Ejercicios S13 CD - Valores Maximos y Minimos

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Facultad de Ciencias Naturales e Ingeniería 
Área Académica de Ciencias Básicas y Modelado 
502116 CÁLCULO DIFERENCIAL 
Ejercicios Semana 13: Valores máximos y mínimos – Criterio de la primera derivada 
SECCIÓN DE EJERCICIOS TOMADOS DE STEWART, J. (2012). CÁLCULO DE UNA VARIABLE. TRASCENDENTES TEMPRANAS. 
SÉPTIMA EDICIÓN. CENGAGE LEARNING. MÉXICO.13 
1) Utilice la gráfica para establecer los valores máximos y mínimos absolutos y locales de la función. 
a) 
 
b) 
 
2) Trace la gráfica de 𝑓 y utilícela para encontrar los valores máximos y mínimos, absolutos y locales 
de 𝑓. 
a. 𝑓(𝑥) =
1
2
(3𝑥 − 1), 𝑥 ≤ 3 b. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 , 0 < 𝑥 ≤
𝜋
2
 
c. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
, 1 < 𝑥 < 3 d. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
e . 𝑓(𝑥) = |𝑥| f. 𝑓(𝑥) = ln 𝑥, 0 < 𝑥 ≤ 2 
g . 𝑓(𝑥) = 1 − √𝑥 h. 𝑓(𝑥) = {
 1 − 𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2
2𝑥 − 4 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 3
 
3) Encuentre los números críticos de la función. 
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 b. 𝑔(𝜃) = 2 cos 𝜃 + sin2 𝜃 
c. ℎ(𝑝) =
𝑝 − 1
𝑝2 + 4
 d. ℎ(𝑡) = 𝑡3 4⁄ − 2𝑡1 4⁄ 
e . 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 ln 𝑥 f. 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑒−3𝑥 
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4) Encuentre los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de 𝑓 sobre el intervalo dado. 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 5, [−3,5] b. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 4𝑥3 − 12𝑥2 + 1, [−2,3] 
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
𝑥
, [0.2, 4] d. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥
2 8⁄ , [−1, 4] 
e. 𝑓(𝑡) = 𝑡√4 − 𝑡2, , [−1, 2] f. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 𝑥 + 1), [−1, 1] 
g. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 tan−1 𝑥, [0, 4] h. 𝑓(𝑡) = 2 cos 𝑡 + sin 2𝑡 , [0,
𝜋
2
] 
5) Pregunta con apoyo de GeoGebra. 
a) Utilice una gráfica para estimar los valores máximo y mínimo absolutos de la función con una 
aproximación de dos decimales. 
b) Por medio del cálculo encuentre los valores máximos y mínimos exactos. 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥3 + 2, − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 cos 𝑥 , − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0 
c. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 d. 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 − 𝑥2 
6) En los ejercicios i) y ii), se muestran las gráficas de la derivada 𝑓′ de una función 𝑓. 
a. ¿Sobre qué intervalos 𝑓 crece o decrece? 
b. ¿En qué valores de 𝑥, 𝑓 tiene un máximo o mínimo local? 
i) 
 
ii) 
 
7) Entre 0℃ y 30℃, el volumen 𝑉 (en centímetros cúbicos) de 1 𝑘𝑔 de agua a una temperatura 𝑇, 
está dado aproximadamente por la fórmula 
𝑉 = 999.87 − 0.06426𝑇 + 0.0085043𝑇2 − 0.0000679𝑇3 
Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad máxima. 
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8) Un modelo para el precio promedio en EU de una libra de azúcar blanca desde 1993 a 2003 está 
dado por la función 
𝐴(𝑡) = −0.00003237𝑡5 + 0.0009037𝑡4 − 0.008956𝑡3 + 0.03629𝑡2 − 0.04458𝑡 + 0.4074 
donde 𝑡 es medido en años desde agosto de 1993. Estime los tiempos cuando el azúcar era más 
barata y más cara durante el periodo 1993-2003. 
PARA CONSULTAR … ¿Puntos de Inflexión? ¿Concavidad? 
9) Utilice la gráfica de 𝑓 para encontrar lo siguiente. 
a. Los intervalos abiertos sobre los que 𝑓 es creciente. 
b. Los intervalos abiertos sobre los que 𝑓 es decreciente. 
c. Los intervalos abiertos sobre los que 𝑓 es cóncava hacia arriba. 
d. Los intervalos abiertos sobre los que 𝑓 es cóncava hacia abajo. 
e. Las coordenadas de los puntos de inflexión. 
i) 
 
ii) 
 
10) Teniendo en cuenta la gráfica de la función 𝑔, que se muestra a continuación, señale los enunciados 
que sean verdaderos; justique su elección. 
 
A. El valor mínimo absoluto que toma la 
función 𝑔, es −1.54. 
B. La función 𝑔 es creciente en los intervalos 
(−2, 1) y (4, ∞). 
C. En el punto (−3.18, 2.43), 𝑔 tiene un 
máximo local 
D. Un punto de inflexión de 𝑔 es en 
(−0.44, 1.25). 
E. En el punto (2.87, 5), hay cambio de 
concavidad en 𝑔.