en las semillas 
de los cultivares CubaNa 23 y Odile se efectuó mediante técnicas de ajuste no lineal del 
modelo de la ecuación (13) a los datos de fracción de humedad absorbida (𝑀𝑡 𝑀∞⁄ ) en 
función del tiempo 𝑡, obtenidos de los ensayos de absorción de humedad antes descritos. 
Las operaciones de ajuste se efectuaron con el software OriginLab V 8.0, en el cual se 
implementó previamente, como una nueva función, el modelo difusivo (ecuación (13)). 
El radio medio de las semillas de los cultivares CubaNa 23 y Odile correspondientes al 
radio 𝑎 que figura en las ecuaciones (12) y (13) se calculó a partir del volumen real medio 
de las semillas de estos cultivares, obtenidos como parte de los experimentos de 
determinación de la densidad real de las semillas de ambos cultivares. De acuerdo con 
esto, el radio medio 𝑎 de las semillas, asumidas esféricas, viene dado por la siguiente 
expresión: 
𝑎 = √
3𝑉𝑚
4𝜋
3
, (14) 
donde 𝑉𝑚 se refiere al volumen medio, de una semilla de uno y otro cultivar, obtenido de 
los experimentos de densidad real. 
 
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2.4.2 Modelo de Peleg 
Dentro de los modelos empíricos el más ampliamente usado ha sido el modelo propuesto 
por Peleg (1988), debido a su simplicidad e idoneidad para describir los procesos de 
hidratación y de absorción de humedad. Este modelo establece que la masa de agua 
absorbida 𝑀𝑡 por un material dado al cabo de un tiempo t viene dado por la ecuación: 
𝑀𝑡 = 𝑀0 +
𝑡
𝑘1 + 𝑘2𝑡
, (15) 
donde 𝑀0 es contenido inicial de agua (humedad) y 𝑘1 y 𝑘2 son las constantes de Peleg. 
Las constantes 𝑘1 y 𝑘2 tienen unidades de tiempo por unidad de masa y de inverso de 
masa respectivamente, por lo cual ellas están asociadas con el inverso de la tasa o ritmo 
de absorción y con el inverso de la capacidad de absorción del material respectivamente. 
De acuerdo con Montanuci y colaboradores (Montanuci et al., 2013) 𝑘1 podría 
compararse con un coeficiente de difusión y se le denomina constante de velocidad de 
Peleg, mientras que 𝑘2 es un parámetro característico asociado con la capacidad de 
absorción del material en estudio y se le llama constante de capacidad de Peleg. 
La tasa de absorción en un instante 𝑡 determinado se puede obtener a partir de la primera 
derivada de la ecuación (15) (Peleg, 1988): 
𝑑𝑀𝑡
𝑑𝑡
=
𝑘1
(𝑘1 + 𝑘2 ∙ 𝑡)2
. (16) 
La constante de velocidad de Peleg 𝑘1 se relaciona con el inverso de la rapidez o tasa de 
absorción en el instante inicial (Montanuci, Jorge & Jorge, 2013), i.e.: 
(
𝑑𝑀𝑡
𝑑𝑡
)
𝑡=𝑡0
=
1
𝑘1
 , (17) 
de este modo, el inverso de la constante 𝑘1 puede estar relacionada con el coeficiente de 
difusión sólo en los primeros instantes del proceso de absorción. Por ello, no es posible 
identificar completamente al inverso de la constante 𝑘1 con el coeficiente de difusión 𝐷 
que aparece en los modelos derivados de las leyes de Fick (Morales-González et al., 
2019). 
La constante de capacidad de Peleg 𝑘2 se relaciona con el máximo contenido de humedad 
que puede alcanzarse, o sea, con la masa de equilibrio. Como, de acuerdo con este 
 
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CULTIVARES DE FRIJOL COMÚN CUBANA 23 Y ODILE: PROPIEDADES FÍSICAS Y 
COMPORTAMIENTO HIGROSCÓPICO DE LAS SEMILLASmodelo, la masa de equilibrio (𝑀∞) se alcanza cuando 𝑡 → ∞, entonces (Montanuci, 
Jorge & Jorge, 2013): 
𝑀∞ = 𝑀0 +
1
𝑘2
. (18) 
La forma lineal de la ecuación (Peleg, 1988) se escribe como: 
𝑡
(𝑀𝑡 − 𝑀0)
= 𝑘1 + 𝑘2𝑡, (19) 
por lo que del ajuste del modelo lineal (ecuación 19) a datos experimentales de absorción 
se obtienen las constantes 𝑘1 y 𝑘2, las que constituyen el intercepto y la pendiente de la 
recta de ajuste respectivamente. 
El modelo de Peleg si bien es ampliamente usado en el estudio de la absorción de agua 
por materiales alimenticios, granos y semillas, no fue obtenido a partir leyes físicas, ni de 
la teoría de la difusión, por lo cual es sólo un modelo empírico que permite obtener las 
constantes de Peleg, a saber: las constantes de velocidad y de capacidad, las cuales 
brindan información sobre la rapidez con que el material incorpora agua en el instante 
inicial del proceso de hidratación y la capacidad de absorción que posee el material, y a 
partir de la primera de estas constantes y de su cambio con la temperatura, los parámetros 
termodinámicos del sistema, no permite la descripción completa de la cinética de 
humectación del material, cuestión que sólo es posible lograr con modelos teóricos en 
bases a las leyes de trasferencia de masa o de la difusión de Fick (Morales-González, 
Hernández-Ruiz & Martínez-Chinea, 2019). Por otra parte, este modelo tampoco explica 
satisfactoriamente el comportamiento sigmoidal, típico de la hidratación de algunas 
leguminosas (Miano & Augusto, 2018). 
2.4.3 Modelo Sigmoidal 
La cinética de hidratación de algunas leguminosas, entre las que se reportan varios 
cultivares de frijol común, muestran un comportamiento sigmoidal (Miano & Augusto, 
2018). Este tipo de comportamiento, aunque se puede describir mediante los modelos 
antes expuestos, se describe satisfactoriamente empleando los modelos de Kaptso y 
colaboradores (Kaptso et al., 2008) y de Ibarz y Augusto (Ibarz &Augusto, 2015). En 
opinión de Miano y Augusto (2018), el uso del segundo de estos modelos es más simple 
 
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que el primero únicamente en apariencia, pues a pesar de que involucra sólo la estimación 
de dos parámetros, su ajuste a los datos experimentales puede resultar complicado y 
además, requiere de una fórmula adicional para completar la información sobre la cinética 
del proceso. Por ello, tal vez el modelo empírico de tres parámetros de Kaptso y 
colaboradores (Kaptso et al., 2008) continúa siendo el más usado para la descripción del 
comportamiento sigmoidal de la cinética de hidratación de algunos granos y semillas. 
El modelo establece que (Kaptso et al., 2008): 
𝑀𝑡 =
𝑀∞
1 + 𝑒𝑥𝑝[−𝑘 ∙ (𝑡 − 𝜏)]
, (20) 
donde 𝑀𝑡 es la masa de agua absorbida en un tiempo t, 𝑀∞ es la masa de agua absorbida 
en un tiempo teóricamente infinito; en la práctica, cuando se alcanza el equilibrio 
higroscópico, 𝑘 es la constante rapidez de absorción de agua y 𝜏 es el tiempo necesario 
para que los granos o semillas alcancen el 50 % de la saturación. 
Linealizando la ecuación (20) se obtiene que: 
𝑙𝑛 (
𝑀∞ − 𝑀𝑡
𝑀𝑡
) = −𝑘 𝑡 + 𝑘 𝜏. (21) 
Del ajuste del modelo lineal (ecuación 21) a los datos experimentales de absorción se 
obtienen las constantes 𝑘 y 𝜏. La primera de estas constantes es la pendiente de la recta 
de ajuste y 𝜏 se determina a partir del intercepto de esta propia recta, mediante la relación 
entre este parámetro y la constante 𝑘. 
3. Resultados y discusión 
3.1 Propiedades físicas de las semillas 
En la tabla 1 se presentan los resultados de la medición de las propiedades físicas de las 
semillas de frijol común de los cultivares CubaNa 23 y Odile. 
Las dimensiones lineales de las semillas de frijol común de ambos cultivares poseen 
valores semejantes, aunque la longitud 𝐿 y el espesor 𝑇 de las semillas del cultivar Odile 
son ligeramente mayores que las del CubaNa 23, en tanto el ancho 𝑊 de las semillas de 
este último es menor. Correspondientemente el diámetro geométrico medio, el área 
superficial y el volumen de las semillas del cultivar Odile son ligeramente superiores a 
las del CubaNa 23. Sin embargo, su grado de esfericidad es ligeramente inferior al del 
 
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CubaNa 23. Los relativamente bajos grados de esfericidad de las semillas de ambos 
cultivares, provocan que cuando se ajusta el modelo difusivo, asumiendo que las semillas 
son esferas perfectas, las incertidumbres debidas al modelo que se introducen son 
relativamente altas, pues si para la esfera ideal, el grado de esfericidad es uno, entonces, 
el error porcentual asociado al modelo que se introduce en estos estudios es de 34,1 y 
34,9 % para las semillas de los cultivares CubaNa 23 y Odile respectivamente. 
Tabla 1. Propiedades físicas de semillas de frijol común de los cultivares CubaNa 23 y 
Odile. 
Parámetros CubaNa 23 Odile 
Longitud: 𝐿, cm 1,064 ± 0,130 1,156 ± 0.081 
Ancho: 𝑊, cm 0,699 ± 0,090 0,690 ± 0,048 
Espesor: 𝑇, cm 0,464 ± 0.078 0,535 ± 0,068 
Diámetro geométrico: 𝐷𝑔, cm 0,7015 ± 0,0008 0,7526 ± 0,0004 
Área superficial: 𝑆, cm2 1,546 ± 0,004 1,779 ± 0,002 
Volumen: 𝑉𝑔,cm
3 0,181 ± 0,001 0, 222 ± 0,001 
Grado de esfericidad: ∅, % 65,9 ± 0,2 65,1 ± 0,1 
Contenido inicial de humedad: 𝑀𝐶𝑑𝑏, % 13,00 ± 0,06 13,56 ± 0,06 
Masa: 𝑚, g 0,246 ± 0,012 0,319 ± 0.014 
Densidad aparente: 𝜌𝑏, g cm
-3 0,851 ± 0,006 0,859 ± 0,011 
Densidad real: 𝜌𝑡, g cm
-3 1,297 ± 0,001 1,324 ± 0,001 
Porosidad: 𝜀, % 34,34 ± 0,001 35,19 ± 0,008 
Así, de modo general, con las excepciones del ancho 𝑊 y de la esfericidad ∅, las 
propiedades dimensionales de las semillas del cultivar Odile son ligeramente superiores 
a las del CubaNa 23. Esto coincide con lo que se observa mediante apreciación visual, en 
que las semillas del cultivar Odile virtualmente son más alargadas que las de sus similares 
del CubaNa 23. Además, las propiedades dimensionales de las semillas de uno y otro 
cultivar están en el orden de lo reportado para este tipo de leguminosas, de tamaño medio, 
cultivadas fundamentalmente en la región mesoamericana (Ulloa et al., 2016). 
 
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El contenido inicial de humedad en base seca medio de las semillas de los cultivares 
CubaNa 23 y Odile son de 13, 00 ± 0,06 y 13, 56 ± 0,06 % respectivamente. Se puede 
verificar (Jian et al., 2017) que para las semillas de ambos cultivares, el contenido inicial 
de humedad en base seca medio es semejante y se encuentra dentro del rango establecido 
como bueno para la conservación de las semillas de frijol común, incluso para garantizar 
su vitalidad y poder germinativo. Además,los valores medidos del contenido inicial de 
humedad en base seca de las semillas de ambos cultivares, permiten corroborar que las 
semillas fueron tratadas y conservadas adecuadamente. 
La masa de las semillas del cultivar Odile, con un valor medio de (0,319 ± 0.014) g, es 
superior a la del cultivar CubaNa 23 con (0,246 ± 0,012) g. Asimismo, de los dos 
cultivares en estudio, es también el Odile el que posee mayores densidades medias real y 
aparente, y correspondientemente, de acuerdo con la ecuación (7) mayor porosidad. 
Como era de esperar, según las predicciones teóricas, para ambos cultivares la densidad 
real es mayor que la aparente, debido a que el volumen aparente, el cual incluye al 
volumen intergranario, es siempre es mayor que volumen real de las semillas. 
De este modo, las propiedades gravimétricas, a saber: masa, densidades real y aparente, 
y porosidad de las semillas del cultivar Odile también son ligeramente superiores a las 
del CubaNa 23. Y en general, con excepción del grosor y la esfericidad, tanto las 
propiedades dimensionales como las gravimétricas de las semillas del cultivar Odile, son 
ligeramente superiores que las del CubaNa 23. 
3.2 Cinética de absorción de humedad 
En la figura 3 se muestra el comportamiento de la cinética de absorción de humedad por 
semillas de los cultivares de frijol común CubaNa 23 y Odile situadas en atmósfera 
controlada con 85 % de humedad relativa y 17 °C de temperatura. 
Estas curvas de contenido de humedad en base seca medio por semilla en función del 
tiempo, obtenidas para la absorción de humedad por semillas de los cultivares de frijol 
común CubaNa 23 y Odile, muestran características similares a las curvas de hidratación 
de diferentes tipos de cultivares de frijol común durante los procesos de remojo (Ulloa et 
al., 2016; Miano & Augusto, 2018). 
 
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0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
0 .1 0
0 .1 5
0 .2 0
0 .2 5
0 .3 0
0 .3 5
 
 
Las curvas del contenido de humedad en base seca medio por semilla en función del 
tiempo de uno y otro cultivar muestran características semejantes. Para ambos cultivares, 
en el instante inicial la tendencia de las tasas de incremento del contenido de humedad, 
esto es, las pendientes de las curvas, se apartan ligeramente de la tendencia a infinito que 
se requiere para que los procesos de absorción de humedad en estos primeros instantes 
sean netamente difusivos (Hernández-Ruiz, Valencia-Morales & Villar-Cociña, 2005). 
Posteriormente, para tiempos medios, las curvas muestran tasas de incremento a ritmos 
casi constantes y finalmente para tiempos largos, las tasas de incrementos comienzan a 
disminuir hasta que se hacen constantes, de modo que las curvas muestran una concavidad 
hacia el eje temporal. Además, se puede apreciar que las semillas del cultivar CubaNa 23 
incrementan con más rapidez su contenido de humedad, o sea, presentan una tasa de 
crecimiento del contenido de humedad superior que las del cultivar Odile. Esto se debe a 
que las semillas de este cultivar poseen menor densidad real y la diferencia en la densidad 
real de uno y otro cultivar, entre otras causas está condicionada por diferencias en la 
presencia y distribución de poros y capilares en las semillas de estos cultivares. 
Por otra parte, de la propia gráfica de contenido de humedad en base seca vs. tiempo, se 
puede obtener que las semillas del cultivar CubaNa 23 presentan contenido de humedad 
en base seca de equilibrio de (31,36 ± 0,20) % y las del Odile de (28,07 ± 0,20) %, por lo 
Figura 3. Comportamiento del contenido de humedad en base seca medio por 
semilla en función del tiempo durante el proceso de absorción de humedad por 
semillas de los cultivares CubaNa 23 y Odile. 
 Fuente: Elaboración propia. 
𝑡, ℎ 
𝑀𝐶𝑑𝑏 , % 
CubaNa 23 
Odile 
 
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cual las semillas del cultivar CubaNa 23 presenta un poder higroscópico ligeramente 
superior al de sus similares del cultivar Odile. Esto coincide con lo expuesto en el párrafo 
anterior y confirma la idea de que el contenido de humedad en base seca, dependen muy 
fuertemente de la estructura interna del material. 
Este comportamiento de la cinética de absorción de humedad por las semillas de frijol 
común de los cultivares CubaNa 23 y Odile en atmósfera controlada con 85 % de 
humedad relativa y 17 °C de temperatura está en correspondencia con lo reportado para 
el proceso de hidratación de las leguminosas descrito por Miano & Augusto (2018). Estos 
autores explican que debido a la estructura compleja que poseen las semillas de las 
leguminosas y en dependencia del grado de permeabilidad de la cubierta, las curvas de 
contenido de humedad en función del tiempo en general pueden transitar entre dos formas 
estándar, cóncavas hacia el eje temporal (DCS por sus siglas en inglés: Downward 
Concave Shape) y sigmoidal. Si se tiene una cubierta impermeable, el agua ingresa por el 
hilio y atraviesa el surco hiliar y el tejido de la barra traqueidea para llegar al lóbulo 
radícula. Luego, el agua se distribuye en el espacio entre la cara interna de la cubierta de 
la semilla y el cotiledón. Una vez que la cubierta de la semilla se hidrata desde el interior, 
se torna permeable y el agua penetra, no sólo a través del hilio sino que, también atraviesa 
la cubierta de la semilla por difusión. Finalmente, el cotiledón se hidrata por difusión y 
capilaridad hasta alcanzar la concentración de equilibrio. En este caso, debido a la 
impermeabilidad de la cubierta, la cinética hidratación muestra una fase de retardo y 
posee un comportamiento sigmoidal típico. En el caso contrario, cuando la cubierta de las 
semillas es permeable, la curva de la cinética de hidratación es del tipo DCS. 
3.2.1 Ajuste de los modelos a los datos experimentales 
3.2.1.1 Ajuste del modelo difusivo 
En las figuras 4 y 5 se muestran las curvas de ajuste (líneas continuas) del modelo difusivo 
a los datos experimentales de fracción de humedad absorbida (𝑀𝑡 𝑀∞⁄ ) en función del 
tiempo 𝑡, para la absorción de humedad por semillas de frijol común de los cultivares 
CubaNa 23 y Odile respectivamente, durante su estancia en atmósfera controlada con 85 
% de humedad relativa y 17 °C de temperatura. En ambos casos, se aprecia como la curva 
 
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de ajuste se separa ligeramente de los datos experimentales, lo cual se debe 
principalmente a que en los primeros tiempos del proceso de absorción de humedad por 
las semillas, la cinética del proceso no es puramente difusiva. Además, en ello también 
influye la incertidumbre que se introduce por la consideración realizada al modelo, de 
difusión radialen una esfera y como se determinó durante el estudio de las propiedades 
𝑀𝑡
𝑀∞
 
𝑡, ℎ 
Puntos experimentales 
Curva de ajuste del 
modelo difusivo 
Figura 4. Ajuste del modelo difusivo a los datos de fracción 
de humedad absorbida en función del tiempo por semillas del cultivar CubaNa 23. 
Fuente: Elaboración propia. 
𝑀𝑡
𝑀∞
 
𝑡, ℎ 
Puntos experimentales 
Figura 5. Ajuste del modelo difusivo a los datos de fracción 
de humedad absorbida en función del tiempo por semillas del cultivar Odile. 
Fuente: Elaboración propia. 
Curva de ajuste del modelo 
difusivo 
 
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dimensionales de estas semillas, la esfericidad de las muestras de ambos cultivares está 
en el orden del 65 %. 
En la tabla 2 se reportan los resultados del ajuste del modelo difusivo a los datos 
experimentales de absorción de humedad por semillas de frijol común de los cultivares 
estudiados. 
Tabla 2. Resultados del ajuste del modelo difusivo a los datos de fracción de humedad 
absorbida en función del tiempo por semillas de frijol común de los cultivares 
CubaNa 23 y Odile. 
Cultivar 𝑎 ± 𝑈𝑎, 𝑚𝑚 𝐷 ± 𝑈𝐷 , 𝑚
2/𝑠 𝑆𝑅𝐶 𝜒2𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑅
2
𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 
CubaNa 23 3,57 ± 0,09 (2,49 ± 0, 17) ∙ 10−6 0,52 0,0100 0,90 
Odile 3,86 ± 0,06 (2,11 ± 0,14) ∙ 10−6 0,49 0,0097 0,90 
En las columnas segunda y tercera se reportan los radios medios 𝑎 de esta semillas, 
asumidas esféricas, y los coeficientes de difusión de humedad en las mismas, con las 
incertidumbres correspondientes. En tanto, en las restantes columnas se presentan los 
estimadores estadísticos que informan de la aceptable correspondencia entre el modelo 
teórico y los datos experimentales. Estos resultados también son respaldados por el 
aceptable comportamiento de las curvas de los residuos estandarizados (figuras 6 y 7). 
 
Figura 6. Curva de los residuos estandarizados para el ajuste del modelo difusivo a los datos 
de absorción de humedad por semillas del cultivar CubaNa 23. 
Fuente: Elaboración propia. 
 
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Estas curvas fueron obtenidas de los análisis de regresión efectuados al ajustar el modelo 
difusivo a los datos experimentales de fracción de humedad absorbida en función del 
tiempo por semillas de frijol común de los cultivares CubaNa 23 y Odile respectivamente, 
y se encuentran enmarcadas en una banda centrada alrededor del cero, sin que los residuos 
muestren una marcada tendencia a ser positivos o negativos y con una ligera oscilación 
alrededor del cero, lo cual corrobora la aceptable correspondencia entre las ecuaciones de 
regresión y los datos experimentales. 
De este modo, como el proceso de absorción de humedad por semillas de ambos cultivares 
es un fenómeno complejo, en el que se superponen procesos capilares y difusivos, una 
mejor descripción de la cinética del fenómeno global de absorción de humedad debe ser 
posible empleando un modelo que contemple ambos procesos y en el que a su vez se 
introduzca un factor que considere el grado de esfericidad de las semillas. 
3.2.1.2 Ajuste de los modelos de Peleg y sigmoidal 
En las figuras 8 y 9 se muestra el ajuste de los modelos de Peleg y Sigmoidal a los datos 
experimentales de absorción de humedad por semillas de los cultivares de frijol común 
CubaNa 23 y Odile respectivamente, durante su estancia en atmósfera controlada con 85 
% de humedad relativa y 17 °C de temperatura. 
Figura 7. Curva de los residuos estandarizados para el ajuste del modelo difusivo 
a los datos de absorción de humedad por semillas del cultivar Odile. 
Fuente: Elaboración propia. 
 
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0 50 100 150 200 250 300
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
 
 
t, h
 
 
Como puede apreciarse, en ambos casos y para los dos cultivares en estudio, existe una 
adecuada correspondencia entre los modelos teóricos y los datos experimentales. Esto 
mismo se infiere del análisis de los indicadores estadísticos Chi Cuadrado (𝜒2) y 
Coeficiente de Determinación Múltiple (𝑅2) que se reportan en la tabla 3, resultados de 
los ajustes no lineales de los modelos de Peleg y sigmoidal a los datos de masa de 
humedad absorbida en función del tiempo por semillas de frijol común de los cultivares 
CubaNa 23 y Odile, los cuales informan de una adecuada bondad de ajuste de ambos 
modelos y para los dos cultivares. 
𝑡, ℎ 
𝑀𝑡 , 𝑔 
Curva de ajuste 
modelo de Peleg 
Puntos experimentales 
Figura 8. Ajuste del modelo Peleg a los datos experimentales de absorción de humedad por semillas 
de los cultivares de frijol común CubaNa 23 (a) y Odile (b). Fuente: Elaboración propia. 
 
 
(b) 
𝑀𝑡 , 𝑔 
𝑡, ℎ 
Curva de ajuste 
modelo de Peleg 
Puntos experimentales 
(a) 
 
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0 50 100 150 200 250 300
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.30
0.31
 
 
0 50 100 150 200 250 300
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
 
 
 
 
 
Tabla 3. Indicadores estadísticos de los ajustes de los modelos de Peleg y sigmoidal. 
Modelo 
CubaNa 23 Odile 
𝜒2 𝑅2 𝜒2 𝑅2 
Peleg 4,21 ∙ 10−6 0,9827 2,50 ∙ 10−6 0,9894 
Sigmoidal 1,10 ∙ 10−6 0,9955 5,60 ∙ 10−7 0,9976 
Figura 9. Ajuste del modelo sigmoidal a los datos experimentales de absorción de 
humedad por semillas de los cultivares de frijol común CubaNa 23 (a) y Odile (b). 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
𝑀𝑡 , 𝑔 
𝑀𝑡 , 𝑔 
𝑡, ℎ 
𝑡, ℎ 
Curva de ajuste 
modelo sigmoidal 
Curva de ajuste 
modelo sigmoidal 
Puntos experimentales 
Puntos experimentales 
(a) 
(b) 
 
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De estos propios resultados se tiene que modelo sigmoidal presenta mejor bondad de 
ajuste que el de Peleg. De acuerdo con estos resultados y teniendo en cuenta las 
características de las curvas de contenido de humedad por semilla en base seca en función 
del tiempo para ambos cultivares de la figura 3, setiene que el proceso de absorción de 
humedad por semillas de frijol común de los cultivares CubaNa 23 y Odile muestran 
un comportamiento sigmoidal, análogo al del proceso de hidratación descrito para algunas 
leguminosas (Miano & Augusto, 2018) entre las que se encuentran cultivares de frijol 
común de la región mesoamericana (Ulloa, 2016). 
En la tabla 4 se presentan los parámetros cinéticos del proceso de absorción de humedad 
por semillas de frijol común de los cultivares CubaNa 23 y Odile durante su permanencia 
en atmósferas con 85 % de humedad relativa y 17 °C de temperatura, estimados mediante 
el ajuste lineal de los modelos de Peleg y sigmoidal. 
Tabla 4. Parámetros cinéticos de la absorción de humedad por semillas de frijol común 
de los cultivares CubaNa 23 y Odile. 
Cultivar Parámetros cinéticos 
CubaNa 23 
Peleg 
𝑘1 , ℎ 𝑔
−1 𝑘2 , 𝑔
−1 (
𝑑𝑀𝑡
𝑑𝑡
)
𝑡=𝑡0
, 𝑔𝑠−1 𝑀∞ , 𝑔
 
24,4 ± 1,9 5,76 ± 0,02 (1,14 ± 0,15) · 10−5 0,3036 ± 0,0232 
Sigmoidal 
𝑘 , 𝑠−1 𝜏 , ℎ 
(7,78 ± 0,28) · 10−6 52,43 ± 4,51 
Odile 
Peleg 
𝑘1 , ℎ 𝑔
−1 𝑘2 , 𝑔
−1 (
𝑑𝑀𝑡
𝑑𝑡
)
𝑡=𝑡0
, 𝑔𝑠−1 𝑀∞ , 𝑔
 
13,6 ± 1,2 4,16 ± 0,02 (2,04 ± 0,23) · 10−5 0,3760 ± 0,0142 
Sigmoidal 
𝑘 , 𝑠−1 𝜏 , ℎ 
(7,22 ± 0,28) · 10−6 65,76 ± 4,62 
 
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La rapidez con que las semillas absorben humedad en el instante inicial del proceso 
((
𝑑𝑀𝑡
𝑑𝑡
)
𝑡=𝑡0
), calculada empleando la ecuación (17) y los resultados del ajuste lineal del 
modelo de Peleg, es mayor para las semillas del cultivar Odile y se encuentra en el mismo 
orden que la obtenida en el caso de las semillas del cultivar CubaNa 23. Sin embargo, 
ambas rapideces de absorción de humedad son un orden superior al de los coeficientes de 
difusión de humedad en semillas de ambos cultivares (ver tabla 2). Esto se debe a que si 
bien la rapidez de absorción de humedad puede entenderse como un coeficiente de 
difusión de humedad, en este caso se refiere al instante inicial del proceso, mientras el 
coeficiente de difusión estimado mediante el modelo difusivo, es el coeficiente de 
difusión medio de la humedad para todo el proceso. El instante inicial del proceso, la 
rapidez con que las semillas absorben humedad es alta, debido a que las semillas se 
encuentran “secas”, pero esta rapidez disminuye a medida que el proceso avanza y las 
semillas poseen mayor contenido de humedad. Eso hace que el coeficiente de difusión de 
humedad medio sea menor que la rapidez de absorción de humedad en el instante inicial 
y prueba además la existencia de cierta dependencia del coeficiente de difusión de 
humedad con la concentración de ésta en las semillas, la cual ha sido descrita por otros 
investigadores para los procesos de hidratación de semillas y granos (Hsu, 1983; Bello et 
al., 2010; Nicolin et al., 2013; Nicolin et al., 2015A, Guillerme & Nicolin, 2020). 
La masa de humedad absorbida para el equilibrio por semilla de los cultivares de frijol 
común CubaNa 23 y Odile, calculadas empleando la ecuación (18) y los resultados del 
ajuste lineal del modelo de Peleg, fueron de (0,3036 ± 0,0232) y (0,3760 ± 0.0142) g 
respectivamente, muy cercanas a los valores correspondientes observados para estas 
cantidades de (0,3016 ± 0,0001) y (0,3742 ± 0,0001) g, valores estos últimos que fueron 
empleados al realizar los ajustes lineales del modelo sigmoidal. Este resultado no debe 
prestarse a confusión, pues si bien la masa absorbida en el equilibrio es superior en el 
caso de las semillas del cultivar Odile, el incremento en masa cuando se alcanza el 
equilibro, es decir, el contenidos de humedad en base seca que posee el cultivar CubaNa 
23 es mayor (ver figura 3), y es precisamente este último parámetro el indicador del poder 
higroscópico de las semillas. 
 
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Del ajuste lineal del modelo sigmoidal se obtuvo que la rapidez de absorción de humedad 
de las semillas de frijol común del cultivar CubaNa 23 es, aunque en el mismo orden de 
magnitud, ligeramente superior a la de su similar Odile. Al mismo tiempo, se encuentran 
en el mismo orden que el coeficiente de difusión de humedad medio en las semillas de 
ambos cultivares (ver tabla 2). Además, de estos mismos ajustes se obtuvo que las 
semillas del cultivar CubaNa 23 alcanzan el 50 % de la humedad de saturación mucho 
antes que las del cultivar Odile. Esto último coincide con el resultado antes obtenido, 
referido a que el contenido de humedad en base seca alcanzado por las semillas del 
cultivar CubaNa 23 es superior logrado por las semillas de su similar Odile, corroborando 
que las semillas de frijol común del cultivar CubaNa 23 presentan un poder higroscópico 
superior a las del Odile. 
4. Conclusiones 
Se estudiaron las propiedades dimensionales y gravimétricas de semillas de frijol común 
de los cultivares CubaNa 23 y Odile. Estos estudios fueron realizados con el empleo de 
procedimientos estandarizados reportados por la literatura internacional para el estudio 
de las propiedades físicas de granos y semillas. Se encontró que tanto las propiedades 
dimensionales como las gravimétricas de las semillas del cultivar Odile, son ligeramente 
superiores que las del CubaNa 23, con excepción del grosor y la esfericidad. 
La cinética de absorción de humedad por semillas de frijol común de los cultivares 
CubaNa 23 y Odile, situadas en atmósferas con 85 % HR y 17 °C de temperatura, en los 
momentos iniciales del proceso, se aparta ligeramente de los procesos puramente 
difusivos y en general, muestran un comportamiento sigmoidal, similar al del proceso de 
hidratación de ciertas leguminosas. Las semillas de frijol común del cultivar CubaNa 23 
con un contenido de humedad en base seca de equilibrio de (31,36 ± 0,20) % presentan 
un poder higroscópico superior al de su similar Odile, con (28,07 ± 0,20) % en su 𝑀𝐶𝑑𝑏 de 
equilibrio. 
De los modelos empleados en la descripción de la cinética de absorción de humedad por 
semillas de ambos cultivares, a saber: modelo difusivo, modelo de Peleg y modelo 
sigmoidal, el de mejor bondad de ajuste a los datos experimentales, y 
 
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correspondientemente el que mejor describe la cinética de absorción de la humedad por 
las semillas, es el modelo sigmoidal. 
En el futuro, el estudio de las propiedes físicas de las semillas de estos y otros cultivares 
de frijol común de producción nacional, debe incluir también la caracterización de sus 
propiedades friccionales debido a su importancia para el mecanizado de las cosechas. 
Asimismo, los estudios de la absorción de humedad no deben limitarse a humedades 
relativas y temperaturas similares a las de una determinadacondición de almacenamiento, 
sino que debe abarcar todo el rango de humedades típicas del clima cubano (desde 50 
hasta 95 % HR). 
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III Convención Científica Internacional de Ciencia, Tecnología y Sociedad UCLV 2021 
Convención 2021 
CULTIVARES DE FRIJOL COMÚN CUBANA 23 Y ODILE: PROPIEDADES FÍSICAS Y 
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