Ecuaciones de la recta Problemas metricos

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Vector director de una recta 
 
En la figura se observa un vector libre 

u 
aplicado en distintos puntos. Cada una de las 
flechas resultantes proporciona una recta. Se 
tienen así las rectas que son para-
lelas y se dice que 
r r y r1 2 3,
u es un vector director 
de estas rectas, que 

u las dirige o incluso 
que las rectas son paralelas al vector 

u . 
 
Recíprocamente, dada una recta es fácil ha-
llar un vector director: basta tomar dos pun-
tos cualesquiera de ella, como A y B de la 
figura adjunta. 
 
Pero es evidente que una recta tiene infinitos vectores que la dirijan. En la figura anterior 
  
u v y w, dirigen la recta r. También es claro que todos los vectores que dirigen una recta tie-
nen la misma dirección: si 

u es vector director de una recta también lo es cualquier otro 

v 
que cumpla 
 
v k u . 
 
Ejemplo: Las rectas r y r’ de la figura parece que son paralelas. ¿Lo son realmente? 
 
A( , )15 5
B( , )12 11
 B ( ,6 2)
  A ( , )7 5
r
r
Hallamos un vector director de cada 
recta. 
 
AB
 
 tiene por componentes: 
AB
 
   ( , ) (12 15 11 5 27 6, ) 
 
 
 
A B tiene por componentes: 
      
 
A B ( , ) ( , )6 7 2 5 13 3 
 
 Como los cocientes 
27
13
6
3
y son distintos, los vectores no tienen la misma direc-
ción y las rectas no son paralelas (aunque por poco). 
 
 
Ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta 
 
Ecuación vectorial de la recta 
 
Dado que cualquier vector contenido en una recta r es un vector de dirección, tomemos 

u como 
vector de dirección de r. 
I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez 
 
 
Sea X un punto cualquiera de la recta r. El 
vector es proporcional al vector AX
  
u por 
estar en la misma dirección, es decir: 
AX t u
 
   
 
Sean 
  
a b y x, los vectores de posición de 
los puntos A, B y X respectivamente. De la 
figura adjunta se tiene: 
 
   
x a AX a t u    
 
 t R 
 
 
  
x a t u   
 
 
Esta igualdad se llama ecuación vectorial de la recta. A “t” se le denomina parámetro de la 
ecuación y toma valores reales cualesquiera. Un parámetro es una variable que puede tomar 
distintos valores, los cuales dan a su vez distintos valores a otras variables. Al darle distintos 
valores se obtiene un conjunto de vectores de posición de puntos que pertenecen a la recta r. 
 
Ecuaciones paramétricas de la recta 
 
Sean ( , las coordenadas de los vectores ), ( , ), ( , ) ( , )x y a a b b y u u1 2 1 2 1 2
   
x a b y u, , res-
pectivamente, donde 
  
u b a b b   ( , )1 2 a a b a b a   ( , ) ( , )1 2 1 1 2 2 . Sustituyendo en la 
ecuación vectorial se tiene: 
 
( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y a a t u u a t u a t u    1 2 1 2 1 1 2 2 
 
Igualando las componentes de ambos vectores se obtiene: 
 
 
x a t u
y a t u
1 1
2 2
  
  



 
 
 
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la recta. Para cada valor de t se obtiene 
un punto de la recta. 
 
Para hallar las ecuaciones paramétricas de una recta bastan un punto y un vector director. Pero 
hay cantidad de puntos y vectores directores de una recta. Por eso, según el punto o vector que 
elijamos obtendremos distintas ecuaciones paramétricas: una infinidad. 
 
Por eso se habla de unas ecuaciones paramétricas y no de las ecuaciones paramétricas. 
I.E.S. Historiador Chabás -2- Juan Bragado Rodríguez 
 
En la recta de la figura, si nos fijamos en el punto y en el vector de dirección de 
componentes ( obtenemos las ecuaciones paramétricas: 
A ( , )0 1 BC
 
, ) ( , )2 2 2 0 4 2  
 
x s
y s
 
 



0 4
1 2
 
 
 
 
En cambio, si tomamos como punto base el 
 y como vector de dirección el vec-
tor de componentes: 
C( , )2 2
AB
 
 
 ( , ) ( , )     2 0 0 1 2 1 
 
obtenemos: 
x t
y t
 
 



2 2
2
 
 
 
Observa que la letra que indica el parámetro no es la misma en las dos ecuaciones. ¿Cómo saber 
si distintas ecuaciones paramétricas lo son de la misma recta ? 
 
En primer lugar hay que ver si tienen los mismos vectores directores. Si es así las ecuaciones 
representan rectas paralelas que pueden ser distintas o coincidentes. A continuación se comprue-
ba si un punto de una de ellas está en la otra: en caso afirmativo las ecuaciones representan la 
misma recta. 
 
Ejemplo: Se tienen las rectas r
x 1 3k
y 2 4k

 
 



s 
x 2 6
y 6 8t
  
 



t
 ¿Se trata en realidad 
de la misma recta? 
 
 Los vectores directores que obtenemos de las ecuaciones son: 
 
 
 
 
u y v   ( , ) ( , )3 4 6 8 
 
 
 Está claro que 
 
v  2 u por lo que r y s tienen los mismos vectores directores. 
 
 Veamos si el punto base ( , )2 6 de s está en r: 
 
 
         2 1 3 1 6 2 4 1k k k k 
 
 por tanto las ecuaciones representan la misma recta. 
 
I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez 
 
 
Ecuación de la recta en forma continua y general 
 
Ecuación continua de la recta 
I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguez 
 
0
 
Si , despejando t en las ecuaciones paramétricas tenemos: u y u1 20
 
t
x a
u
t
y a
u
x a
u
y a
u














1
1
2
2
1
1
2
2
 
 
 
x a
u
y a
u
1
1
2
2



 
 
 
La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación continua de la recta. 
 
Casos particulares de la ecuación de la recta 
 
 Si u y u u u1 20 0 0    2

( , ) y la ecuación continua no se puede escribir porque no 
se puede dividir por cero. 
 
a 1
( , )a y1 1
( , )a y1 2
( , )a y1 3
 
 
Al sustituir u1 0 en las ecuaciones pa-
ramétricas resulta . Esta ecuación 
significa que todos los puntos de la recta 
tienen la misma abscisa, , es decir, la 
recta de ecuación 
x a 1
x a
a1
 1 es paralela al eje 
OY. 
 
 Si 0u y u u u2 1 10 0   

( , ) y análogamente de las ecuaciones paramétricas se 
obtiene y a 2 . 
 
a2 ( , )x a1 2 ( , )x a2 2 ( , )x a3 2
 
Al sustituir u2 0 en las ecuaciones pa-
ramétricas resulta . Esta ecuación 
significa que todos los puntos de la recta 
tienen la misma ordenada, , es decir, la 
recta de ecuación 
y
y
a 2
a
a2
 2 es paralela al eje 
OX. 
Ecuación general de la recta 
 
Operando y simplificando en la ecuación de la recta en forma continua se tiene: 
 
( ) ( )x a u y a u u x u y a u a u       1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 0 
 
Llamando A u B u C a u a u     2 1 1 2 2 1 tenemos: 
 
 
Ax By C 0   
 
 
La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación general de la recta o también ecuación im-
plícita de la recta. 
 
Un vector director de esta recta cumple la condición: B u y A u  1 2 , por tanto: 
 
 

u ( B , A)  
 
 
 Si A By C y
C
B
      0 0 que es la ecuación de una recta paralela al eje 
OX. 
 
 Si B Ax C x
C
A
      0 0 que es la ecuación de una recta paralela al eje 
OY. 
 
A y B no pueden ser simultáneamente nulos, ya que al ser A u y B u  2 1 entonces el vec-
tor de dirección de la recta 

u u u ( , )1 2 sería el vector nulo que como sabemos no de-
termina ninguna dirección. 
( , )0 0
 
 
Pendiente de una recta 
 
Sabemos que una recta está determinada por dos puntos, por un punto y una paralela, por un 
punto y un vector director, etc. 
 
Existe otra forma de determinar una recta: consiste en dar un punto y el ángulo que la recta for-
ma con la dirección positiva del eje de las X (su inclinación). 
 
La inclinación de una recta no puede ser mayor que 180º. Por otro lado, un ángulo  comprendi-
do entre 0º y 180º está totalmente determinado por el valor de su tangente trigonométrica. Para 
nosotros es más cómodo utilizar el valor de tg que el propio valor de , y por ello damos la 
siguiente definición: 
I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguez 
 
Se llama pendiente de una recta a la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección 
positiva del eje X. 
 
Por costumbre se usala letra m para designar la pendiente. Observa que las rectas de ecuación 
x k no tienen pendiente, puesto que son paralelas al eje Y y por lo tanto forman con el eje X 
un ángulo de 90º (no existe ). tg º90
 
Las rectas con inclinación mayor que 90º tendrán una pendiente negativa. 
 
 
 
Ecuación punto pendiente de una recta 
 
Existe una relación entre la pendiente de una recta y sus vectores de dirección. 
 
 
 
Está claro que la pendiente en todos los ca-
sos es: 
 
m
u
u
 tg 2
1
 
 
En la recta de la derecha, es mayor que 
90º y la pendiente es negativa 

 
Si el vector 

u (u , u )1 2 es un vector director de la recta r, su pendiente es m
u
u
2
1
 . 
 
 
m tg
u
u
2
1
  
 
 
Como todos los vectores directores de una recta r tienen la misma dirección, el ángulo que for-
man con el eje X es el mismo y la tangente de ese ángulo (pendiente) también. 
 
Partiendo de la ecuación continua de la recta tenemos: 
 
x a
u
y a
u
y a
u
u
x a m x a



     1
1
2
2
2
2
1
1 1( ) ( ) 
 
 
y a m (x a )2 1   
 
I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez 
 
La ecuación anterior es la ecuación de la recta que pasa por el punto A a y tiene por pen-
diente m, por eso se conoce como ecuación “punto-pendiente” de una recta ya que se obtiene 
conociendo un punto y la pendiente. 
a( , )1 2
 
 
Ecuación explícita de la recta 
 
 Si operamos en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente se obtiene: 
 
I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez 
 
1 Haciendo y mx a ma  2 n a ma 2 1 tenemos: 
 
 
 
y mx n  
 
 
 
 donde m representa la pendiente de la recta y n es el valor de la ordenada para , por ello 
se llama ordenada en el origen. 
x  0
 
 Esta ecuación resulta muy cómoda siempre que conozcamos la pendiente de una recta, o si 
tratamos de resolver problemas de paralelismo. 
 
 
 
A partir de la pendiente, uno de los vecto-
res de dirección es 

u m ( , )1 , pues: 
 
 
tg    
u
u
u
u m
m2
1
2
1
1 1
 
 
 
 
Pendiente: m 
 
Vector de direccion: u (1 ,m)

 
 
 
 
 Variación de las inclinaciones según los valores de m 
 
y xy x 2
y
x

2
 
 
y
x
 
2
y x  y x 2
 
 
 Las gráficas muestran por sí solas los efectos de los cambios de pendiente: Las rectas son 
ascendentes si m y descendientes si  0 m  0 . Además su verticalidad aumenta a medida 
que lo hace m en valor absoluto. Como el valor de n no influye en la inclinación se ha supues-
to que . n  0
 
 Hay que exceptuar no obstante el caso de las rectas verticales. Al ser la inclinación   90º , 
no existe , y por ello, no pueden expresarse en forma explícita. tg º90
 
 Observación 
 
El vector 

u m ( , )1
x 2
 da una imagen geo-
métrica rápida de la inclinación. Por ejem-
plo, si , basta dibujar el vector di-
rector 
y

u1 1 2 ( , ) . Si la recta es y x 
2
3
 
un vector director es 

u2 1
2
3
 



, , y en 
caso de considerar molestas las componen-
tes fraccionarias tomamos, en vez de 

u2
)
, 
el vector , de componentes 3 2

u ( ,3 2 . 
 
 
 Otra forma de obtener la ecuación explícita de la recta es a partir de la ecuación general. Des-
pejando la y tenemos: 
 
Ax By C y
A
B
x
C
B
u
u
x
C
B
mx n        

  0 2
1
 
 
 
I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez 
 
Ecuación de la recta en forma segmentaria 
 
 Si una recta corta a los ejes en los puntos A a la igualdad: y B b( , ) ( , )0 0
 
 
 
x
a
y
b
1  
 
 
 
recibe el nombre de ecuación de la recta en forma segmentaria, ya que se obtiene en función de 
los segmentos orientados a y b. 
 
Ejemplo: Ecuación de la recta que pasa por B ( 4 , 6) y C ( 2 , 4)   en sus distintas for-
mas. ¿Qué ángulo forma la recta con el eje de abscisas? 
 
 
 
 
 
 Si cogemos el punto encima de B tenemos: X x y( , )
 
 Ec. Vectorial 
  
x c CX c t CB   
  
CB b c u
 
             
  
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,4 6 2 4 2 10
1
2
2 10 1 5)
( , ) ( , ) ( , )x y t
 Vector de dirección 
 
I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez 
 
     2 4 1 5 Ecuaciones paramétricas 
x t
y t
  
  



2
4 5
 
 ¿Qué significan las ecuaciones paramétricas? Significan que, para cada valor que le 
demos al parámetro “t” obtenemos un punto ( , )x y que pertenece a la recta, como se 
comprueba a continuación: 
 
I.E.S. Historiador Chabás -10- Juan Bragado Rodríguez 
 
t x y
 
  
 




1 0 1
0 5 1 9
0 2
0 5 3 1
1 4 6
15 5 11
2 6 1
'
'
'
4
4
6
 
 
 
 
x y


2
1
4
5
 Ecuación continua 
 
 5 14x 0y   Ecuación general o implícita 
 
 y x  5 14 Ecuación explícita 
 
 El ángulo que forma la recta con el eje de abscisas lo calculamos a través del vector 
de dirección. 
 

u    

     ( , ) tg arctg ( ) ' º1 5
5
1
5 5 101309  
 
 Si cogemos el punto X x y( , ) debajo de C tenemos: 
 
 Ec. Vectorial 
  
x b BX b t BC   
  
BC c b v
 
             
  
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,2 4 4 6 2 10
1
2
2 10 1 5)
( , ) ( , ) ( , )x
 Vector de dirección 
 
 y t   4 6 1 5 Ecuaciones paramétricas 
x t
y t
  
 



4
6 5
 
 
x y



4
1
6
5
 Ecuación continua 
 
 5 14x 0y   Ecuación general o implícita 
 
 y x  5 14 Ecuación explícita 
 
 El ángulo que forma la recta con el eje de abscisas lo calculamos a través del vector 
de dirección. 
 

v    

     ( , ) tg arctg ( ) ' º1 5
5
1
5 5 101309  
Ecuación normal de la recta 
 
Ecuación normal de la recta 
 
 
 
La ecuación de la recta que pasa por un pun-
to y es perpendicular a un vector puede ob-
tenerse a través del producto escalar. 
 
Sea P un punto de la recta r. Cualquier pun-
to X de la recta determina con P un vector 
. Si representamos por PX
  
n un vector per-
pendicular al vector director de la recta se 
verifica: 
 
 
 
PX n 0
 
  
 
 
 
Si son las coordenadas de los puntos X y P respectivamente y X x y y P p p( , ) ( , )1 2
n A B, ) ( , sustituyendo estas coordenadas en la expresión vectorial anterior, se tiene: 
 
PX n x p y p A B
 
      0 01 2( , ) ( , ) 
 
A x p B y p Ax By Ap Bp( ) ( )       1 2 10 02 
 
En la ecuación de la recta que hemos obtenido se observa que las componentes del vector per-
pendicular pasan a ser precisamente los respectivos coeficientes de x e y. Esta ecuación donde 
aparecen agrupados en un sólo miembro todos los términos recibe el nombre de ecuación gene-
ral. Si llamamos C al término independiente toma la forma: 
 
 
Ax By C 0   
 
 
Se tiene que 

n (A , B) es un vector perpendicular a la recta Ax By C 0   . 
 
Observación 
 
Conocido ya que los coeficientes de x e y forman un vector perpendicular, la ecuación general de 
la recta que pasa por y es perpendicular a P( , )5 4

n  ( , )2 3 puede obtenerse también así: 
 
I.E.S. Historiador Chabás -11- Juan Bragado Rodríguez 
 
I.E.S. Historiador Chabás -12- Juan Bragado Rodríguez 
 
0Basta poner    2 3x y c . 
 
Para hallar C imponemos que pase por : P( , )5 4
 
        2 5 3 4 0 2C C 
 
de donde la ecuación es    2 3 2x 0y . 
 
 
Ecuación normal canónica de la recta 
 
Si dividimos por el módulo del vector 

n la ecuación normal recibe el nombre de ecuación nor-
mal canónica de la recta. 
 
 


n
n
 
 
PX 0 
 
 
Para obtener la expresión analítica de la ecuación normal canónica dividiremos por el módulo 
del vector normal. 
 
 
 
A
A B
x
B
A B
y
C
A B
0
2 2 2 2 2 2
 

 

 
 
 
 
 
Resumen 
 
Ecuación explícita 
 
y mx n
Pasa por (0 , n)
Pendiente m
  





 



Vector director: v (1, m)
Vector perpendicular:n ( m ,1)

 
 
Ecuación general 
 
Ax By C 0
Vector director: v ( B , A)
Vector perpendicular: n (A , B)
Pendiente: m
A
B
   
 

 









 
 
Ecuaciones paramétricas 
 
x a t u
y a t u
1 1
2 2
 
 




Pasa por (a , a )
Vector director: v (u , u )
1 2
1 2







 




Pendiente: m
u
u
Vector perpend : n ( u , u )
2
1
2 1.

 
 
 
 
Posiciones relativas de dos rectas en el plano 
 
Si trazamos dos rectas cualesquiera en el plano puede ocurrir que: sean secantes, paralelas o co-
incidentes. Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto común, son paralelas si no tienen 
ningún punto común y son coincidentes si tienen todos los puntos comunes. 
 
Para averiguar si las rectas son secantes, paralelas o coincidentes hallaremos su intersección, 
resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones, de manera que: 
 
 Si tiene una solución las rectas se cortan. 
 
 Si no tiene solución las rectas son paralelas. 
 
 Si tiene infinitas soluciones las rectas son coincidentes. 
 
Dos rectas de distinta pendiente necesariamente se cortan y dos rectas cuya pendiente es la mis-
ma pueden ser paralelas o coincidentes. Veamos cómo saber la posición relativa de dos rectas sin 
necesidad de resolver el sistema que forman. 
 
 
 Forma explícita 
r: y mx n  
s: y m x n    
Forma implícita 
r: Ax By C 0   
s: A x B y C 0     
Paramétricas 
r: x p t d
  
  
s: x q t d
  
   
r y s Secantes m m  A
A
B
B


 
 
d k d  
r y s Paralelas m m y n n    A
A
B
B
C
C




 
    
d k d y p q k d    
r y s Coincidentes m m y n n    A
A
B
B
C
C




 
    
d k d y p q k d    
 
 
 
 
 
I.E.S. Historiador Chabás -13- Juan Bragado Rodríguez 
 
Ángulo de dos rectas 
 
A través de los vectores directores 
 
El ángulo formado por dos rectas es el formado por dos vectores directores de las mismas y pue-
de calcularse a través del producto escalar. 
 
Sean 
 
u y u los vectores directores de las rectas r y r respectivamente. 
 
 
Se llama ángulo formado por las rectas r y 
r al menor de los ángulos que determinan 
dichas rectas y coincide con el ángulo que 
forman sus vectores directores. 
 
cos( , ) cos( , ) cosr r u u
u u
u u
    
 
 
 
 
  
 
El valor absoluto del producto escalar asegura que el ángulo hallado es  90º . 
 
 
 
 
 
arccos
u u
u u
 
  
 
 
 
Sean las rectas r y r cuyas ecuaciones en su forma general son: 
 
r Ax By C u B
r A x B y C u B A
: (
: (
  A, )
, )
   
            
0
0

 
 
 
 
  
    
arccos
AA BB
A B A B2 2 2 2
 
 
 
Rectas perpendiculares 
 
Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman es de 90º. Entonces el producto 
escalar de sus vectores directores es cero 0, es decir: 
 
 
r r u u AA BB 0         
 
 
 
I.E.S. Historiador Chabás -14- Juan Bragado Rodríguez 
 
A través de las pendientes 
 
Sean 
 
u y u los vectores directores de las rectas r y r respectivamente. 
 
Se llama ángulo formado por dichas rectas secantes al menor de los ángulos que determinan di-
chas rectas y coincide con el ángulo que forman sus vectores directores. 
 
 
 
 
Sea la pendiente de la recta r  m tg 
 
Sea la pendiente de la recta 
r   m tg 
 
El ángulo formado por las rectas r y r es 
 
           180 180º º 
 
 
tg ( , ) tg tg ( )
tg tg
tg tg
r r
m m
m m
    

 

 
  
  
 
 1 1
 
 
 
 
 
 
  
arctg
m m
1 m m
 
 
 
 
donde m es la pendiente de la recta que tiene mayor inclinación (mayor ángulo) respecto del 
eje de abscisas. 
 
Rectas perpendiculares 
 
Si las rectas son perpendiculares, entonces   90º y tg     1 0m m , luego: 
 
 
 
  m
1
m
 
 
 
 
Ejemplo: Dado el triángulo de vértices A(2 , 4), B( 4 , 2) y C(0 , 0) , calcular los ángulos 
del triángulo. 
 
I.E.S. Historiador Chabás -15- Juan Bragado Rodríguez 
 
 
Para hallar las pendientes de las rectas 
calculamos primero las componentes 
de los vectores directores. 
 

v mAB AB    


( , )6 2
2
6
1
3
 
 

v mAC AC    


( , )2 4
4
2
2 
 

v mBC BC   

 ( , )4 2
2
4
1
2
 
 tg  arctg ºA
m m
m m
AAC AB
AC AB


 


 
   
1
2
1
3
1 2
1
3
1 1 45 
 
Para calcular el ángulo es preciso recordar que la fórmula de la tangente nos da el ángulo que 
forman las rectas orientado hacia el eje de abscisas, es decir en este caso 180 . 
B
º B
 
 
tg( º ) º  arctg( ) º  º180
1
1
2
1
3
1
1
2
1
3
1 180 1 135 45 

 

 
 




       B
m m
m m
B BBC AB
BC AB
 
 
 
Como , o también:    º  º (   ) º ( º º )A B C C A B          180 180 180 45 45 90º
 
 
tg  ºC
m m
m m
CBC AC
BC AC


 

 
 






   
1
1
2
2
1
1
2
2
5
2
0
90 
 
 
 
Distancia entre dos puntos 
 
Dados dos puntos A y B del plano, se llama distancia de A a B al módulo del vector . Si las 
coordenadas de A y B son respectivamente tenemos: 
AB
 
( , ) ( , )a a y b b1 2 1 2
 
 
 
I.E.S. Historiador Chabás -16- Juan Bragado Rodríguez 
 
 
 
d(A , B) AB (b a ) (b a )1 1
2
2 2
2     
 
 
 
 
La distancia entre dos puntos es siempre un número positivo o nulo por serlo el módulo de un 
vector. 
 
Distancia de un punto a una recta 
 
 
Dado un punto P y una recta r, llamamos 
distancia de P a r a la longitud del segmento 
perpendicular, trazado desde P a r. Se sim-
boliza por d y coincide con el módulo 
del vector , siendo Q el punto de inter-
sección de r con la recta perpendicular a r 
que pasa por P. 
P r( , )
PQ
 
 
d(P , r) PQ
 
 
 
Como el vector y el vector normal PQ
  
n de la recta tienen la misma dirección, su producto 
escalar es: 
  
n PQ n PQ n d P r A B d P Q        
   
cos º ( , ) ( , )0 2 2 
 
Como las coordenadas de los vectores son 

n y PQ
 
( , ) ( , )A B y x x y y1 0 1 0  tenemos: 
 

n PQ A B x x y y A x x B y y A x By A x By            
 
( , ) ( , ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 
 
Como se verifica: Q x y r( , )1 1 
 
 A x By C C A x By A x By C1 1 1 1 1 10           
 
es decir: 

n PQ A x By C    
 
0 0 
 
Igualando las dos expresiones del producto escalar: 
 
A B d P r A x By C d P r
A x By C
A B
2 2
0 0
0 0
2 2
        
 

( , ) ( , ) 
 
I.E.S. Historiador Chabás -17- Juan Bragado Rodríguez 
 
Al ser una distancia, desechamos los posible valores negativos. d P r( , )
 
 
 
d(P , r)
A x B y C
A B
0 0
2 2

 

 
 
 
 
Ejemplo: Hallar la distancia del punto a la recta P( 0 , 2)
x 1 t
y 2 3t
 
 



 
 Escribimos la ecuación de la recta en su forma general para aplicar la fórmula. 
 
 
x t
y t
x
y
x y
 
 



 


  
1
2 3
1
2
3
3 5 0 A B y C donde    3 1 5 
 
 
d 
   




3 0 1 2 5
3 1
3
10
0 9486
2 2
' 
 
 
 
Distancia entre dos rectas paralelas 
 
Para hallar la distancia entre dos rectas r y r  paralelas bastará considerar un punto cualquiera 
de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta. 
 
Sean r Ax By C y r Ax By C: :       0 0 dos rectas paralelas y distintas ( C C  ). 
 
Si es un punto de r, entonces: P x y( , )0 0
 
d r r d P r
A x By C
A B
C C
A B
( , ) ( , )   
  


 

0 0
2 2 2 2
 
 
 
 
ya que . A x By C0 0  
 
Por tanto, para hallar la distancia entre dos rectas paralelas basta hallar el valor absoluto de los 
términos independientes dividido por el módulo del vector normal. Para esto es preciso simplifi-
car las ecuaciones de las rectas de manera que ambas tengan los mismos coeficientes para las 
variables x e y. 
 
 
I.E.S. Historiador Chabás -18- JuanBragado Rodríguez 
 
Ejemplo: Hallar la distancia entre las rectas: 
 
 a)
r: 2x 3y 5 0
r : 2x 3y 7 0
b)
r:
x 2 3t
y 1 t
r :
x 3
3
y 5
1
  
   



 
 

















 
 
 
a) Lo primero es comprobar que las rectas son paralelas: 
2
2
3
3
5
7
 

 
 
 d 


7 5
2 32 2
 
12
13
3 3282' 
 
 
b) Ponemos las ecuaciones en la forma general: 
 
 r
x y
x y r x y: :




       
2
3
1
1
3 5 0 3 18 0 
 
 Como 
1
1
3
3
5
18
 

 las rectas son paralelas. 
 
 d 


 
18 5
1 3
23
10
7 2732
2 2
' 
 
 
Ejemplo: Halla un punto que diste 8 unidades de la recta x y 1 0   . 
 
 Es evidente que no podemos esperar una solución única. Sea cuya distan-
cia a la recta es 
P x y( ,0 0 )
8 . Debe verificarse: 
 
 8
1 1 1
1 1
1
2
1 160 0
2 2
0 0
0 0
   


 
   
x y x y
x y 4 
 
 La expresión entre barras debe ser 4 ó 4 . 
 
 x y0 0 1 4   en cuyo caso x y0 0 3 0   
 
 o bien 
 x y0 0 1 4   en cuyo caso x y0 0 5 0   
 
 Se obtienen las ecuaciones de dos rectas paralelas 
 
I.E.S. Historiador Chabás -19- Juan Bragado Rodríguez 
 
Ejemplo: El término independiente de la ecuación general Ax By C 0   cuando el 
vector 

n (A , B) es unitario, tiene una clara interpretación geométrica. Com-
prueba que la distancia de la recta r:Ax By C 0   al origen es precisamente 
C , si 

n (A , B) es unitario. 
 
  d P r A B C
A B
( , ) ,0 0
0 0
2 2

I.E.S. Historiador Chabás -20- Juan Bragado Rodríguez 
 
   


C
1
 
 
 
 
Lugares geométricos 
 
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada 
propiedad. 
 
 
Ejemplo: El lugar geométrico de los puntos del plano que distan r unidades de un punto fijo P 
es una circunferencia. 
 
 
Ejemplo: El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a P es inferior a r unida-
des es un círculo. 
 
 
Ejemplo: Dados los puntos A y B, cuya distancia es AB 2 , ¿cuál es el lugar geométrico 
de todos los puntos del plano que hacen que el área del triángulo APB sea la 
unidad? 
 
 
h  1 h  1
h  1
El lugar geométrico está formado por 
las rectas r y r . 
 
En efecto, como el área es: 
 
S
AB h h
h

 
2
2
2
 
 
El punto P ha de situarse de modo que 
la altura sobre AB sea 1. Esto da lugar 
a las rectas r y r . 
 
 
Ejemplo: Calcula el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el cuadrado de su 
distancia a la recta x y 2  sea igual al cuadrado de la suma de sus distancias 
a los ejes. 
 
 
 d P r
x y
d P x x d P y y( , ) ( , ) ( , )
 

   
2
1 1
0 0
2 2
 
 
 
 
x y
x y x y xy x y
 



        
2
2
6 4 4 4
2
2 2 2( ) 0 
 
 
 
 
I.E.S. Historiador Chabás -21- Juan Bragado Rodríguez 
 
Mediatriz de un segmento 
 
A x y( , )1 1 B x y( , )2 2
P x y( , )
Es el lugar geométrico de los puntos del 
plano que están a igual distancia (equidis-
tan) de los extremos del segmento. 
 
Este lugar geométrico es una recta perpendi-
cular al segmento por su punto medio y los 
puntos P del lugar geométrico verifican: 
 
 
PA PB 
 
 
 
Sea el segmento de extremos un punto cualquiera de la media-
triz. Se verifica: 
A x y B x y y P x y( , ), ( , ) ( ,1 1 2 2 )
 
d P A d P B x x y y x x y y( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) (        1
2
1
2
2
2
2
2) 
 
Elevando al cuadrado y simplificando se obtiene la ecuación de la mediatriz del segmento AB. 
 
Ejemplo: Calcula la mediatriz del segmento de extremos A(1, 2) y B(4 , 3) . 
 
 1er Método Aplicando la definición. 
 
 d P A d P B x y x y( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )        1 2 42 2 2 3 2
0
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y          1 2 4 3 3 102 2 2 2
 
 2o Método Ecuación de la recta perpendicular al segmento AB por el punto medio. 
 
 Punto medio del segmento AB  P( ' , ' )2 5 2 5
 
 Pendiente de r v m mAB AB AB AB
       ( , )3 1
1
3
3 
 
 Ecuación de la recta perpendicular al segmento AB por su punto medio: 
 
 y x x y       2 5 3 2 5 3 10 0' ( ' ) 
 
Bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas 
 
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que tiene por origen el vértice del ángulo, y divi-
de a éste en dos partes iguales. 
I.E.S. Historiador Chabás -22- Juan Bragado Rodríguez 
 
b1
b2
 
Bisectriz de un ángulo es el lugar geomé-
trico de los puntos del plano que están a 
igual distancia (equidistan) de las rectas 
que forman el ángulo. 
 
La propiedad que cumplen todos los puntos 
de la bisectriz es que: 
 
 
d(P , r) d(P , s) 
 
 
 
Sean r Ax By C y s A x B y C: :        0 0 las ecuaciones de dos rectas secantes y 
P x y( , ) un punto cualquiera de la bisectriz de uno de los ángulos que determinan las rectas. Por 
ser P un punto de la bisectriz se verifica: 
 
d P r d P s
Ax By C
A B
A x B y C
A B
( , ) ( , ) 
 


    
  2 2 2 2
 
 
Para que sea cierta la igualdad anterior se ha de cumplir: 
 
 
Ax By C
A B
A x B y C
A B
 


    
  2 2 2 2
y
Ax By C
A B
A x B y C
A B
 

 
    
  2 2 2 2
 
 
 
ya que cuando dos números a y b son iguales en valor absoluto: a b , o bien a b o bien 
a b  . 
 
Estas dos igualdades son las bisectrices que forman dos rectas secantes. 
 
 
b1
b2

2

2
 
Las bisectrices son dos rectas perpendicula-
res que se cortan en el mismo punto que r y 
s. 
 
Sean  y los ángulos que forman las 
rectas r y s. Evidentemente    180º . 
Como las bisectrices dividen a los ángulos 
en partes iguales, se tiene: 
 
 
 
2 2
1
2
1
2
180 90     ( ) º º 
 
I.E.S. Historiador Chabás -23- Juan Bragado Rodríguez 
 
Ejemplo: Dadas las rectas 12x 5y 10 0 y 4x 3y 0     calcular las ecuaciones de sus 
bisectrices. 
 
 
12 5 10
12 52 2
x y 
 ( )

4 3
4 32 2
x y
 ( )
 
 
I.E.S. Historiador Chabás -24- Juan Bragado Rodríguez 
 
 
12 5 10
12 52 2
x y 
 ( )
 4 3
4 32
x y
2

 ( )
 y 
12 5 10
12 52 2
x y 
 ( )
  
 
4 3
4 32 2
x y
( )
 
 
 
60 25 50 52 39
60 25 50 52 39
8 14 50 0
112 64 50 0
4 7 25 0
56 32 25 0
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
   
    



  
  



  
  



 
 La pendiente de la primera recta es 

v m    ( , )7 4
4
7
 
 
 La pendiente de la segunda recta es 

v m  ( , )32 56
56
32
7
4
 
 
 Se observa que    
4
7
7
4
1 Las dos bisectrices son perpendiculares. 
 
Incentro, Baricentro, Ortocentro y Circuncentro de un trián-
gulo. La recta de Euler 
 
Incentro: Es el punto donde se cortan las bisectrices de un triángulo y coincide con el 
centro de la circunferencia inscrita. 
 
Baricentro: Es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo y dista 2/3 del vérti-
ce y 1/3 de la base. 
 
Ortocentro: Es el punto donde se cortan las alturas de un triángulo. 
 
Circuncentro: Es el punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo y coincide con el 
centro de la circunferencia circunscrita. 
 
 
Leonard Euler (1707-1783) demostró que el 
baricentro (G), el ortocentro (H) y el cicun-
centro (M) de un triángulo están alineado. A 
dicha recta se le llama recta de Euler. 
 
Además se verifica que el baricentro está si-
tuado entre el ortocentro y el circuncentro, y 
a doble distancia del primero que del segun-
do. 
 
	Vector director de una recta
	Ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta
	Ecuación vectorial de la recta
	Ecuaciones paramétricas de la recta
	Ecuación de la recta en forma continua y general
	Ecuación continua de la recta
	Ecuación general de la recta
	Pendiente de una recta
	Ecuación punto pendiente de una recta
	Ecuación explícita de la recta
	Ecuación de la recta en forma segmentaria
	Ecuación normal de la recta
	Ecuación normal de la recta
	Ecuación normal canónica de la recta
	Resumen
	Posicionesrelativas de dos rectas en el plano
	Ángulo de dos rectas
	A través de los vectores directores
	A través de las pendientes
	Distancia entre dos puntos
	Distancia de un punto a una recta
	Distancia entre dos rectas paralelas
	Lugares geométricos
	Mediatriz de un segmento
	Bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas
	Incentro, Baricentro, Ortocentro y Circuncentro de un triángulo. La recta de Euler