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1.1.16.5 Distancia entre dos puntos. La circunferencia 
 
Considérense, en el plano cartesiano, dos puntos: y Q . ),( 11 yxP ),( 22 yx
 
En el caso en que y 21 xx < 21 yy < , puede construirse el triángulo PAQ, con 
. Véase la figura ),( 21 yxA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El triángulo PAQ es rectángulo, con PQ como hipotenusa. 
 
La distancia entre P y Q es la longitud de PQ . El Teorema de Pitágoras lleva a: 
 
2
21
2
21 )()(),( yyxxQPd −+−= 
 
Es fácil probar que esta fórmula es válida con independencia de las relaciones entre x1 y 
x2 y entre y1 y y2. 
 
 
Ejemplo: 
 
Calcúlese la distancia entre los puntos )2,1(−A y ( . )2,3
 
Solución 
 
Considérese un punto C y un real positivo r. ),( kh
 
El conjunto de los puntos del plano cuya distancia a C es r se denomina circunferencia 
de centro C y radio r. 
 
Sea un punto cualquiera de la circunferencia. ),( yxP
 
Así, rCPd =),( 
 
Es decir, rkyhx =−+− 22 )()( 
 
De esta ecuación se obtiene: 
( ) ( ) 222 rkyhx =−+− 
 
Esta última, se conoce como ecuación de la circunferencia de centro C y radio r. 
 
 
Ejemplo: 
 
Encuéntrese la ecuación de la circunferencia que pasa por )1,3( −A y tiene centro 
. )3,2( −−C
 
Solución (Véase la figura ) 
 
El cuadrado del radio es: 
( )( ) ( )( )222 1323 −−−+−−=r 
 292 =r
 
La ecuación de la circunferencia es: 
( ) ( ) 2932 22 =+++ yx 
 
Ejercicio: 
 
Encuéntrese la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: , 
y C 
)8,2(−A )3,3(B
)7,1(
 
Respuesta: 
( ) ( ) 2532 22 =−++ yx