Tema 4 - Clase 3

Vista previa del material en texto

Tema 4: Elección Inter temporal de consumo y mercado de crédito 
 
CLASE 3 
 
Análisis de cambios en los ingresos y en la tasa de interés 
 
Analizaremos el impacto sobre el patrón de consumo intertemporal de los siguientes cambios: 
• Cambio temporario del ingreso: sube y1 e y2 no cambia 
• Cambio esperado del ingreso futuro: y1 no cambia e y2 sube 
• Cambio permanente del ingreso: suben y1 e y2 en la misma cantidad 
• Aumento de la tasa de interés real r1 
En todos los casos supondremos que antes del cambio la demanda óptima de bonos era b∗1 = 0, por 
lo que el consumidor no era ni deudor ni acreedor. También usaremos que tanto c1 como c2 son 
bienes normales. Esto es, el consumidor decidirá demandar más de ambos bienes ante un cambio 
que genere un aumento de su riqueza. 
 
Suba temporaria del ingreso corriente: ↑ y1, ȳ2 
La Figura 4 muestra la canasta óptima de consumo cuando el ingreso del peŕıodo 1 sube de y1 a ŷ1 
y el ingreso en el segundo peŕıodo no cambia. La elección óptima inicial es en el punto A, donde el 
1 1 + β 
1 + r1 1 + β 
1 1 + β 
β (1 + r1) 1 + β 
 
 
 
 
Figura 4: Aumento temporario del ingreso 
 
consumidor no es deudor ni acreedor. Luego del aumento del ingreso corriente, el punto de dotación 
se mueve de A hacia B. Llamemos ∆y1 = ŷ1 − y1 > 0 al cambio en el ingreso. Si el consumidor 
usase todo ese ingreso adicional para aumentar el consumo en el primer peŕıodo, la canasta de 
consumo seŕıa la del punto B. Sin embargo, como c1 y c2 son bienes normales, el consumidor usará 
su mayor riqueza para consumir más de ambos bienes. La canasta de consumo óptima se encuentra 
en el punto C, que consiste en incrementar c1 en una cantidad menor a la suba del ingreso ∆y1. La 
diferencia entre los cambios del ingreso y del consumo se asigna a acumular activos para financiar 
un mayor consumo futuro. En otras palabras, el consumidor ahorra parte de su mayor ingreso para 
suavizar su sendero de consumo intertemporal. 
Consideremos el ejemplo con utilidad logar´ıtmica. Usando que ∆y2 = 0 y ∆y1 > 0, las demandas 
(13), (14) y (15) implican los siguientes cambios para el consumo y el ahorro 
∆c∗ = 
 1 
∆y 
+
 ∆y2 
 
=
 ∆y1 
< ∆y
 
 
∆c∗ = 
β 
[∆y (1 + r ) + ∆y ] = 
β (1 + r1) ∆y > 0 
2 1 + β 1 1 2 1 + β 1 
∆b∗ = 
 β 
 
∆y —
 ∆y2 
= 
β∆y1 
> 0.
 
Naturalmente, si dividimos las ecuaciones anteriores por ∆y1 obtenemos las derivadas parciales de 
c1, c2 y b1 con respecto a un cambio en el ingreso corriente y1 manteniendo constante el ingreso 
1 
1 
1 
1 1 + β 1 + r1 1 + β 1 + r1 
1 1 + β β (1 + r1) 
futuro, 
∂c∗1 
 
∂y1 
∂b∗1 
∂y1 
 
 
1 
= < 1 
1 + β 
β 
= < 1 
1 + β 
∂c∗2 
∂y1 
= 
β (1 + r1) 
> 0
 
1 + β 
 
Las primera derivada nos dice que un aumento de una unidad del ingreso corriente lleva a un 
aumento en el consumo c1 menor a una unidad. La diferencia β/ (1 + β) se ahorra lo que genera un 
ingreso adicional en el segundo peŕıodo de 
β (1 + r1) 
1 + β 
que se usa para aumentar el consumo futuro. 
 
 
Suba esperada del ingreso futuro: ȳ1, ↑ y2 
 
Este caso se muestra en la Figura 5. La dotación de ingresos se mueve del punto A al punto B, con 
∆y2 = ŷ2 − y2 > 0 y ∆y1 = 0. Como en el caso anterior, la normalidad de c1 y c2 implica que 
la mayor riqueza esperada en el futuro se distribuye en un aumento de los dos consumos c1 y c2, 
representado por la canasta del punto C. Como el ingreso en t = 1 no cambió, el consumidor debe 
endeudarse (b1∗ < 0) para financiar el mayor consumo corriente. Al tener que repagar la deuda en el 
futuro, el consumo ĉ2 será menor al ingreso futuro ŷ2, siendo la diferencia el pago de la deuda que 
tomó en el primer peŕıodo incluyendo los intereses, b∗1 (1 + r1) . 
En el ejemplo con utilidad logar´ıtmica tenemos 
∆c∗ = 
 1 
∆y 
+
 ∆y2 
 
= 
 1 ∆y2 
> 0
 
 
∆c∗ = 
β 
[∆y (1 + r ) + ∆y ] = 
∆y2 > 0 
2 1 + β 1 1 2 1 + β 
∆b∗ = 
 β 
 
∆y —
 ∆y2 
=
 −∆y2 
< 0.
 
 
 
 
1 
1 
(1 + β) (1 + r1) 
Suba permanente en el ingreso: ↑ y1, ↑ y2 en la misma cantidad, ∆y1 = ∆y2 
Supongamos que el ingreso del consumidor sube de manera permanente: y1 e y2 se incrementan 
en la misma cantidad.2 La intuición que brindamos en los casos anteriores es que el consumidor 
2Si los ingresos aumentasen en la misma proporción en vez de en la misma cantidad, podemos hacer un argumento 
similar (aunque no idéntico) al que sigue. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Aumento del ingreso futuro 
 
busca consumir una canasta de consumo estable a través del tiempo suavizando su perfil de ingresos 
temporales a través del mercado de crédito. Por ejemplo, si hay un aumento únicamente del ingreso 
corriente, el consumo hoy aumenta pero en una cantidad menor a la suba del ingreso. Sin embargo, 
cuando la suba del ingreso es permanente, esto es, cuando sube el ingreso corriente y el futuro 
en la misma cantidad, ya no hay motivos de cambiar el ahorro pues no cambió el perfil relativo 
de los ingresos a través del tiempo. Entonces, es de esperar que el consumo corriente aumente 
en aproximadamente la misma cantidad de lo que subió el ingreso. En efecto, como el ingreso 
futuro sube en la misma cantidad que el ingreso presente, no será necesario cambiar el ahorro para 
financiar un mayor consumo futuro. La Figura 6 muestra esta situación. Al subir el ingreso de 
manera permanente, el consumidor podrá aumentar su consumo de ambos peŕıodos en la misma 
cantidad. Puesto que el ingreso y consumo corrientes suben aproximadamente en la misma cantidad, 
el ahorro en el primer peŕıodo se mantendrá aproximadamente constante (en el gráfico se mantiene 
en cero). En śımbolos, ∆c1 ≈ ∆y1 y ∆c2 ≈ ∆y2, por lo que ∆b∗1 ≈ 0. 
En lo que sigue explicaremos por qué usamos la palabra “aproximadamente” para describir los 
cambios. Discutiremos bajo qué circunstancias el cambio en el consumo es exactamente igual al 
cambio en el ingreso cuando la suba del último es permanente y argumentaremos que aun si no son 
iguales, serán muy parecidos. Consideremos la ecuación de Euler del consumo 
 
uJ(c1) = β(1 + r1)uJ(c2) 
 
Si suponemos que β(1+r1) = 1, la ecuación anterior se reduce a uJ(c1) = uJ(c2). Como la función de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Aumento permanente del ingreso ∆y1 = ∆y2 > 0 
 
utilidad es cóncava, uJ(c) es decreciente, por lo que la igualdad de utilidades marginales implica que 
c1 = c2. Esto es, cuando β(1 + r1) = 1 es óptimo mantener un sendero de consumo completamente 
estable a través del tiempo. Usando este resultado en la restricción presupuestaria intertemporal 
encontramos 
 
 
o bien 
 c1 
c1 + = y1 
1 + r1 
 y2 
+ 
1 + r1 
c = 
1 + r1 
y
 
1 2 + r1 1 
+
 y2 
1 + r1 
Supongamos ahora que los ingresos corriente y futuro se incrementan en la misma cantidad δ. Esto 
es, ŷ1 = y1 + δ y ŷ2 = y2 + δ. Después del cambio del ingreso, el consumo del primer peŕıodo es 
ĉ = 
 
1 + r1 
 
ŷ 
+ 
 ŷ2 
 
 
1 2 + r1 1 
= 
1 + r1 
y
 
2 + r1 1 
= 
1 + r1 
y
 
2 + r1 1 
1 + r1 
+ δ + 
y2 + δ 
1 + r1 
+ 
 y2 + δ 
1 + r1 
 
Pero el primer término de esa ecuación es el nivel de consumo antes del cambio permanente en el 
ingreso, por lo que 
ĉ1 = c1 + δ 
 
Esto muestra que el consumo y el ingreso presente aumentan en la misma cantidad δ. Como el 
 
consumo futuro es igual al presente, el consumo futuro también sube en la cantidad δ. Con esto 
terminamos la prueba de que si β(1 + r1) = 1 , entonces ∆c1 = ∆y1, ∆c2 = ∆y2, y ∆b1 = 0. 
 
 
1+r 
1 
1+ β 1 + r1 1 + β 1 + r1 
1 
1 + β 1 + r1 
Si bien β(1 + r1) = 1 es un supuesto fuerte, estimaciones de la tasa de preferencia temporal 
β implican que el término β(1 + r1) es bastante cercano a 1. Por lo tanto, podemos suponer 
que cambios permanentes en el ingreso efectivamente se consumen en su totalidad, mientras que 
aumentos temporarios tienden a ahorrarse en gran parte. 
Consideremos el ejemplo con función de utilidad logaŕıtmica que genera la demanda 
 
c = 
 1 
y 
1 1 + β 1 
+
 y2 
,
 
1 + r1 
 
y supongamos un aumento permanente en el ingreso ŷ1 = y1 + δ1 e ŷ2 = y2 + δ2 con δ1 = δ2 = δ. 
De este modo 
cˆ1 = 
 1 
y
 
1 + β 1 
+ δ1 + 
y2 + δ2 
(21) 
1 + r1 
por lo que, definiendo ∆c1 = ĉ1 − c1 y usando δ1 = δ2 = δ, encontramos 
∆c = 
 1 
δ +
 δ 
= 
 1 2 + r1
 
δ
 
 
De este modo, si el ingreso aumenta de manera permanente en 1 peso, δ = 1, tenemos 
∆c = 
 1 2 + r1 
 
 
 
Pongamos algunos números: supongamos β = 0.98 y una tasa de interés real del 4%, r1 = 0.04. 
En este caso ∆c1 = 0.99. 
Por otro lado, supongamos ahora que solo aumenta el ingreso corriente en $1 pero el ingreso 
futuro no cambia. La demanda de consumo (21) evaluada en δ1 = 1 y δ2 = 0 implica 
 
1 
∆c1 = 
1 + β 
≈ 0.5. 
Esto es, se ahorra aproximadamente la mitad del ingreso corriente para aumentar el consumo futuro. 
 
Suba en la tasa de interés ↑ r1 
El resultado de un aumento en la tasa de interés dependerá de la posición deudora o acreedora 
del consumidor. Un aumento en la tasa de interés se refleja en una rotación de la restricción 
presupuestaria en el sentido de las agujas del reloj sobre la dotación inicial (y1, y2). Un cambio en 
la tasa de interés tiene dos efectos. Por un lado, la suba de r1 implica una cáıda del precio relativo 
del consumo futuro en términos de consumo corriente (recordemos que este precio relativo es 1 ). 
1 
Este cambio en el precio relativo genera un efecto sustitución que implica una suba del consumo 
futuro y una cáıda del consumo corriente. El segundo efecto del cambio en la tasa de interés es el 
efecto riqueza, cuyo signo dependerá de si el consumidor es deudor o acreedor. Las Figuras 7 y 8 
muestran ambos casos. 
Consideremos la Figura 7. El punto de dotación está marcado con la letra D y la canasta óptima 
 
 
Figura 7: Aumento en la tasa de interés r1: Deudor 
 
de consumo original está marcada en el punto A, donde el consumidor es deudor, c∗1 > y1∗. La suba 
de la tasa de interés se refleja como una rotación de la restricción presupuestaria sobre el punto D 
y la canasta ́optima luego del cambio en r1 está marcada en el punto F. Para encontrar el efecto 
sustitución desplazamos la nueva restricción presupuestaria en forma paralela hacia arriba de modo 
que sea tangente a la curva de indiferencia original, lo que ocurre en el punto S. En relación a la 
canasta original, sube el consumo futuro cs > c∗ y cae el consumo presente cs < c∗, reflejando la 
2 2 1 1 
ca´ıda del precio relativo del primero. Sin embargo, como el consumidor es deudor, sufre un efecto 
riqueza negativo pues sube el costo financiero de su deuda. El efecto riqueza negativo implica una 
cáıda de c1 y de c2 en relación a la canasta del efecto sustitución S. El efecto final es que c1 cae, 
pues los efectos sustitución e ingreso se refuerzan, pero el consumo futuro c2 puede subir o bajar: 
el efecto sustitución implica una suba de c2, mientras que el efecto riqueza implica una disminución 
de c2. En el ejemplo de la Figura 7 domina el efecto sustitución y c2 sube. 
La Figura 8 muestra el caso de un acreedor. Como en el caso anterior, el punto de dotación 
inicial está en el punto D, la canasta óptima inicial está en el punto A y la canasta de consumo final 
es la del punto F. En la posición final el consumidor es acreedor. La canasta que refleja el efecto 
sustitución se encuentra en el punto S que, al igual que en el caso anterior, implica una suba del 
consumo futuro c2 y una disminución del consumo presente c1. El desplazamiento de la canasta S 
a la canasta F refleja el efecto riqueza. Al ser acreedor, la suba en la tasa de interés incrementa 
el ingreso financiero del agente. Como los dos bienes son normales, el efecto riqueza implica que 
tanto c1 como c2 suben. El efecto final sobre c1 es ambiguo: cae debido al efecto sustitución pero 
sube debido al efecto riqueza. El gráfico muestra un ejemplo donde el efecto riqueza domina al 
efecto sustitución. En el caso del consumo futuro, tanto el efecto sustitución como el efecto riqueza 
implican una suba de c2. 
11 
 
 
Figura 8: Aumento en la tasa de interés r1: Acreedor