Aplicacion_multiplicadores_Lagrange_optimizacion_portafoli

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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estad́ıstica y Educación Matemática 2013
Aplicación de multiplicadores de Lagrange a optimización de portafolios.
Luis Carlos Canaŕıa Camargo
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, lc canaria@hotmail.com
RESUMEN. Esta ponencia pretende mostrar a los estudiantes de matemáticas, licenciatura en ma-
temáticas y la comunidad en general una aplicación de las matemáticas a las finanzas, más espećıfi-
camente a la optimización de portafolios, empleando los multiplicadores de Lagrange y el modelo de
Markowitz. Con el fin de tener una mayor claridad de la aplicación se mostrara algunas páginas web
de donde se pueden obtener cotizaciones y la forma de como con apoyo de la función Solver de Excel
se puede encontrar la mejor rentabilidad con menor riesgo en un portafolio de servicios financieros,
para esto es necesario conocer algunos conceptos de estad́ıstica como la varianza, desviación estándar
y la covarianza.
ABSTRACT. This lecture shows math students and the community in general an application of
mathematics on finances. What it really wants specifically is to show an optimization portfolio using
Lagrange multipliers and the theory of Markowitz. In order to have a greater clarity of the application,
it will be shown some websites where you can get quotes and the way supported by the Excel Solver
function. Likewise, it can be found there a better returns with less risk in a portfolio of financial
services, thus it is necessary to know some statistical concepts such as variance, standard deviation
and covariance.
PALABRAS CLAVE: Riesgo, rentabilidad, markowitz, varianza, solver
1. INTRODUCCIÓN. El objetivo de estas ponencia es dar algunas definiciones y una herramienta
con el fin de optimizar y plantear correctamente el problema de optimización de portafolios según el
modelo de Markowitz.
La idea es que para poder implementar estos conceptos de la teoŕıa de Markowitz en Excel con el
uso adecuado de la función Solver es necesario primero entender la formulación precisa, para luego
entender lo que se implementa en Excel.
2. DESARROLLO DEL TEMA.
CONCEPTOS BÁSICOS
En esta sección se mostrarán algunos conceptos previos de cálculo multivariado, tales como: Fun-
cion real de n variables, gradiente, matriz Hessiana, máximo local y global, mı́nimo local y global,
óptimo local, función objetivo que hace referencia a la desviación estandar (riesgo) y rentabilidad. ([7])
MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
Aqúı se presenta una forma de solucionar de forma general el problema de optimización sin restriccio-
nes. Esta solución implicará maximizar una función objetivo cuadrática de las variables de pesos del
portafolio sujetos a la restricción de presupuesto que dice que la suma de los pesos debe ser igual a 1.
Se utiliza una técnica estándar llamada multiplicador de Lagrange para hacer frente a la restricción
presupuestaria.([4])
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MODELO DE MARKOWITZ
Originado por Harry Markowitz, autor de un art́ıculo sobre selección de cartera publicado en 1952 ([2]),
la teoŕıa moderna de la selección de cartera (modern portfolio theory) propone que el inversor debe
abordar la cartera como un todo, estudiando las caracteŕısticas de riesgo y rentabilidad global, en lugar
de escoger valores individuales en virtud del rentabilidad esperada de cada valor en particular.([1])
En su modelo, Markowitz, dice que los inversionistas tienen una conducta racional a la hora de selec-
cionar su cartera de inversión y por lo tanto siempre buscan obtener la máxima rentabilidad sin tener
que asumir un alto nivel de riesgo. Nos muestra también, como hacer una cartera óptima disminuyendo
el riesgo de manera que el rendimiento no se vea afectado.([2])
La teoŕıa de Markowitz plantea inicialmente la forma de determinar la rentabilidad de un activo,
para esto establece que Ri =
Rj−Ri
Rj
, lo cual se puede representar como Ri = ln(
Rj
Ri
) ya que el loga-
ritomo es una aproximación ĺıneal de la primera expresión, también es valido definir el riesgo de un
activo como la varianza σ2 . Luego debemos aclarar que se puede trabajar bajo 2 supuestos según el
número de activos.
1. DOS ACTIVOS RIESGOSOS
Se define w como el peso o ponderación que se le asigna a un activo, la rentabilidad esperada del por-
tafolio E(Rp) = wE(R1) + (1−w)E(R2) y el riesgo como σ2p = w2σ21 + (1−w)2σ22 +2w(1−w)ρσ1σ2,
donde Cov(Ri, Rj) = Σ
n
i=1[Ri −E(R1)][Rj −E(Rj)] es la covarianza y el coeficiente de correlación se
define como Corr(Ri, Rj) = ρij =
Cov(Ri,Rj )
σiσj
USO DE EXCEL PARA OPTIMIZAR PORTAFOLIOS
Para determinar el portafolio optimo empleamos los multiplicadores de Lagrange, usando la función
solver de excel.
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Por ultimo se grafica la frontera eficiente que equivale a la grafica de riesgo vs rentabilidad
2. N-ACTIVOS RIESGOSOS
Se define wi como el peso o ponderación que se le asigna a cada activo, la rentabilidad esperada del
portafolio E(Rp) = w1E(R1)+w2E(R2)+w3E(R3)+ ...++wnE(Rn)) y el riesgo como σ
2
p = W [Σ]W
′,
donde W es el vector de pesos y Σ es la matriz de covarianzas, lo anterior se puede hallar empleando
excel con el siguiente código.
Rentabilidad: = +MMULT (N24 : R24, (TRANSPONER(N5 : R5)))
Riesgo: = RAIZ(MMULT (MMULT (N24 : R24, N13 : R17), TRANSPONER(N24 : R24))) en
ambos casos es necesario oprimir la combinacion de teclas ctrl+shift+entrer
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USO DE EXCEL PARA OPTIMIZAR PORTAFOLIOS
Finalmente se muestra un ejemplo de como optimizar un portafolio aplicando el modelo de Mar-
kowitz empleando la función solver de Excel y aśı determinar la frontera eficiente.
El primero paso consiste en descargan los datos historicos de una página como yahoo finanzas, luego
calculamos los rendimientos de cada activo, con estos datos se hallan los promedios de las rentabilida-
des y el riesgo, con el fin de conocer el rendimiento del portafolio. El siguiente paso según el modelo
Markowitz es determinar la matriz de covarianzas y posteriormente fijar algunos pesos iniciales
Finalmente se usa la función solver para determinar los mejores porcentajes que se deben invertir
en cada activo del portafolio.
Por ultimo se grafica la frontera eficiente que equivale a la grafica de riesgo vs rentabilidad
3. CONCLUSIONES O RESULTADOS. Es muy interesante como el aplicar un concepto
matemático básico, como son los multiplicadores de Lagrange a las finanzas, resulta una aplicación
muy fuerte para las personas que trabajan en el análisis de portafolios, de igual forma nos damos cuenta
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que esto no esta aislado del uso de un software que permite reducir los cálculos y aumentar la capacidad
para comprender los resultados e interpretarlos adecuadamente, es decir lograr abstraer el significado
real de cada dato obtenido. Esto permite mostrar claramente a los estudiantes de Matemáticas que
las matemáticas hoy d́ıa necesitan un contexto real y las ciencias aplicadas necesitan del soporte
matemático para desarrollarse adecuadamente.
REFERENCIAS.
[1] Edwin J. Elton and Martin J. Gruber, ”Modern portfolio theory, 1950 to date”, Journal of Banking
& Finance,1997.
[2] Markowitz, H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New York: John
Wiley & Sons. (reprinted by Yale University Press, 1970, ISBN 978-0-300-01372-6; 2nd ed. Basil
Blackwell, 1991
[3] Merton, Robert. .An analytic derivation of the efficient portfolio frontier”, Journal of Financial
and Quantitative Analysis 7, September 1972.
[4] John Norstad. ”Portfolio Optimization”, north western, 2011.
[5] Owen, J.; Rabinovitch, R. .On the class of ellipticaldistributions and their applications to the
theory of portfolio choice”. Journal of Finance38, 1983,745-752.
[6] Hubbard, Douglas. How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business.
Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.2007
[7] Gómez G. Norman. notas de clase: ”Bases de Optimización para Teoŕıa de Portafolios”, Medellin.
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