GUIA 28 CLASES DE FUNCIONES

Vista previa del material en texto

1 
 
 
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUIA 28: CLASES DE FUNCIONES 
 
Clasificaciones de funciones 
La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos matemáticos de 
los siglos XVII y XVIII. Mención especial merece Leonhard Euler, a quien debemos la 
notación y = f(x). Hacia finales del siglo XVIII, los matemáticos y científicos habían 
llegado a la conclusión de que un gran número de fenómenos de la vida real podían 
representarse mediante modelos matemáticos, construidos a partir de una colección 
de funciones denominadas funciones elementales. 
Estas funciones se dividen en tres categorías. 
 
1. Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales). 
2. Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.). 
3. Funciones exponenciales y logarítmicas. 
 
Iniciaremos nuestro estudio con las funciones polinómicas. Más adelante abordaremos 
las otras clases de funciones. 
El tipo más común de función algebraica es la función polinomial 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 
 
donde n es un entero no negativo. Las constantes 𝑎𝑖 son coeficientes siendo 𝑎𝑛 el 
coeficiente dominante y 𝑎0 el término constante de la función polinomial. Si 𝑎𝑛 ≠ 0, 
entonces n es el grado de la función polinomial. Aunque se suelen utilizar subíndices 
para los coeficientes de funciones polinomiales en general, para las de grados más 
bajos se utilizan con frecuencia las siguientes formas más sencillas. (Notar que a  0.) 
 
Grado cero: 𝑓(𝑥) = 𝑎 Función constante. 
Grado uno: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 Función lineal. 
Grado dos: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Función cuadrática. 
Grado tres: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 Función cúbica. 
 
Aunque la gráfica de una función polinomial no constante puede presentar varias 
inflexiones, en algún momento ascenderá o descenderá sin límite al moverse x hacia 
la izquierda o hacia la derecha. Se puede determinar qué ocurre en la gráfica de f(x) 
y veremos que eventualmente crece o decrece a partir del grado de la función (par o 
impar) y del coeficiente dominante 𝑎𝑛, como se indica en la figura. Observe que las 
 
2 
 
regiones punteadas muestran que la prueba o el criterio del coeficiente dominante 
sólo determina el comportamiento a la derecha y a la izquierda de la gráfica. Lo que 
ocurre en la zona punteada lo estudiaremos en detalle, aplicando el concepto de 
derivada de una función. 
 
 
 
Funciones pares o impares 
En la terminología de funciones, se dice que una función es par si su gráfica es simétrica 
respecto al eje y, y se dice que es impar si su gráfica es simétrica con respecto al origen. 
Más exactamente, tenemos los siguientes criterios: 
 
FUNCIONES PARES E IMPARES 
La función y = f(x) es par si 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙). 
La función y = f(x) es impar si 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙). 
 
EJEMPLO 1. Funciones pares o impares 
Determinar si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de ambas. 
𝒂) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐 𝒃) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 𝒄) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 
 
Solución 
Lo que se hace es sustituir x por ─x: 
 
𝒂) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐 
𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟐 − 𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝒇(𝒙) 
La función es par. 
 
𝒃) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 
𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟑 − (−𝒙) = −𝒙𝟑 + 𝒙 = −(𝒙𝟑 − 𝒙) = −𝒇(𝒙) 
La función es impar 
 
𝒂) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 
𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟐 + (−𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 
La función no es par ni impar 
 
3 
 
 
 Gráfica de f(x) = x
2
 – 2 Gráfica de f(x) = x
3
 – x Gráfica de f(x) = x
2
 + x 
 
Si observamos las gráficas, vemos que la primera es simétrica con respecto al eje y, la 
segunda es simétrica con respecto al origen, mientras que la tercera no es simétrica ni 
con relación al eje y ni con relación al origen. 
 
Función a trozos 
Las funciones definidas a trozos (o función a trozos o función por partes) son aquellas 
que tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el 
que se encuentra la variable independiente (x). 
 
EJEMPLO 2. Gráfica de una función a trozos 
Realice la gráfica de la función definida por partes: 
 
𝒇(𝒙) = {
𝒙 𝒔𝒊 − ∞ < 𝒙 < 𝟏
𝟐 𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒
𝟓 − 𝒙 𝒔𝒊 𝟒 < 𝒙 < ∞
 
 
Solución 
 
 
Se observa que: Dom (f) = R y Ran (f) = (─∞, 1)  {2} 
 
 
4 
 
EJEMPLO 3. Evaluación en una función a trozos 
Evaluar la función a trozos del ejemplo 2, en los siguientes valores de x. 
a) f(–3) b) f(0) c) f(3) d) f(8) 
 
Solución 
a) x = –3 se encuentra en el primer intervalo, luego usamos f(x) = x: f(–3) = –3. 
b) x = 0 se encuentra en el primer intervalo, luego usamos f(x) = x: f(0) = 0. 
c) x = 3 se encuentra en el segundo intervalo, luego usamos f(x) = 2: f(3) = 2. 
a) x = 8 se encuentra en el tercer intervalo, luego usamos f(x) = 5 – x: f(8) = –3. 
 
EJEMPLO 4. Gráfica de una función a trozos 
Realice la gráfica de la función definida por partes. Hallar el dominio y el rango. 
¿Cuánto valen f(0) y f(5)? 
 
𝒇(𝒙) = {
𝟐 − 𝒙 𝒔𝒊 − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟏
𝒙
𝟒
+
𝟕
𝟒
𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓
 
 
Solución 
 
 
El dominio de la función es Dom (f) = [─2, 5] y el rango es Ran (f) = (1, 4]. 
f(0) = 2 – 0 = 2. 
f(5) = 5/4 + 7/4 = 12/4 = 3. 
 
Función constante 
La función constante es la función polinómica de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎, donde a es un 
número real. Su gráfica es una línea recta horizontal. 
 
EJEMPLO 5. Gráfica de una función constante 
La gráfica de la función f(x) = 3 es 
 
5 
 
 
 
Función inyectiva, función sobreyectiva y función biyectiva 
Una función de X en Y es inyectiva (o uno a uno) si a cada valor de y perteneciente 
al recorrido o rango le corresponde exactamente un valor x del dominio. Por 
ejemplo, la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 es inyectiva, mientras que la función 𝑦 =
𝑓(𝑥) = √25 − 𝑥2 no lo es. Para esta función se tiene, por ejemplo que 𝑓(−3) = 𝑓(3) =
4. 
Se dice que una función de X a Y es suprayectiva (o sobreyectiva) si su recorrido es 
todo Y. 
Una función de X en Y es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva 
simultáneamente. 
 
La función de la gráfica 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 no es inyectiva: hay tres valores de x que 
tienen la misma imagen: 
𝒇(−𝟐) = 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟐) = 𝟎 
 
EJERCICIOS 
En los ejercicios 1 a 6, determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos. 
 
𝟏. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐(𝟒 − 𝒙𝟐) 𝟐. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙 𝟑. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 
𝟒. 𝒇(𝒙) = 𝒙(𝒙𝟑 − 𝒙) 𝟓. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 − 𝒙𝟐 𝟔. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 
 
 
6 
 
En los ejercicios 7 y 8 evaluar: (a) f(0), (b) f(3), (c) f(5) y (d) f(─2). 
 
𝟕. 𝒇(𝒙) = {
𝟐𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟎
𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎
 𝟖. 𝒇(𝒙) = {
𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟏
𝒙𝟐 + 𝟏 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟒
𝟑𝒙 − 𝟓 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟒
 
 
En los ejercicios 9 a 12 realizar la gráfica de cada función. Dé el dominio y el rango 
de cada una. 
 
𝟗. 𝒇(𝒙) = {
𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟏
𝒙𝟐 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟏
−𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏
 𝟏𝟎. 𝒇(𝒙) = {
𝟐 − 𝒙 𝒔𝒊 − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟏
𝟏 𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒
𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊 𝟒 < 𝒙 < 𝟖
 
 
𝟏𝟏. 𝒇(𝒙) = {
𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟏
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟏
 𝟏𝟐. 𝒇(𝒙) = {𝒙
𝟐 − 𝟐 𝒔𝒊 − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒