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Tasa de Crecimiento Promedio
I Tenemos los siguientes datos para la variable Y :
Año 2000 2001 2002
Y 4500 5850 5967
Crecimiento anual 30% 2%
I ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual promedio de Y ?
I ¿Es 30+22 =
32
2 = 16%?
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Tasa de Crecimiento Promedio
I Llamemos gt a la tasa de crecimiento de Y entre t� 1 y t :
gt =
Yt � Yt�1
Yt�1
I Luego:
Yt = (1 + gt)Yt�1
I Luego:
Y2001 = (1 + 0:30)Y2000
Y2002 = (1 + 0:02)Y2001
I Luego:
Y2002 = (1 + 0:02)(1 + 0:30)Y2000
I Luego:
Y2002
Y2000
= (1 + 0:02)(1 + 0:30)
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Tasa de Crecimiento Promedio
I Llamamos tasa de crecimiento anual promedio a la tasa
hipotética g, constante, que generaría el mismo crecimiento
acumulado que las dos tasas de crecimiento efectivamente
observadas.
I Luego, g debe satisfacer
Y2002 = (1 + g)(1 + g)Y2000
Es decir:
Y2002
Y2000
= (1 + g)2
I Igualando la expresión anterior a Y2002Y2000 = (1 + 0:02)(1 + 0:30)
obtenemos:
(1 + g)2 = (1 + 0:02)(1 + 0:30)
I Luego:
g = [(1 + 0:02)(1 + 0:30)]
1
2 � 1
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Tasa de Crecimiento Promedio
I Luego:
g = 0:1515 (15:15%)
I Nótese que g no coincide con la media aritmética de las tasas
de crecimiento anuales: 15:15% 6= 16%.
I Nótese también que, para calcular g, no es necesario conocer
las tasas de crecimiento de cada año. Alcanza con conocer el
valor inicial y �nal de la variable. Efectivamente, a partir de
Y2002
Y2000
= (1 + g)2 obtenemos:
g =
�
Y2002
Y2000
� 1
2
� 1 =
�
5967
4500
� 1
2
� 1 = 0:1515 (15:15%)
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Tasa de Crecimiento Promedio
I Supongamos que agregamos un dato más:
Año 2000 2001 2002 2003
Y 4500 5850 5967 5728.32
Crecimiento anual 30% 2% -4%
I Ahora tenemos:
(1 + g)3 = (1� 0:04) (1 + 0:02) (1 + 0:30)
I Luego:
g = [(1� 0:04) (1 + 0:02) (1 + 0:30)]
1
3�1 = 0:0838 (8:38%)
I O bien:
g =
�
Y2003
Y2000
� 1
3
� 1 =
�
5728:32
4500
� 1
3
� 1 = 0:0838 (8:38%)
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Tasa de Crecimiento Promedio
I Finalmente, supongamos que tenemos datos desde t = 0
hasta t = n.
I Tenemos n+ 1 datos para los niveles (Y0, Y1, Y2, ..., Yn) y n
tasas de crecimiento (g1, g2,...,gn).
I Luego:
(1 + g)n = (1 + gn) (1 + gn�1) ::: (1 + g2) (1 + g1)
g = [(1 + gn) (1 + gn�1) ::: (1 + g2) (1 + g1)]
1
n � 1
I De manera más sencilla:
g =
�
Yn
Y0
� 1
n
� 1
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