GUIA 13 EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 13: EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES 
 
Una expresión radical es, en general, toda raíz indicada de una cantidad. Si la raíz 
indicada es exacta, se tiene una cantidad racional, y si no lo es, irracional. 
 
I. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES 
Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión. Un radical está reducido 
a su más simple expresión cuando la cantidad subradical es entera y del menor 
grado posible (el exponente de la cantidad subradical son menores que el índice de 
la raíz). 
 
EJEMPLO 1. Simplificación de un radical 
Veamos cómo se simplifican las siguientes expresiones irracionales. 
 
𝑎) √9𝑥3 = √32𝑥2𝑥 = √32√𝑥2√𝑥 = 3𝑥√𝑥 
 
𝑏) 3√72𝑎4𝑏5 = 3√2 ∙ 62𝑎4𝑏4𝑏 = 3 ∙ 6𝑎2𝑏2√2𝑏 = 18𝑎2𝑏2√2𝑏 
 
𝑐) 2√16𝑥4𝑦5
3
= 2√2 ∙ 23𝑥3𝑥𝑦3𝑦2
3
= 2 ∙ 2𝑥𝑦 √2𝑥𝑦2
3
= 4𝑥𝑦 √2𝑥𝑦2
3
 
 
EJEMPLO 2. Simplificación de un radical 
En algunos casos se puede presentar el caso en que tanto el índice de la raíz como 
los factores de la cantidad subradical tienen un divisor común. En ese caso, lo que 
se hace es dividir el índice de la raíz y los exponentes de los factores entre su divisor 
común. Lo vemos en los siguientes ejemplos. 
 
𝑎) √16𝑥2
4
= √24𝑥2
4
= 24 4⁄ 𝑥2 4⁄ = 2𝑥1 2⁄ = 2√𝑥 
 
𝑏) √𝑎2𝑏2𝑥2
6
= 𝑎2 6⁄ 𝑏2 6⁄ 𝑥2 6⁄ = 𝑎1 3⁄ 𝑏1 3⁄ 𝑥1 3⁄ = √𝑎𝑏𝑥
3
 
 
𝑐) √256𝑥16
8
= √28𝑥16
8
= 28 8⁄ 𝑥16 8⁄ = 2𝑥2 
 
II. INTRODUCCIÓN DE CANTIDADES BAJO EL SIGNO RADICAL 
En algunas ocasiones es necesario aplicar la operación inversa a la simplificación de 
racionales. Para introducir el coeficiente de una expresión radical bajo el signo de 
raíz, se eleva dicho coeficiente a la potencia que indique el índice del radical. 
2 
 
EJEMPLO 3. Introducción de cantidades en una raíz 
En cada caso, introducir el coeficiente dentro del radical en los casos siguientes. 
 
𝑎) 3√𝑥 = √32𝑥 = √9𝑥 
 
𝑏) 2𝑎2 √𝑎2𝑏
3
= √(2𝑎2)3𝑎2𝑏
3
= √8𝑎8𝑏
3
 
 
𝑐) 3𝑥 √𝑥2
4
= √(3𝑥)4𝑥2
4
= √81𝑥6
4
 
 
III. SUMA Y RESTA DE RADICALES 
Se simplifican los radicales dados; se reducen los radicales semejantes y a 
continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo. 
 
EJEMPLO 4. Suma y resta de radicales 
En cada caso, simplificar las expresiones algebraicas irracionales. 
 
𝑎) √18𝑥3 + 4√2𝑥3 − 𝑥√50𝑥 = √2 ∙ 32𝑥2𝑥 + 4√2𝑥2𝑥 − 𝑥√2 ∙ 52𝑥 
 
= 3𝑥√2𝑥 + 4𝑥√2𝑥 − 5𝑥√2𝑥 = 2𝑥√2𝑥 
 
𝑏) 8√𝑎5 − √4𝑎5 + 𝑎2√25𝑎 − 3√𝑎5 = 8√𝑎4𝑎 − √22𝑎4𝑎 + 𝑎2√52𝑎 − 3√𝑎4𝑎 
 
= 8𝑎2√𝑎 − 2𝑎2√𝑎 + 5𝑎2√𝑎 − 3𝑎2√𝑎 = 8𝑎2√𝑎 
 
𝑐) √
𝑥
8
+ √
2𝑥
27
−
1
4
√
𝑥
2
− √
2𝑥
75
= √
𝑥
2 ∙ 22
+ √
2𝑥
3 ∙ 32
−
1
4
√
𝑥
2
− √
2𝑥
3 ∙ 52
 
 
=
1
2
√
𝑥
2
+
1
3
√
2𝑥
3
−
1
4
√
𝑥
2
−
1
5
√
2𝑥
3
=
1
4
√
𝑥
2
+
2
15
√
2𝑥
3
 
 
IV. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES 
Para la multiplicación de radicales se usa la propiedad distributiva y se simplifican 
los radicales, si es posible. 
 
EJEMPLO 5. Multiplicación de radicales 
En cada caso, multiplicar las expresiones algebraicas irracionales. 
 
𝑎) (5√𝑥 − 7) × √𝑥 = 5√𝑥2 − 7√𝑥 = 5𝑥 − 7√𝑥 
3 
 
𝑏) (√𝑎 + 2 + 2√𝑎) × (√𝑎 + 2 − 3√𝑎) 
 
V. DIVISIÓN DE RADICALES 
Se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, escribiendo 
ese último cociente debajo de la raíz y se simplifica el resultado, si es posible. 
 
EJEMPLO 6. División de radicales 
En cada caso, dividir las expresiones algebraicas irracionales. 
𝑎) 2√81𝑥7
3
÷ 3√3𝑥2
3
=
2
3
√
81𝑥7
3𝑥2
3
=
2
3
√27𝑥5
3
=
2
3
√33𝑥3𝑥2
3
= 2𝑥 √𝑥2
3
 
𝑏) 6√𝑥5𝑦7 ÷ 2√𝑥𝑦3 =
6
2
√
𝑥5𝑦7
𝑥𝑦3
= 3√𝑥4𝑦4 = 3𝑥2𝑦2 
 
EJERCICIOS 
En los ejercicios 1 a 6 simplifique los radicales dados. 
 
1. √49𝑎3𝑏5 2. √16𝑥4𝑦7
 3
 3. 2√75𝑎5𝑏3 
4. √𝑚5𝑛9
4
 5. 3√32𝑥5𝑧13
4
 6. 8𝑎√72𝑎7 
 
En los ejercicios 7 a 12 introduzca los coeficientes en los radicales dados. 
 
7. 3𝑎√2𝑎 8. 𝑎𝑏2 √𝑎2𝑏
3
 9. 5𝑎√3𝑎3 
10. 2𝑎2𝑏2 √𝑎2𝑏
3
 
11. (𝑥 + 𝑦)√
2
𝑥 + 𝑦
 12. (𝑥 − 1)√
3
𝑥 − 1
 
 
En los ejercicios 13 a 20 realice las operaciones con los radicales dados. 
 
13. √32𝑥3 + 4√18𝑥3 − 𝑥√8𝑥 
14. √54𝑎4
3
+ 2𝑎 √16𝑎
3
− √250𝑎4
3
 
4 
 
15. 3𝑥√75 − 2𝑥√20 + √45𝑥2 − 𝑥√48 
16. (4√𝑥 − 7√2𝑥) × √𝑥 
17. (√𝑥 + 3 + 2√𝑥) × (√𝑥 + 3 − 2√𝑥) 
18. (√𝑎 + 4 + 2√𝑎 + 3) × (√𝑎 + 4 − 2√𝑎 + 3) 
19. 12√16𝑥7𝑦10
3
÷ 3√2𝑥5𝑦7
3
 
20. 5√𝑚5𝑛7 ÷ 2√𝑚3𝑛3