Teoría-Geometría-analítica

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Geometría analítica 
1. Vectores fijos y libres en el plano 
Un vector fijo del plano, 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑, es un segmento orientado con origen en el punto A y extremo en 
el punto B. 
 
Los elementos de un vector fijo son: 
- Módulo de un vector es la distancia que separa a su origen de su extremo. Se representa 
por |𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑|. 
- Dirección de un vector es la dirección de la recta que pasa por su origen y por su extremo 
y la de todas sus paralelas. 
- Sentido de un vector es el que queda determinado al ir desde el origen al extremo. 
 
• Coordenadas de un vector dado por dos puntos: 
Las coordenadas del vector de origen el punto A (a1, a2) y de extremo B (b1, b2) son las del 
extremo menos las del origen. Es decir: 
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2) 
Ejemplo: Calcula las coordenadas del vector 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ de origen A (3, -1) y de extremo B (-1, 2). 
Coordenadas del vector: 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (−1 − 3, 2 − (−1)) = (−4,3) 
 
• Módulo de un vector: 
El módulo de un vector 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ calculado a partir de las coordenadas de su origen y de su extremo 
es: |𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑| = √(𝑏1 − 𝑎1)
2 + (𝑏2 − 𝑎2)
2. 
Para la demostración se representa 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑. El módulo de 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ es la hipotenusa del triángulo 
rectángulo que tiene por catetos b1 – a1 y b2 – a2. 
Aplicando el teorema de Pitágoras: |𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑| = √(𝑏1 − 𝑎1)
2 + (𝑏2 − 𝑎2)
2 
2 
 
Ejemplo: Calcula el módulo del vector de origen A (3, -1) y de extremo B (-1, 2). 
 
|𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑| = √(−1 − 3)2 + (2 − (−1))
2
= √16 + 9 = √25 = 5 
Como el módulo es 5, la distancia entre los puntos A y B también es 5. 
 
• Vector posición: 
Un vector posición es un vector fijo que tenga como origen el origen de coordenadas. Las 
coordenadas de un vector posición coinciden con las coordenadas de su extremo. 
 
• Vectores equipolentes: 
Dos vectores fijos no nulos 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ 𝑦 𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑ ⃑ son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, la misma 
dirección y el mismo sentido. Dos vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas. 
Ejemplo: Los vectores 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ 𝑦 𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑ ⃑ son equipolentes, ya que tienen el mismo módulo, la misma 
dirección y el mismo sentido. 
Sus coordenadas son iguales: 
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (−2 − 1, 0 − 2) = (−3,−2) 
𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (−1 − 2,−3 − (−1)) = (−3,−2) 
 
 
 
 
 
 
• Vectores libres del plano: 
El conjunto formado por todos los vectores equipolentes a un vector fijo dado se denomina 
vector libre. Se representa por �⃑� . 
3 
 
Cada vector fijo que pertenece a un vector libre es representante del vector libre. 
El módulo, dirección y sentido de un vector libre son el módulo, dirección y sentido de cualquiera 
de sus representantes. 
 
 
2. Operaciones con vectores. Combinación lineal 
Para sumar gráficamente dos vectores libres �⃑� 𝑦 𝑣 del plano se pueden usar procedimientos: 
1º: 
- Se toma un representante 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ de �⃑� y otro 𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ de 𝑣 , que tengan el mismo origen A. 
- Se construye el paralelogramo determinado por los vectores 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ 𝑦 𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑. El cuarto vértice 
del paralelogramo es el punto D. 
- La suma de vectores �⃑� + 𝑣 es el vector libre que tiene como representante al vector de 
origen A y de extremo D: 𝐴𝐷⃑⃑ ⃑⃑ ⃑. 
 
2º: 
- Se toma un representante 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ de �⃑� y otro 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ de 𝑣 de forma que el extremo del 
representante de �⃑� coincida con el origen del representante de 𝑣 . 
- La suma de vectores �⃑� + 𝑣 es el vector libre que tiene como representante al vector de 
origen A y extremo C: 𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ 
�⃑� 
�⃑� 
𝑣 
C 
B 
4 
 
 
Para hallar las coordenadas del vector suma �⃑� + 𝑣 se suman las coordenadas de �⃑� = (𝑢1, 𝑢2) 
con las de 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2). 
�⃑� + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2) 
Ejemplo: Se considera el triángulo de vectores A (-4, 3), b (5, 6) y C (-1, -3). Comprueba que la 
suma 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ + 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ = 𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑. 
Se calculan las coordenadas de cada vector: 
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (5 − (−4), 6 − 3) = (9, 3) 
𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (−1 − 5,−3 − 6) = (−6,−9) 
𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (−1 − (−4),−3 − 3) = (3,−6) 
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑ ⃑ + 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ = (9 − 6,3 − 9) = (3,−6) = 𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ 
Hemos comprobado que la suma es correcta. 
 
• Producto de un número por un vector: 
El producto de un número real k por un vector libre �⃑� es otro vector k�⃑� con los siguientes 
elementos: 
- El módulo es el producto del valor absoluto de k por el módulo de �⃑� : 
|𝑘�⃑� | = |𝑘| · |�⃑� | 
- La dirección es la dirección de �⃑� . 
- El sentido coincide con el sentido de �⃑� si k>0 y es contrario si k<0. 
Para hallar las coordenadas del vector 𝑘�⃑� se multiplican las dos coordenadas de �⃑� por k: 
𝑘�⃑� = 𝑘(𝑢1, 𝑢2) = (𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2) 
 
• Combinación lineal de vectores: 
Dos vectores �⃑� 𝑦 𝑣 son linealmente dependientes si tienen la misma dirección. En este caso, sus 
coordenadas son proporcionales: �⃑� = 𝑘𝑣 
 
El vector �⃑⃑� es combinación lineal de los vectores �⃑� y 𝑣 si se pueden encontrar dos números 
reales a y b, tales que: 
�⃑� 
𝑣 
5 
 
�⃑⃑� = 𝑎�⃑� + 𝑏𝑣 
Se dice que los vectores �⃑� , 𝑣 𝑦 �⃑⃑� son linealmente dependientes. 
Ejemplo: ¿Es el vector (-3, 4) combinación lineal de los vectores (1, 0) y (0, 1)? 
Es combinación lineal pues existen dos números reales, a = -3 y b = 4 que cumplen que: 
(−3,−4) = (−3)(1,0) + 4(0,1) 
 
• Punto medio de un segmento: 
Las coordenadas del punto medio M de un segmento AB son combinación lineal de las 
coordenadas de sus extremos. Si A (a1, a2) y B (b1, b2): 
𝑀(
𝑎1 + 𝑏1
2
,
𝑎2 + 𝑏2
2
) 
 
3. Producto escalar de dos vectores. Aplicaciones 
El producto escalar de dos vectores libres es el número que resulta de multiplicar los módulos 
de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman, es decir: 
�⃑� · 𝑣 = |�⃑� | · |𝑣 | · cos(�⃑� , 𝑣 ) 
El módulo de un vector también se puede definir como: |𝑢|⃑⃑⃑⃑ ⃑ = √�⃑� · 𝑣 . 
 
• Producto escalar conocidas las coordenadas: 
El producto escalar de los vectores �⃑� = (𝑢1, 𝑢2) y 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) es: 
�⃑� · 𝑣 = 𝑢1 · 𝑣1 + 𝑢2 · 𝑣2 
 
• Ángulo entre dos vectores: 
A partir del producto escalar de �⃑� 𝑦 𝑣 se puede calcular el coseno del ángulo que forman. 
El coseno del ángulo que forman los vectores �⃑� = (𝑢1, 𝑢2) y 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) es: 
cos(�⃑� , 𝑣 ) =
�⃑� · 𝑣 
|�⃑� | · |𝑣 |
=
𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2
√𝑢1
2 + 𝑢2
2√𝑣1
2 + 𝑣2
2
 
Ejemplo: Halla el ángulo que forman los vectores �⃑� = (4,3) 𝑦 𝑣 = (3,4). 
cos(�⃑� , 𝑣 ) =
𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2
√𝑢1
2 + 𝑢2
2√𝑣1
2 + 𝑣2
2
=
12 + 12
√16 + 9√9 + 16
=
24
25
 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 cos
24
25
= 𝑎𝑟𝑐 cos 0′96 = 16° 16′ 
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Dos vectores no nulos son perpendiculares cuando su producto escalar vale 0. 
 
4. Ecuaciones de la recta 
• Ecuación vectorial de la recta: 
Una recta del plano queda determinada si se conoce un punto A (a1, a2) y su vector director, es 
decir, un vector libre �⃑� = (𝑢1, 𝑢2) que lleva su dirección. 
Un punto X (x, y) pertenece a una recta r si los vectores 𝐴𝑋⃑⃑⃑⃑ ⃑ y �⃑� son proporcionales, es decir, 
existe t tal que 𝐴𝑋⃑⃑⃑⃑ ⃑ = 𝑡 · �⃑� . 
Utilizando vectores de posición se cumple que: 
𝐴𝑋⃑⃑⃑⃑ ⃑ = 𝑂𝑋⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ − 𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑ → 𝑂𝑋⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ − 𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑ = 𝑡�⃑� → 𝑂𝑋⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = 𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑ + 𝑡�⃑� 
La ecuación vectorial de la recta sería: (𝑥, 𝑦) = (𝑎1, 𝑎2) + 𝑡(𝑢1, 𝑢2), 𝑐𝑜𝑛 𝑡ϵ𝑅. 
Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por A (2, -1) y tiene como dirección la 
del vector �⃑� = (3,−2). 
Sustituimos: (𝑥, 𝑦) = (2,−1) + 𝑡(3,−2) 
 
• Ecuaciones paramétricas de la recta: 
Al operar en la ecuación vectorial e igualar, se obtienen las ecuaciones paramétricas. 
Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A (a1, a2) y tiene como dirección 
 �⃑� = (𝑢1, 𝑢2) son: {
𝑥 = 𝑎1 + 𝑡𝑢1
𝑦 = 𝑎2 + 𝑡𝑢2
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡𝜖𝑅 
Ejemplo: Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por A(-1,5) y lleva la dirección 
del vector �⃑� = (−2,3) 
Se sustituyen las coordenadas delpunto y del vector director: {
𝑥 = −1 − 2𝑡
𝑦 = 5 + 3𝑡
, 𝑡𝜖𝑅 
 
• Ecuación continua de la recta y ecuación general: 
Al despejar e igualar el parámetro t en las paramétricas se obtiene la ecuación continua. 
La ecuación continua que pasa por A (a1, a2) y tiene como dirección �⃑� = (𝑢1, 𝑢2) es: 
𝑥 − 𝑎1
𝑢1
=
𝑦 − 𝑎2
𝑢2
 
Transformando la ecuación continua para escribir todos los términos en el primer miembro se 
obtiene la ecuación general. 
𝑥 − 𝑎1
𝑢1
=
𝑦 − 𝑎2
𝑢2
→ 𝑢2(𝑥 − 𝑎1) = 𝑢1(𝑦 − 𝑎2) → 𝑢2𝑥 − 𝑢1𝑦 − 𝑢2𝑎1 + 𝑢1𝑎2 = 0 → 
→ 𝐴 = 𝑢2, 𝐵 = −𝑢1, 𝐶 = −𝑢2𝑎1 + 𝑢1𝑎2 → 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
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La ecuación general de la recta es de la forma: Ax + By + C = 0 
El vector �⃑� = (𝐴, 𝐵) se llama vector normal y es perpendicular al vector director de la recta. 
Ejemplo: Halla las ecuaciones continua y general de la recta r que pasa por A (3, -2) y lleva la 
dirección del vector �⃑� = (−2,3). 
Continua: 
𝑥−3
−2
=
𝑦+2
3
 General: 3𝑥 − 9 = −2𝑦 − 4 → 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0. 
 
• Ecuación explícita. Pendiente y ordenada en el origen: 
Al despejar y en la ecuación general se obtiene la ecuación explícita: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
m es la pendiente de la recta y representa la tangente del ángulo α que forma la recta con la 
parte positiva del eje X: 𝑚 = 𝑡𝑔 α =
𝑢2
𝑢1
 
n es la ordenada en el origen y representa el punto de corte de la recta con el eje de las 
ordenadas x = 0. 
 
• Ecuación punto-pendiente: 
La ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto A (a1, a2) y tiene por pendiente 
m es: 𝑦 − 𝑎2 = 𝑚(𝑥 − 𝑎1). 
Ejemplo: Halla la ecuación de la recta punto-pendiente si el vector director es (3,1) y pasa por el 
punto (0,2). 
La pendiente es 𝑚 =
𝑢1
𝑢2
=
1
3
, por tanto la ecuación es: 𝑦 − 2 =
1
3
· (𝑥 − 0) 
 
5. Problemas de incidencia 
• Posición relativa de dos rectas en el plano: 
- Secantes: 
Son secantes cuando tienen un único punto en común. Sus vectores directores no son 
proporcionales, es decir, las rectas tienen distinta dirección y, por tanto, distinta pendiente. 
Son secantes si 𝑚 ≠ 𝑚′, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖
𝐴
𝐴′
≠
𝐵
𝐵′
 
 
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- Paralelas: 
Cuando no tienen ningún punto en común. Sus vectores directores son proporcionales. Las 
rectas tienen la misma pendiente y diferente ordenada en el origen. 
Son paralelas si 𝑚 = 𝑚′, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛 ≠ 𝑛′, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖
𝐴
𝐴′
=
𝐵
𝐵′
=
𝐶
𝐶′
. 
 
 
- Coincidentes: 
Cuando tienen infinitos puntos en común. Sus vectores directores son proporcionales y las 
rectas pasan por un mismo punto, es decir, tiene la misma pendiente y la misma ordenada en el 
origen. 
Son coincidentes si 𝑚 = 𝑚′𝑦 𝑛 = 𝑛′, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖 
𝐴
𝐴′
=
𝐵
𝐵′
=
𝐶
𝐶′
. 
 
 
• Rectas paralelas a una dada: 
Dada la recta de ecuación general Ax + By + C = 0, todas las rectas paralelas a ella tienen por 
ecuación: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑘 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙. 
 
• Rectas perpendiculares a una dada: 
Dada la recta de ecuación general Ax + By + C = 0, todas las rectas perpendiculares a ella tienen 
por ecuación: 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦 + 𝑘 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.