Matemáticas discretas

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Resumen
Construcción de sistemas de ecuaciones
diferenciales con estabilidad predeterminada
Construction of differential equation systems with predetermined stability
Jorge Javier Jiménez Zamudio - jjjz_02@comunidad.unam.mx
Manuel Valadez Rodríguez - manuelvaladez1950@gmail.com
Jeanett López García - jeanettlg@hotmail.com
Los libros que abordan sistemas de ecuaciones diferenciales lineales o no lineales, 
presentan como una alternativa de métodos de solución, llevar la matriz de coeficientes 
a alguna de las formas de Jordan, para caracterizar la estabilidad en los ceros del sistema. 
Una de las propiedades, quizá la más fuerte, para resolver los sistemas de ecuaciones 
es la de equivalencia cualitativa, así se presentan como equivalentes sistemas asociados 
a valores característicos reales, positivos o negativos, con otros sistemas con valores 
característicos complejos en tanto la parte real tenga el mismo signo que los primeros. 
En este artículo se proponen algunas formas para generar sistemas de ecuaciones dife-
renciales cuya estabilidad esté predeterminada y cuyas matrices de coeficientes tengan 
entradas con números enteros o a lo más racionales que sean de utilidad en el área de 
Sistemas Dinámicos, y extensible al Álgebra Lineal y las Ecuaciones Diferenciales.
Palabras clave: sistemas dinámicos equivalentes; estabilidad de sistemas.
Abstract
Text books related of how solving systems of differential equations, linear or non-linear, 
propose to transform any matrix of constant coefficients, no null, to one of the forms 
of Jordan, for characterizing the stability of the system in their zeros, as a method of 
solution. One of the properties, perhaps the strongest, to solve systems of equations 
is the qualitative equivalence. Therefore, some systems are transformed into their 
equivalent associated systems, whereas their characteristic values, real or complex, 
have real part with the same sign. This article proposes some ways to generate differen-
tial equation systems with predetermined stability, whose matrixes of coefficients only 
Núm. 22, sep-dic. 2015, pp. 138-159
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include inputs with integer numbers or rational numbers useful for Dynamical 
Systems area and extensible to Linear Algebra and Differential Equations.
Keywords: equivalence of dynamical systems; stability
•
Introducción
Para caracterizar el estado de un sistema dinámico se requiere de un mínimo 
de variables, por ejemplo, para modelar linealmente los fenómenos de 
masa-resorte, los circuitos RLC o el problema de los dos cuerpos, se requiere 
de al menos dos variables y para problemas de estructuras son suficientes tres 
variables (Strogatz, 1994, p. 9).
Uno de los procedimientos para resolver sistemas de ecuaciones dife-
renciales de la forma ẋ=Ax, donde A representa una matriz cuadrada de 
coeficientes constantes, x representa el vector de las variables de estado y 
ẋ la derivada temporal del vector x, es hallar los valores característicos que 
definirán el comportamiento a largo plazo del sistema, pudiendo ser en 
dimensión dos: pozos o atractores, fuentes o repulsores o puntos silla. Desde 
luego, estos conceptos son extensibles a más de dos dimensiones.
El método al que se ha hecho referencia, para analizar el comportamiento 
de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales (o no lineales reducibles a 
lineales) se basa en la existencia de un homeomorfismo que haga cualitati-
vamente equivalentes cada una de las infinitas curvas del retrato fase de un 
primer sistema dinámico con cada una de las infinitas curvas del retrato fase 
de otro sistema dinámico, con el mismo número de puntos de equilibrio y con 
la misma estabilidad. Una forma de obtener sistemas de ecuaciones diferen-
ciales cualitativamente equivalentes es llevar el sistema original, generalmente 
en una base no ortogonal, a su correspondiente base ortogonal, pero no se ha 
explotado la posibilidad de llevar la base no ortogonal a otra equivalente que 
también sea no ortogonal. 
El proceso inverso permite generar modelos basados en sistemas de 
ecuaciones diferenciales cuya estabilidad se preestablezca por razones de algún 
proyecto específico, como podría ser el desarrollar alguna especie en estudio 
en un área susceptible de control científico, como por ejemplo en una isla o 
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un arrecife y cuyo análisis se realizara con herramientas del área de Sistemas 
Dinámicos, beneficiando en este caso particular a ecologistas, por señalar sólo 
una rama de la comunidad científica (una aplicación podría ligarse a la investi-
gación de Carrera et al., 2003, en Estudio Poblacional de Monos Aulladores en 
la Isla Agaltepec, Veracruz, México). 
Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Como se ha mencionado, una de las formas para resolver un sistema dinámico, 
entendido éste como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer 
orden, es hallar los valores característicos del sistema ẋ=Ax. El proceso se basa 
en una de las transformaciones sobre matrices más usuales del Álgebra Lineal, 
que es la transformación de la matriz de coeficientes a una de las formas de 
Jordan, en tanto la matriz A, sea invertible. El proceso se encuentra descrito en 
la mayoría de los textos universitarios sobre Álgebra Lineal tales como: Juan 
de Burgos (1994), Hadley (1969), Lang (1987), Hoffman (1971) o Valadez (2003), 
por señalar algunos.
1. Teoría básica
Teorema 1. Una transformación lineal A sobre un espacio vectorial V es 
invertible si y sólo si Ax= implica que x= ó, alternativamente, si y sólo si cada 
y en V puede ser escrita en la forma y=Ax para algún x (Halmos, 1965, p. 80).
Definición 1. Dos matrices n×n, A y B con elementos en un mismo campo 
F son semejantes (sobre F) si y sólo si existe sobre F una matriz n×n no singular 
P tal que B=PAP-1 (Birkhoff, 1970, p. 272).
Teorema 2. Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterís-
tico (Birkhoff, 1970, p. 341).
Cuando se haga referencia a un campo, F, se entenderá, siempre, que 
éste corresponde a un campo de característica cero; esto es, F será un 
subcampo del campo C de los números complejos1. A los elementos de F 
los llamaremos escalares.
1 Para profundizar en el tema se sugiere ver Hoffman, K. & Kunze, R. (1971). Linear Algebra. 
New Jersey: Prentice-Hall.
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Definición 2. Sea V un espacio vectorial sobre el campo F. Un operador (u 
operador lineal) sobre V es una transformación lineal T:V→V.
Definición 3. Sea V un espacio vectorial sobre el campo F y T un operador 
sobre V. Se dice que un escalar c de F es un valor propio de T si existe un vector 
no nulo α de V tal que Tα=cα. Todo vector α que satisface esta igualdad es 
llamado vector propio de T con valor propio c.
Los conceptos de valor propio y vector propio se extienden fácilmente 
al caso de matrices cuadradas con elementos en un campo F ya que si, por 
ejemplo, A es una matriz de n×n sobre F, se puede definir un operador T sobre 
el espacio vectorial Fn×1 (espacio de las matrices de n×1 sobre F), proponiendo 
T(x)=Ax . Convenimos entonces en que un escalar c de F es un valor propio de 
A si lo es también de T; es decir, si Ax=cx para algún x no nulo de Fn×1.
Definición 4. Sea A una matriz de n×n con elementos en el campo F.
a) Si n≥ , se define la matriz (submatriz) Aij como aquélla que se obtiene de 
A al eliminar su i–ésimo renglón y su j–ésima columna. Aij es, claramente 
una matriz de (n- )×(n- ). Al determinante de la matriz Aij se le da el nombre 
de i,j-ésimo menor de A o menor de aij (Valadez, 2003, p. 141).
b) Si n≥ , se define como una matriz (submatriz) A(i,j)(k,l) de (n- )×(n- ) como 
aquélla quese obtiene de A al eliminar sus renglones i y j, y sus columnas 
k y l.
Definición 5. Sea A una matriz de n×n sobre el campo F. Se define el 
polinomio característico pA de A mediante la igualdad
 PA(t)=det (tI-A), (1)
donde, I es la matriz identidad de n×n. 
De esta definición es evidente que el polinomio característico de una matriz 
de n×n es el polinomio mónico2 de grado n.
Teorema 3. Sea A una matriz de n×n sobre el campo F. Entonces, un 
escalar c de F es un valor propio de A si y sólo si, c es una raíz de su polinomio 
característico.
2 El grado n de una forma no nula a0+ a1x + + anx
n con n ≠ 0, si n > 0 es su exponente más 
elevado. Al término anx
n se le llama término principal; si su coeficiente an es su principal 
y si an=1, entonces, el polinomio se llamará mónico (Birkhoff, 1970, p.67).
142
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Una consecuencia inmediata de este enunciado es el hecho de que 
únicamente en el campo C de los números complejos es posible garantizar 
la existencia de valores propios para una matriz A. De hecho, si A es una 
matriz compleja de n×n entonces, A tiene n valores propios (no necesaria-
mente distintos entre sí) en C. Obviamente, nos estamos refiriendo aquí a los 
valores propios del operador T sobre Cn×1 definido por T (x)=Ax.
2. Matrices complejas de 2×2 
Considere la matriz compleja A= (aij ) de × en la representación 
A= a11a21
a12
a22
Se desea de que los elementos aij de A sean tales que los escalares c1 y c2 corres-
pondan a los valores propios de la matriz. Según el teorema, el polinomio 
característico PA de A tiene la forma 
 
P (t-c 1A (t) )(t-c 2)=
t -(c +c1 2 1 22 )t+c c=
t +q t+q1 02=
 (2)
Donde los qi son escalares cuyos valores dependen de los valores de c1 y c2. Si 
se desarrolla completamente el determinante de la matriz tI-A, de la igualdad 
(1) resulta
 PA(t)=t
2-(trA)t+detA (3)
donde trA es la traza de la matriz A; esto es, la suma de los elementos de 
su diagonal. Comparando las igualdades (2) y (3) se llega al sistema de dos 
ecuaciones no lineales con cuatro incógnitas aij
 
trA= -q1,
det A= -q0 (4)
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De manera más explícita, este sistema se puede escribir en la forma
 
a 11
a 11
+a 22 1
0
a 12
a 21 a 22
=-q
=q (5)
Para la construcción de una matriz que represente los coeficientes de un 
sistema dinámico de orden dos, lo primero que se debe de determinar es la 
estabilidad, esto depende directamente de los valores que asuman las raíces c1 y 
c2 del polinomio característico. Si se consideran exclusivamente pozos, fuentes 
o puntos silla, -ni centros ni espirales- entonces se pueden proponer los ci ∈ Z. 
Si los ci para i= , son ambos positivos, se generará un sistema cuyo punto de 
equilibrio corresponda a una fuente, si ambos son negativos se originará un 
pozo y si ambos difieren de signo, se producirá un punto silla (para profundizar 
en el tema se puede consultar Hirsch et al., 2004, pp. 39-44).
Dado que los valores característicos c1 y c2 son conocidos, se pueden conocer 
los valores de la traza q1 y del determinante q0. En consecuencia, las cuatro 
incógnitas del sistema (5) 
 a11a11
+a12
a22-a12a21 0
1= -q
= q (6)
corresponden a los términos aij. Véase que ahora se está en la posibilidad de 
generar una nueva matriz con valores cualesquiera, pero para el propósito 
del artículo se escogerán sólo valores enteros. Dado que se conoce la traza, 
se pueden proponer un sin fin de valores para a11 y a22 en tanto su suma 
corresponda con el valor de q1. Como resultado de lo anterior, si se les asignan 
valores a a11 y a22, quedan por determinarse, únicamente, los valores a12 y a21, es 
decir, el lado derecho de la ecuación 
 a12a21 = a11a22 - q0. (7)
Si se desean valores enteros para los componentes aij de la matriz, uno de 
los factores del lado izquierdo de esta ecuación debe dividir la diferencia a11 
a22 - q0. Es obvio que existe al menos un entero que divida ésta. Con ello se 
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conseguiría un sistema de ecuaciones con las características deseadas y con 
la estabilidad preestablecida.
Ejemplo 1. Construir una matriz de coeficientes constantes de × que 
corresponda a una fuente.
Solución
Se empieza por definir los valores propios que correspondan a una fuente, 
es decir dos números positivos cualquiera, por ejemplo: 1 y 10. De aquí es 
inmediato, a partir de (2) y (4), que la traza requerida es 11, luego el valor 
algebraico de q1 es -11 y el determinante q0 es 10.
El sistema que se genera es: 
 a11a11
+a22
a22-a12a21
= 11
= 10 (8)
Se proponen dos números enteros cuya suma sea 11, por ejemplo a11=6 y a22=5. 
Con esto se obtiene: 
 a12a21=a11a22 - 10 = 20 (9)
Luego entonces, se pueden proponer todos los números enteros que dividan a 
20, es decir: 1, 2, 4, 5, 10 y 20; también se generan más pares de valores si consi-
deramos divisores de -20 que generen un entero positivo, es decir: -1, -2, -4, -5, 
-10 y -20. Usando estos elementos se proponen ejemplos de algunos sistemas 
de ecuaciones diferenciales: 
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-5
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-4
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-3
-2
-2
-1
-1
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 -0 -0.5 -1 -1.5 -2
-2
-1
-1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 -0 -0.5 -1 -1.5 -2
-2
-1
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0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 -0 -0.5 -1 -1.5 -2
-2
-1
-1.5
-0.5
Solución de
línea recta
x' = 6x + 20y
y' = x + 5y
x' = 6x + 10y
y' = 2x + 5y
x' = 6x - 5y
y' = -4x + 5y
x' = 6x + 5y
y' = 4x + 5y
Gráfica 1. Planos fase asociados a las nuevas matrices que describen la dinámica asociada a fuentes, 
todas con los mismos valores propios. Elaboración de planos fase con pplane de MATLAB.
Tabla 1. Matrices de coeficientes con los mismos valores característicos y misma estabilidad para su 
sistema de ecuaciones diferenciales. Cálculos realizados en MAPLE.
Matriz de coeficientes Valores propios Valores y vectores propios
A1:= 61 5
20 VA1:=[10,1] vA1:= 10, 1, 5 1 1, 1, -4 1,
A2:= 62 5
10 VA2:=[10,1] vA2:= 1, 1, -2 1 10, 1, 152,
A3:= 64 5
5 VA3:=[10,1] vA3:= 10, 1, 1, 1, -1, 1,154 ,
A4:= 6-4 5
-5 VA4:=[10,1] vA4:= 1, 1, 1 1 10, 1, 1- 54,
A5:= 6-2 5
-10 VA5:=[10,1] vA5:= 1, 1, 2 1 10, 1, 1- 52,
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Una segunda forma de obtener sistemas de ecuaciones diferenciales con la 
misma estabilidad la proporciona la teoría de cambio de base, proponiendo 
como vectores de la base a los vectores asociados a las soluciones de línea recta. 
Suponga un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado ẋ= ac
b
d
x
y tal que 
 ti-c
-ba-
ti d
x
y-
0
0
= , (10)
donde ti es uno de los valores característicos de tI-A= . De (10) puede obtenerse 
 (a-ti)x+by=0 (11)
y si b ≠ 0 entonces se tiene 
 b
a -y=- xti (12)
que corresponde a lo que Hirsch (2004, pp. 27 y 32) llama solución de línea 
recta. Para los sistemas acoplados de × cuyos valores característicos son 
reales no nulos y diferentes, existirán dos soluciones de línea recta; dichas 
rectas serán paralelas a los vectores característicos del sistema ẋ= ac
b
d
x
y .
Véase por ejemplo, la matriz A1 de la Tabla 1. Se sabe que A
6
1
20
51= cuyos 
valores característicos son t1 = 10 y t2 = 1 y los vectores característicos correspon-
dientes son 51 y 
-4
1 . Aplicando la ecuación (12) al valor característico t1 se tiene 
20
6 -y=- x10 . El conjunto de puntos que satisface esta ecuación conforman una 
solución de línea recta del sistema, como puede apreciarse en el primer plano 
fase de la Gráfica 1.
Si se considera un cambio de base, para pasarde una forma de Jordan 
a cualquier otra, en la cual los vectores generadores correspondan a las 
soluciones de línea recta, se podrán, una vez más, obtener matrices semejantes 
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que correspondan a sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas con 
entradas enteras o al menos racionales y con estabilidad preestablecida.
El procedimiento es el siguiente:
1. Considere la matriz diagonal J con los valores preestablecidos de estabi-
lidad del sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado.
2. Considere los vectores linealmente independientes -soluciones de línea 
recta- que conformarán la nueva base y asígnelos como columnas de una 
matriz B.
3. Determine la inversa de B, es decir B-1.
4. Aplique B-1 JB para hallar la nueva matriz, según la definición 1, que podrá 
contener sólo números enteros o submúltiplos de las entradas.
Ejemplo 2. Construir una matriz de coeficientes constantes de × que 
corresponda a un punto silla.
Solución
Dado que se propuso un punto silla, una matriz J asociada será 20
0
-1 .
Arbitrariamente se determinan dos soluciones de línea recta, que sean 
paralelas a los vectores de su base, para conformar la matriz B, tómense 
=x1y1
3
1 y =
x2
y2
-2
1 , por lo tanto B
3
1
-2
1= . Su inversa es B
1
5
2
5-1= 1
5
3
5-
.
Haciendo B-1 JB se obtiene 15
4
3
18
1 cuyos valores característicos son los mismos 
que los de la matriz de Jordan. Esta matriz es un múltiplo escalar de la matriz 
4
3
18
1 cuyos valores característicos son 10 y -5, y el sistema de ecuaciones dife-
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renciales acoplado =ẋ
ẏ
x
y
4
3
18
1
 tiene una estabilidad similar al primero, es 
decir, corresponde a un punto silla cuyo plano fase es equivalente al primero.
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
-1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
-1.5
-0.5
x' = 4x + 18y
y' = 3x + y
x' =
y' =
1
5 (4x + 18y)
1
5 (3x + y)
Gráfica 2. Planos fase asociados a las nuevas matrices que describen la dinámica asociada a puntos silla, 
obtenidas a partir de las soluciones de línea recta, todas con los mismos valores propios. Elaboración de 
planos fase con pplane de MATLAB.
Tabla 2. Matrices de coeficientes con los mismos valores característicos y misma estabilidad para su 
sistema de ecuaciones diferenciales a partir de soluciones de línea recta. Cálculos realizados en MAPLE.
Matriz de coeficientes Valores propios Valores y vectores propios
MB:=
4
5 5
18
3
5 5
1 2, -1 vMB:= 2, 1, 3 1 -1, 1, 12-,
B2:= 43 1
18
2,-1 VectB2:= -5, 1, -2 1 10, 1, 13-,
Una forma alternativa de hallar sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas 
con valores de estabilidad predeterminados se basa en una idea geométrica 
(Hubbard & West, 1995, p. 502) al utilizar la matriz de rotación cosθ senθcosθ-senθ . Sin 
embargo, no es fácil garantizar que una vez seleccionado el ángulo de rotación, 
se obtenga una matriz de coeficientes con entradas enteras, a menos que 2
kπθ= .
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Por ejemplo, para una estabilidad asociada a la matriz 10
0
10 se conserva aún 
rotándola en un ángulo de 30º. La matriz resultante es 
13
4
9
4
9 3
3
4
31
4
. Si bien 
tiene los mismos valores característicos sus entradas ya no son ni enteras ni 
racionales.
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
-1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
-1.5
-0.5
x' = x
y' = 10y
x' =
y' =
13
4 x + 3 y
9
4
31
4x + y3
9
4
Gráfica 3. Planos fase con los mismos valores propios que conservan la estabilidad rotados en un ángulo 
de 30º. Elaboración de planos fase con pplane de MATLAB.
Desde luego, con base en el desarrollo matemático mostrado, los métodos 
expuestos se pueden llevar a algún lenguaje de programación, como se puede 
apreciar en el Tabla 3 (al final del artículo) en el cual se presenta el código 
fuente para sistemas de × .
3. Matrices complejas de 3x3
Considere la matriz compleja A=(aij) de × en la representación
 
a 11
a 21
a 12
a 22
a 31 a 32
a 13
a 23
a 33
A= . (13)
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JORGE JIMÉNEZ, MANUEL VALADEZ Y JEANETT LÓPEZ
Se desea que los elementos aij de A sean tales que los escalares c1, c2 y c3 corres-
pondan a los valores propios de la matriz. Según el Teorema 3, el polinomio 
característico PA de A tiene la forma 
 PA(t) = (t - c1)(t - c2)(t - c3) (14)
 = t3 +q2t
2 + q1t + q0
Donde, una vez más, los qi son escalares cuyos valores dependen de los valores 
de c1, c2 y c3. Si se desarrolla completamente el determinante de la matriz tI-A, 
de la igualdad (1) resulta 
 P (t) = tA jj3 2
3
j=i
(trA)t + det A t - det AƩ- (15)
donde trA es la traza de la matriz A; esto es, la suma de los elementos de su 
diagonal y jj
3
j=i
det AƩ son los menores aij3. Comparando las igualdades (14) y 
(15) se llega al sistema de tres ecuaciones no lineales con nueve incógnitas aij.
 trA = -q jj2 1 0q ,
3
j=i
det A = det A = -qƩ, (16)
De manera más explícita, este sistema se puede escribir en la forma
 
a 11
a 11
+a 22+a 33 2
1
a 12
a 21 a 22
=-q
=+ a 11 a 13a 31 a 33
a 22 a 23
a 32 a 33
a 11 a 12
a 21 a 22
a 31 a 32
a 13
a 23
a 33
+ q
0=-q
 (17)
3 Una forma alternativa de escribir este coeficiente de la ecuación característica es la propuesta 
por Birkhoff (1970, p. 341): (-1)n ∑i < j (aii ajj - aij aji).
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Ejemplo 3. Construir una matriz de coeficientes constantes de × que 
corresponda a un nodo inestable, es decir, que sus tres valores característicos 
sean positivos. 
Solución
1. Como un primer paso, tómense arbitrariamente tres valores positivos que 
representen un nodo inestable o fuente, por ejemplo los valores 2, 3 y 5, en 
consecuencia la matriz J asociada a este punto será 
2
0
0
3
0 0
0
0
5
J= .
2. Se calcula su polinomio característico pA
p (t-2)(t-3)(t-5)A (t)=
t -10t + 31t - 303 2=
3. De esta igualdad y de (15), el sistema de ecuaciones (16) resulta en
 
trA = 10
det A = 30
jj
3
j=1
det A = 31Ʃ (18) 
que corresponde a un sistema de tres ecuaciones no lineales con nueve incógnitas. 
4. Se puede reducir el número de incógnitas al proponer arbitrariamente tres 
valores cuya suma sea 10, por ejemplo a11 = -1, a22 = 4 y a33 = 7. Luego, la 
matriz que se desea construir queda como
 
-1
a 21
a 12
4
a 31 a 32
a 13
a 23
7
A= (19)
5. A partir de aquí, desarrollando los determinantes que aparecen en la 
segunda ecuación del sistema (18) se llega a la expresión 
 a12 a21 + a13 a31 + a23 a32 = -14. (20)
6. Esta ecuación se puede linealizar dando valores específicos a tres de las 
seis variables aij; digamos a21 = 1, a31 = 4 y a32 = -2, con lo que dicha ecuación 
queda como 
152
JORGE JIMÉNEZ, MANUEL VALADEZ Y JEANETT LÓPEZ
 a12 - a23 + a13 = -14 (21) 
y la matriz que ahora se tiene es 
 
-1 a 12
4
a 13
a 23
7
A= 1
 4 -2
 (22)
7. Se calcula el determinante tomando los valores a11 = -1, a22 = 4 y a33 = 7 y
a21 = 1, a31 = 4 y a32 = -2, obteniéndose
 - a23 - a12 + a12a23 - a13 = 58 (23)
8. Luego el sistema de ecuaciones generado por (21) y (23) es
 a12-2a23
-2a23+4a13
-7a12 -18a13+4a12a23
= -14
= 58 (24)
9. En la segunda ecuación de (24) se tiene aún un término no lineal; se puede 
proponer un valor arbitrario para convertir el sistema a lineal. Por ejemplo, 
se toma a12 = 2, por lo que el sistema (24) queda como 
 a23 -2a13a23 -3a13
= 8
= 12 (25)
10. Resolviendo el sistema (25) se obtienea13 = -4 y a23 = 0. Así, la matriz de 
coeficientes que se obtiene es 
 
-1
4
7
A= 1
 4 -2
2
0
-4
 (26)
cuyos valores característicos son los mismos 2, 3 y 5 iniciales, por lo que la 
estabilidad del sistema 
-1
4
7
ẋ= 1
 4 -2
2
y
z
x
0
-4
 es la misma que la de 
2
ẋ=Jx= 0
0
y
z
x
3
0
0
0
5
0
Desde luego, que se pueden hallar más sistemas cualitativamente equivalentes, 
en tanto se determinen otras matrices semejantes. Así, a partir del paso 9, si se 
linealiza la ecuación (24), asignándole un valor arbitrario al elemento a12 (que 
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N
A
 2
2
4 Para profundizar sobre la obtención de la ecuación (29) se sugiere ver Valadez, 2003.
es el responsable de la no linealidad) por ejemplo a12= ó a12= - , se obtienen, 
respectivamente, las matrices semejantes
-1
4
7
B= 1
 4 -2
4
1
-4
 y 
-1
4C= 1
 4 -2 7
-2 -19
52
19
10 ,
cuyos sistemas, al tener los mismos valores característicos, conservan la misma 
estabilidad ya mencionada (nodo inestable).
4. Matrices complejas de 4x4
Si se dan los valores propios c1, c2, c3 y c4 de la matriz compleja
 
a 11
a 21
a 12
a 22
a 31 a 32
a 13
a 23
a 33
a 41 a 42 a 43
a 14
a 24
a 34
a 44
A= , (27) 
el polinomio característico PA de A queda como
 pA(t) = (t - c1)(t - c2)(t - c3)(t - c4) (28)
 = t4 + q3t
3 + q2t
2 + q1t + q0 
donde, nuevamente, los valores de los coeficientes qj dependen de los valores 
propios ck. Por otra parte, desarrollando directamente el determinante det(tI-A), 
de la igualdad (1) se llega4 a que
 
t - t +det AƩƩ(trA)t +p (t) = tA (i,i+k)(i,i+k)4 3 2
3
i=l
det A
4-i
k=l
- Ʃ ii
4
i=l
det A , (29) 
donde las matrices de × que aparecen en el tercer término del lado derecho 
son como se propusieron en el inciso (b) de la definición 4 que, al respecto, 
aparece en el apartado 1.
Comparando las dos últimas igualdades se llega al sistema de 4 ecuaciones 
no lineales en las dieciséis incógnitas aij.
154
JORGE JIMÉNEZ, MANUEL VALADEZ Y JEANETT LÓPEZ
 
-trA = q
-
= q
det A = q
3
2ƩƩ (i,i+k)(i,i+k)
3
i=l
det A
4-i
k=l
= q1
0
Ʃ ii
4
i=l
det A
 (30)
Ejemplo 4. Considérese la matriz compleja A de × dada en (27), supóngase 
que ésta tiene los valores propios c1 = 0, c2 = -5 y c3 = c4 = 2. Encuentre un 
sistema dinámico asociado de orden 4.
Solución
El polinomio característico PA de A queda como
PA(t)=t(t+5)(t-2)
2 = t4 + t3 - 16t2 + 20t
Según las expresiones (28) y (29), para este caso el sistema (30) queda como
 
trA = -q = -1
= -16
= -20
= 0
= q
det A = q
3
2ƩƩ (i,i+k)(i,i+k)
3
i=l
det A
4-i
k=l
= -q1
0
Ʃ ii
4
i=l
det A (31) 
Se asignan los valores a la diagonal principal tales que su suma sea -1, por 
ejemplo a11 = 1, a33 = 4 y a22 = a44 = -3, queda resuelta la primera ecuación del 
sistema (31), por lo que éste se reduce a un sistema de tres ecuaciones con 12 
incógnitas. La matriz a construir ahora se ve como
 
1
a 21
a 12
-3
a 31 a 32
a 13
a 23
4
a 41 a 42 a 43
a 14
a 24
a 34
-3
A= (32)
Desarrollando la doble suma que aparece en la segunda ecuación de este 
sistema, (31), resulta
a 11 a 12
a 21 a 22 =+
a 11 a 13
a 31 a 33
a 22 a 23
a 32 a 33+
a 11 a 14
a 41 a 44 +
a 22 a 24
a 42 a 44+
a 33 a 34
a 43 a 44+ -162=q
y utilizando los valores de la traza, esta última igualdad se puede escribir como 
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C
IP
LI
N
A
 2
2
 a12 a21 + a13 a31 + a14 a41 + a23 a32 + a24 a42 + a34 a43 = -1 (33)
Ahora se propone asignar valores arbitrarios enteros a los elementos aij tales 
que i < j. Tomando a12 = a34 = -1, a13 = -2, a14 = 4 y a23 = a24 = 2 la expresión (33) 
queda como
 a21 + a31 - a41 - a32 - a42+ a43 = . (34)
La matriz (32) queda ahora como
 
1
a 21
-1
-3
a 31 a 32
-2
2
4
a 41 a 42 a 43
4
2
-1
-3
A= (35)
Desarrollando los determinantes de las matrices × sobre la diagonal principal 
y el determinante de A que aparecen en la tercera y cuarta ecuaciones de (31) 
se llega, respectivamente a las igualdades
a21
-4a21 +a21
+32a41-10a42 -3a43
(6a32
(1-2a 32+4a42
+14a42
(2a31+a3243
a32a43 +a -12)43 (6a42+5a43-12) (6a41+a43+3)
)+2a 31)-14a 32+4a
31-2a 32+2a
41-4a 42-12a 43-2a =-41
=-36
Estas dos últimas ecuaciones, junto con la ecuación de la expresión (34), forma 
un sistema de tres ecuaciones no lineales con seis incógnitas.
a21+2a31-4a41 -2a32-2a42+a43= 1
a21 (1-2a 32+4a42 (2a31+a3243)+2a 31)-14a 32+4a 41-4a 42-12a 43-2a =-41
-4a21 +a21 (6a32+14a42a32a43 +a -12)43 (6a42+5a43-12) (6a41+a43+3)31-2a 32+2a +32a41-10a42 -3a43 =-36
De observar el sistema, se pueden identificar algunos elementos a los cuales 
se les podrían asignar valores arbitrarios enteros que permitieran obtener un 
sistema lineal. Así se establecen los valores a21 = a31 = y a32 = - . Esto permite 
trabajar con la matriz 
1 -1
-3
-2
-2
2
4
a 41 a 42 a 43
4
2
-1
-3
A= 11
156
JORGE JIMÉNEZ, MANUEL VALADEZ Y JEANETT LÓPEZ
y se reduce a un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas 
de la forma
 
-4a41-2a42+a43= -6
-4a41-8a42 -2a43= -24
8a41-8a42 -8a43= -24
 (36)
En razón de que 
-4 -2
-4 -8
8 -8
1
-2
-8
=0
la solución que se obtiene de (36) es 
 
a 41 42
a 42
42
42
= 3-a
= a
= 6-2aa 43
 (37)
Si a42 = 2, entonces a41 = 1 y a43 = , originándose la matriz 
1 -1
-3
-2
-2
2
4
2 10
4
2
-1
-3
A= 11
1
Si a42 = , entonces a41 = y a43 = , originándose la matriz 
1
1
-1
-3
-2
-2
2
4
3 0
4
2
-1
-3
A = 11
0
Si a42 = - , entonces a41 = 5 y a43 = , originándose la matriz 
1 -1
-3
-2
-2
2
4
-2 10
4
2
-1
-3
1
1
5
2A =
Cuyos valores propios son exactamente los mismos c1 = , c2 = - , y c3 = c4 = 
de los cuales se partió para la construcción. Así, las matrices A, A1 y A2 entre 
otras muchas que se pueden construir a partir de (37), pertenecen a sistemas 
dinámicos que presentan la misma estabilidad.
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2
5. Consideraciones adicionales
Se debe hacer la observación de que el procedimiento desarrollado para 
encontrar matrices que tengan determinadas características es de propósito 
general; esto es, el hecho de haber linealizado ecuaciones como la que se da en 
(20) o la que aparece en (33) proponiendo valores para algunas de las variables 
fue, básicamente, con el fin de simplificar los desarrollos algebraicos, pero 
esto no es de ninguna manera forzoso. Considérese, por ejemplo, el caso de la 
matriz de ×
A= xz
y
w 
,
Supóngase que, de alguna forma se puede conocer o se puede estimar el valor 
de w y que el polinomio característico pA de la matriz está dado por 
pA (t) = t
2 + q1t + q0.
Se puede resolver entonces la ecuación pA(t)=0, mediante el sistema de 
ecuaciones no lineales
trA = -q1, det A = q0
Las soluciones de éste en términos de w quedan como
x = - w - q , 4
q -yz= w +-4q01
2
1 2
q1 .
Dado que el valor de w se conoce, los valores de x y del producto yz se obtienen 
de estas igualdades y, consecuentemente, se conocen todos los componentes 
de la matriz A.
En los casos de matrices de × o más grandes, el problema de obtener una 
de éstas, dado su polinomio característico y algunos pocos de sus elementos, 
no es tan simple, ya que en el sistema de ecuaciones no lineales que se debe 
resolver, podrían aparecer productos de tres o más de las variables involu-
cradas. Sin embargo, el análisis numérico ofrece recursos para encontrar 
soluciones de sistemas con estas características, véase por ejemplo, el capítulo 
4 de Süli, E. & Mayers, D. (2006).
La propuestade este trabajo no ha considerado la obtención de sistemas de 
ecuaciones diferenciales, cuya estabilidad se encuentre dada por centros o espirales.
158
JORGE JIMÉNEZ, MANUEL VALADEZ Y JEANETT LÓPEZ
Tabla 3. Código fuente en C++ para sistemas lineales de 2×2 (Programa: Jorge Enrique Cervantes Silva).
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int a11,a22,a12,a21,c1,c2,i;
int aux;
int main()
{
 do
 {
 system("cls");
 printf("Dame el valor carecteristico c1: ");
 scanf("%d",&c1);
 system("cls");
 printf("Dame el valor carecteristico c2: ");
 scanf("%d",&c2);
 system("cls");
 printf("Dame a11: ");
 scanf("%d",&a11);
 system("cls");
 a22=(c1+c2)-a11;
 printf("el valor de a22= %i\n\n",a22);
 if((a11*a22-(c1*c2))<0)
 {
 for (i = -1; i >= (a11*a22-(c1*c2)); --i)
 {
 if((a11*a22-c1*c2)%i==0)
 {
 printf("Un posible valor de a21= %i o %i \n",i,-i);
 }
 }
 }
 else
 {
 for (i = 1; i <= (a11*a22-(c1*c2)); ++i)
 {
 if((a11*a22-c1*c2)%i==0)
 {
 printf("Un posible valor de a21= %i o %i \n",i,-i);
 }
 }
 }
 printf("\nCual de estos valores quieres para a21?\n");
 scanf("%d",&a21);
 a12=(a11*a22-(c1*c2))/a21;
 //system("cls");
 printf("La matriz resultate es: \n\n [ %i %i ]\n [ %i %i ]\n",a11,a12,a21,a22);
 system("pause");
 system("cls");
 printf("Desea volver al inicio ?(si=1 o no=0)\n");
 scanf("%d",&aux);
 } while(aux==1);
 return 0;
}
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 2
2
Referencias
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 ਈ BurGoS, J. (1994). Álgebra Lineal. México: McGraw-Hill.
 ਈ carrera, e., MedeL, G. y rodríGuez, e. Estudio Poblacional de Monos Aulladores 
(Alouatta Palliata Mexicana) en la Isla Agaltepec, Veracruz, México. Neotropical 
Primates 11(3), pp. 176-180, diciembre 2003. 
 ਈ hadLey, G. (1969). Álgebra Lineal. México: Fondo Educativo Interamericano. 
 ਈ haLMoS, P. (1965). Espacios vectoriales de dimensión finita. Barcelona: Editorial 
Continental.
 ਈ hoffMan, k. & kunze, r. (1971). Linear Algebra. New Jersey: Prentice-Hall.
 ਈ hirSch, M., SMaLe, S. & devaney, r. (2004). Differential Equations, Dynamical 
Systems, and an Introduction to Chaos. USA: Elsevier.
 ਈ huBBard, J. & WeSt, B. (1995). Differential Equations: A Dynamical Approach. New 
York: Springer.
 ਈ LanG, S. (1987). Linear Algebra. New York: Springer.
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 ਈ SüLi, e. & MayerS, d. (2006). An introduction to Numerical Analysis. Cambridge: 
University Press.
 ਈ vaLadez, M. (2003). Álgebra Lineal: productos internos y teoremas de estructura. 
México: Ediciones Acatlán, UNAM.
JORGE JAVIER JIMÉNEZ ZAMUDIO es Maestro en Educación Matemática por la 
Universidad Nacional Autónoma de México. Profesor de tiempo completo en la FES 
Acatlán. Estudios adicionales: candidato a Doctor en Educación por la Universidad 
Anáhuac y estudios de Maestría en Dinámica No Lineal y Sistemas Complejos en la 
UACM. Sus líneas de investigación son educación matemática, sistemas complejos y 
aplicaciones de CAS. 
MANUEL VALADEZ RODRÍGUEZ es Físico por la Universidad Nacional Autónoma 
de México. Estudios adicionales: maestría en Ciencias Matemáticas en la Facultad 
de Ciencias de la UNAM. Profesor Titular de tiempo completo en la FES Acatlán 
impartiendo materias del área de Matemáticas Básicas en la carrera de Actuaría.
JEANETT LÓPEZ GARCÍA es Maestra en Educación Matemática por la Universidad 
Nacional Autónoma de México. Profesora de Asignatura en la FES Acatlán de Cálculo 
Vectorial, Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Dinámicos, entre otras. Estudios 
adicionales: maestría en Ciencias Físicas por la UNAM. Sus líneas de investigación 
son los sistemas dinámicos, caos y sistemas complejos, pensamiento matemático y, 
recientemente, la aplicación de CAS y DGS y su impacto en el proceso de enseñan-
za-aprendizaje.