series sumables

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Ejercicios de Análisis Matemático
Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta
Debes tener ya claro que una cosa es estudiar la convergenciade una serie y otra es calcular su
suma. Son relativamente pocas las series convergentes cuyasuma se puede calcular de forma exacta.
Aquí vamos a ver algunas de ellas. No debes esforzarte por memorizar fórmulas para sumar series, sino
en comprender y en aplicar los métodos que permiten calcularlas.
Series geométricas.Las series de la forma
X
n>0
˛xn dondę 2R y jxj < 1, cuya suma viene dada por
1
X
nD0
˛xn D
˛
1 � x
.
Series aritmético - geométricas.Son series de la forma
X
n>0
p.n/xn dondep es una función polinómica
de grad0m > 1. Aplicando el criterio del cociente se obtiene fácilmente que estas series convergen
absolutamente sijxj < 1. Es claro que no convergen sijxj > 1 pues entoncesfp.n/xng es una sucesión
no acotada y, por tanto, no converge a0. Supongamos quejxj < 1 y pongamos:
S D
1
X
kD0
p.k/xk D lKım
n!1
n
X
kD0
p.k/xk
Definamos lasdiferencias de primer orden dep, que notaremos,
�
�1p
�
, como el polinomio dado para
todok 2 N por
�
�1p
�
.k/ D p.k C 1/ � p.k/. Observa que�1p es un polinomio de gradom � 1.
Tenemos:
S � xS D .1 � x/S D lKım
n!1
 
n
X
kD0
p.k/xk �
n
X
kD0
p.k/xkC1
!
D
D lKım
n!1
 
n�1
X
kD0
�
p.k C 1/ � p.k/
�
xkC1 C p.0/ � p.n/xnC1
!
D p.0/ C x
1
X
kD0
�
�1p
�
.k/xk :
PongamosS1 D
P1
kD0
�
�1p
�
.k/xk . La igualdad anterior nos dice que.1 � x/S D p.0/ C xS1. Este
procedimiento puede volver a aplicarse a la serie
X
k>0
�
�1p/.k/x
k . De la misma forma obtenemos
ahora.1 � x/S1 D
�
�1p/.0/ C xS2, dondeS2 D
P1
kD0
�
�2p
�
.k/xk y
�
�2p
�
son lasdiferencias de
segundo orden dep definidas para todok 2N por:
�
�2p
�
.k/ D
�
�1p
�
.k C 1/ �
�
�1p
�
.k/:
Observa que
�
�2p
�
es un polinomio de gradom � 2.
Repitiendo este procesom veces llegaremos a obtener finalmente
Sm D
1
X
kD0
�
�mp
�
.k/xk D
˛
1 � x
porque las diferencias de ordenm, .�mp
�
, de un polinomio de gradom son constantes,.�mp
�
.k/D˛
para todok 2N. ConocidoSm calculamosSm�1 a partir de la igualdad.1 � x/Sm�1 D
�
�m�1p
�
.0/ C
xSm. A partir deSm�1 podemos calcularSm�2, etcétera, hasta llegar a obtener finalmente el valor de
S .
Series hipergeométricas.Consideremos una serie
P
an de términos positivos tal que para todon2N
es:
anC1
an
D
˛n C ˇ
˛n C 
; .˛ > 0; ˇ; 
 2R/:
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Ejercicios de Análisis Matemático 2
Escribiendo esta igualdad paran D k en la forma:
˛kakC1 C 
 akC1 D ˛kak C ˇak
y sumando desdek D 1 hastak D n se obtiene:
˛nanC1 C 
 .anC1 C Sn � a1/ D ˛Sn C ˇSn: (1)
DondeSn D
n
X
kD1
ak . Supuesto que la serie sea convergente y que su suma esS D lKımfSng, se deduce
de la igualdad anterior que la sucesiónfnanC1g también converge y necesariamente su límite debe ser
cero (si fuerananC1 ! � > 0 se tendría quean � �n lo que implicaría que la serie diverge).
Aplicando el criterio de Raabe se obtiene fácilmente que la serie converge si
 > ˛ C ˇ y diverge
si 
 < ˛ C ˇ. También diverge si
 D ˛ C ˇ porque en tal caso se deduce de la igualdad 1 que:
˛nanC1 C 
 anC1 � 
 a1 D 0 ÷ anC1 D

 a1
˛n C 
y, por comparación con la serie armónica, se sigue que la serie diverge.
Supuesto que,
 > ˛ C ˇ, y tomando límites en la igualdad 1 deducimos que:

S � 
 a1 D ˛S C ˇS ÷ S D

 a1

 � ˛ � ˇ
:
Series cuyo término general es una función racional.Se trata de series de la forma
X P .n/
Q.n/
don-
de P y Q son funciones polinómicas. A partir de un cierto término en adelante, dichas series tie-
nen todos sus términos positivos o todos negativos (según que lKımx!C1 P .x/Q.x/ D C1 o que
lKımx!C1 P .x/Q.x/ D �1). Estas series convergen absolutamente cuando el grado deldenomina-
dor es al menos dos unidades mayor que el grado del numerador.Cuando esta condición se cumple y,
además, las raíces del polinomioQ son todas reales y simples es posible calcular la suma de la serie
descomponiendo la función racional
P .x/
Q.x/
en fracciones simples, Se tendrá una descomposición de la
forma:
P .x/
Q.x/
D
A1
x � ˛1
C
A2
x � ˛2
C � � � C
Am
x � ˛m
dondę 1; ˛2; : : : ; ˛m son las raíces deQ. Sustituyendo en la igualdad anteriorx D k y sumando desde
k D 1 hastak D n resulta:
n
X
kD1
P .k/
Q.k/
D
n
X
kD1
�
A1
k � ˛1
C
A2
k � ˛2
C � � � C
Am
k � ˛m
�
Ahora hay que hacer todas las simplificaciones posibles hasta que finalmente nos quede una sucesión
que sea convergente. Observa que las series de la forma
X A
n � ˛
son divergentes (por comparación
con la serie armónica) pero la suma de todas las que hay en el paréntesis anterior tiene que ser, en
las hipótesis hechas, una serie convergente. Lo usual es quelos coeficientesAk sean unos positivos y
otros negativos y que las raíces˛k sean números enteros, de manera que se produzcan cancelaciones
que finalmente permitan calcular la suma de la serie. Es frecuente que en los cálculos aparezca la serie
armónica alternada.
Series de diferencias o telescópicas.Se llaman así las series
P
an cuyo término general puede escri-
birse en la formaan D bnC1 � bn. Puesto que, en tal caso, se verifica la igualdad
n
X
kD1
ak D bnC1 � b1;
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Ejercicios de Análisis Matemático 3
la serie converge si, y sólo si, la sucesiónfbng converge, en cuyo caso
1
X
nD1
an D lKımfbng � b1.
Series relacionadas con la exponencial.Seax 2R un número real distinto de0, fijo en lo que sigue y
sean2N. Aplicando el teorema de Taylor a la función exponencial cona D 0, tenemos que hay algún
puntoc comprendido entre0 y x tal que:
ex D1 C
n
X
kD1
1
k!
xk C
ec
.n C 1/!
xnC1:
La serie
X
n>0
xn
n!
es absolutamente convergente porque, poniendoan D
jxjn
n!
, tenemos:
anC1
an
D
jxj
n C 1
! 0:
En particular, se verifica que lKım
n!1
�
jxjn
n!
�
D 0. Como0 < jcj < jxj, tenemos que:
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ex �
n
X
kD0
1
k!
xk
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ec
.n C 1/!
xnC1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
6 ejxj
jxjnC1
.n C 1/!
;
de donde deducimos que:
lKım
n!1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ex �
n
X
kD0
1
k!
xk
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
D 0 ” ex D
1
X
nD0
xn
n!
:
Comox ¤0 es un número real cualquiera y la igualdad anterior es trivialmente cierta parax D0, hemos
probado que para todo número realx se verifica la igualdad:
ex D
1
X
nD0
xn
n!
D lKım
n!1
�
1 C
x
1!
C
x2
2!
C
x3
3!
C � � � C
xn
n!
�
(2)
En particular, parax D 1, resulta que:
eD
1
X
nD0
1
n!
D lKım
n!1
�
1 C
1
1!
C
1
2!
C
1
3!
C � � � C
1
n!
�
: (3)
Con ayuda de esta serie podemos calcular la suma de series de la forma
X
n>0
p.n/
n!
dondep es una
función polinómica de gradom>1. Dichas series son (absolutamente) convergentes como se comprueba
fácilmente con el criterio del cociente. Para calcular su suma expresamos el polinomiop.x/ en la forma:
p.x/ D a0 C a1x C a2x.x � 1/ C a3x.x � 1/.x � 2/ C � � � C amx.x � 1/.x � 2/ � � � .x � m C 1/:
Los númerosak pueden calcularse fácilmente:
a0 D p.0/; a1 D p.1/ � a0; 2a2 D p.2/ � a0 � 2a1; : : :
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Ejercicios de Análisis Matemático 4
Con ello tenemos que:
1
X
nD0
p.n/
n!
D
1
X
nD0
0
@
a0
n!
C
m
X
jD1
ajn.n � 1/ � � � .n � j C 1/
n!
1
AD
D a0 eC
m
X
jD1
 
1
X
nD0
aj n.n � 1/ � � � .n � j C 1/
n!
!
D
D a0 eC
m
X
jD1
0
@
1
X
nDj
aj n.n � 1/ � � � .n � j C 1/
n!
1
AD
D a0 eC
m
X
jD1
0
@
1
X
nDj
aj
.n � j /!
1
AD a0 eC
m
X
jD1
 
1
X
nD0
aj
n!
!
D
D .a0 C a1 C a2 C � � � C am/ e:
Naturalmente, si la serie no empieza a sumar desden D 0 hay que hacer los ajustes necesarios.
El mismo procedimiento puede aplicarse para series del tipo
X
n>0
p.n/
n!
xn.
De la igualdad (3) se deduce fácilmente que el número e es irracional. En efecto, para todon 2 N
tenemos que:
0 < e�
n
X
kD1
1
k!
D
1
X
kDnC1
1
k!
D
1
n!
1
X
kD1
1
.n C 1/.n C 2/ � � � .n C k/
<
1
n!
1
X
kD1
�
1
n C 1
�k
D
1
n!
1
n
Si e fuera racional, eD
pq
conp; q 2N, multiplicando porq! la desigualdad:
0 < e�
q
X
kD1
1
k!
<
1
q!
1
q
se tiene que:
0 < .q � 1/!p � q!
q
X
kD1
1
k!
<
1
q
6 1:
Pero el número.q � 1/!p � q!
q
X
kD1
1
k!
es un número entero y por tanto es imposible que sea mayor que
0 y menor que1. Esta contradicción muestra que e es irracional.
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